杭州数学竞赛试题及权威答案

杭州数学竞赛经典试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若a、b为实数，且a+b=2，ab=1，则a²+b²的值为（）（2分）A.0B.2C.4D.6【答案】D【解析】根据平方和公式，a²+b²=a+b²-2ab=2²-2×1=

62.已知fx=x³-3x+1，则fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）（2分）A.2，-2B.6，-6C.10，-10D.8，-8【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1f-2=-8，f-1=5，f1=-1，f2=2，故最大值为10，最小值为-

103.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由a²=b²+c²-bc可得cosA=b²+c²-a²/2bc=2bc-bc/2bc=1/2，故A=60°

4.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】函数图像为两折线段，在x=-2和x=1处折点，最小值为|-2-1|+|1+2|=3+1=4，但实际最小值在x=-2处为3，x=1处为3，故最小值为

35.设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，公比q≠1，则S_3/a_3的值为（）（2分）A.1B.qC.q²D.1/q【答案】B【解析】S_3=a_11+q+q²=1+q+q²，a_3=a_1q²=q²，故S_3/a_3=1+q+q²/q²=1/q+1+q

6.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与圆O相交，则d与r的关系为（）（2分）A.drB.d=rC.drD.d≤r【答案】C【解析】直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，即dr

7.若复数z满足|z|=1，且z²≠-1，则z的个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】|z|=1表示z在单位圆上，z²=-1对应z=±i，故z的个数为4个单位圆上的点减去2个i，剩下2个

8.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标为（）（2分）A.1,2B.2,1C.1/2,2D.2,1/2【答案】B【解析】关于y=x对称，即交换x、y坐标，故对称点为2,

19.设函数fx=ax²+bx+c，若f0=1，f1=-1，f-1=3，则b的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由f0=1得c=1，由f1=-1得a+b+1=-1，即a+b=-2；由f-1=3得a-b+1=3，即a-b=2解得a=0，b=-

210.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=3:4:5，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.3/4【答案】B【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=9k²+25k²-16k²/2×3k×5k=18k²/30k²=3/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=ax²+bx+c的说法正确的有（）（4分）A.若a0，则函数图像开口向上B.函数的对称轴为x=-b/2aC.若Δ=b²-4ac0，则函数与x轴有两个交点D.若a0，则函数的最小值为-b/2a+cE.函数的顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a【答案】A、B、C【解析】A正确，a0开口向上；B正确，对称轴x=-b/2a；C正确，Δ0有两个交点；D错误，a0最小值为-b/2a+c；E错误，顶点y坐标为-c+Δ/4a

2.以下命题正确的有（）（4分）A.等腰三角形的底角相等B.直角三角形的斜边最长C.钝角三角形的三个内角都大于90°D.平行四边形的对角线互相平分E.梯形的两条对角线相等【答案】A、B、D【解析】A正确，等腰三角形的底角相等；B正确，直角三角形的斜边最长；C错误，钝角三角形有一个内角大于90°；D正确，平行四边形的对角线互相平分；E错误，等腰梯形的对角线相等

3.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1C.等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2D.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）E.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n²}也是等差数列【答案】A、B、C、D【解析】A正确，等差数列通项公式；B正确，等比数列通项公式；C正确，等差数列前n项和公式；D正确，等比数列前n项和公式；E错误，{a_n²}不一定是等差数列

4.以下关于圆的说法正确的有（）（4分）A.圆的切线垂直于过切点的半径B.圆的直径是圆的最长弦C.圆心角为90°的扇形面积等于对应弦长为直径的半圆面积D.圆的任意两条弦相交，所截得的四条线段长度之积相等E.圆的外切正方形的面积等于圆的面积【答案】A、B、C【解析】A正确，切线垂直于过切点的半径；B正确，直径是圆的最长弦；C正确，圆心角为90°的扇形面积等于1/4圆面积，对应弦长为直径的半圆面积也是1/4圆面积；D错误，相交弦定理是所截得的四条线段乘积相等；E错误，圆的外切正方形面积是圆面积的π/4倍

5.以下关于复数的说法正确的有（）（4分）A.复数z=a+bi的模为|z|=√a²+b²B.复数z=a+bi的辐角主值θ满足tanθ=b/aC.复数z=a+bi的共轭复数为z=a-biD.复数z=a+bi的平方为z²=a²-b²+2abiE.若z₁=a+bi，z₂=c+di，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|【答案】A、C【解析】A正确，复数模的定义；B错误，辐角主值θ需考虑a、b的符号确定；C正确，共轭复数的定义；D错误，z²=a²-b²+2abi；E错误，|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x²-5x+m=0的两个实根之差的绝对值为3，则m的值为______（4分）【答案】7或-1【解析】设两实根为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=3，由韦达定理x₁+x₂=5，x₁x₂=m由x₁-x₂²=9得x₁+x₂²-4x₁x₂=9，即25-4m=9，解得m=7或m=-

12.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=32/40=4/

53.函数y=2sin3x+π/4的最小正周期为______（4分）【答案】2π/3【解析】正弦函数y=sinkx的周期为2π/k，故最小正周期为2π/

34.等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第10项a₁₀的值为______（4分）【答案】19【解析】a_n=a_1+n-1d，a₁₀=1+10-1×2=

195.函数y=lnx+1的定义域为______（4分）【答案】-1,+∞【解析】x+10，即x-1，故定义域为-1,+∞

6.若复数z=1+i，则z³的值为______（4分）【答案】-2+2i【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i

7.在直角坐标系中，点A2,3关于直线x-y=0对称的点的坐标为______（4分）【答案】3,2【解析】关于x-y=0对称，即交换x、y坐标，故对称点为3,

28.抛物线y²=8x的焦点坐标为______（4分）【答案】2,0【解析】抛物线y²=2px的焦点为p/2,0，故焦点坐标为4/2,0=2,0

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a²=1b²=

42.所有等腰三角形都是相似三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形的顶角可以不同，故不一定相似

3.三角形的内心到三边的距离相等（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形的内心是内切圆的圆心，到三边的距离相等

4.等比数列的任意两项之比都相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的定义就是任意两项之比等于公比

5.圆的任意两条弦相交，所截得的四条线段长度之积相等（）（2分）【答案】（×）【解析】这是相交弦定理的内容，但不是任意两条弦相交都成立，必须是相交于圆内

6.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=1表示z在单位圆上，z²的模为1，且实数的平方是实数，故z²一定是实数

7.函数y=1/x在定义域内是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=1/x在-∞,0和0,+∞上分别是减函数，但在整个定义域上不是减函数

8.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（）（2分）【答案】（√）【解析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是定理

9.所有等腰直角三角形都是相似三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】所有等腰直角三角形的三个角都相等（45°、45°、90°），故相似

10.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n²}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如等差数列a_n=n，则a_n²=n²，不是等差数列

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=2x³-3x²-12x+5的单调递增区间（4分）【答案】-∞,1和2,+∞【解析】y=6x²-6x-12=6x+1x-2，令y0得x∈-∞,-1∪2,+∞，故单调递增区间为-∞,1和2,+∞

2.求过点A1,2且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程（4分）【答案】3x-4y+5=0【解析】与直线l平行的直线方程形如3x-4y+c=0，代入点A1,2得3-8+c=0，解得c=5，故直线方程为3x-4y+5=

03.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，若a_1=2，d=3（4分）【答案】S_n=3n²-n【解析】S_n=n/2[2a_1+n-1d]=n/2[4+3n-1]=3n²-n

4.求函数y=2cos²x-3sinx+1的最小值（4分）【答案】-3/4【解析】y=21-sin²x-3sinx+1=-2sin²x-3sinx+3=-2sinx+3/4²+15/8，当sinx=-3/4时取最小值-3/

45.求过点A1,2且与抛物线y²=4x相切的直线方程（4分）【答案】y=x+1【解析】设切线方程为y=kx+b，代入点A1,2得k+b=2由y²=4x与y=kx+b相切得k²x²+2kb-4x+b²=0，判别式Δ=0得2kb-4²-4k²b²=0，解得kb=1联立k+b=2和kb=1解得k=1，b=1，故切线方程为y=x+1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x³-3x²+2，证明fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为2和-2（10分）【证明】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2f-1=-1，f0=2，f2=-2，f3=2故最大值为2，最小值为-

22.设数列{a_n}是等比数列，且a_1=1，a_₃=8，求a_₅的值（10分）【解】设公比为q，由a_₃=a_1q²得q²=8，故q=±2√2a_₅=a_1q⁴=1×±2√2⁴=1×64=64，故a_₅=64

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明理由（25分）【解】函数图像为两折线段，在x=-2和x=1处折点f-2=3，f1=3，故最小值为3理由在x=-2和x=1处函数值相等且最小

2.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_₅=15，求a_₅的值（25分）【解】S_n=n/2[2a_1+n-1d]，S_₅=5/2[2+4d]=15，解得d=2a_₅=a_1+4d=1+8=9，故a_₅=9---标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.C

4.B

5.B

6.C

7.B

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、D

3.A、B、C、D

4.A、B、C

5.A、C

三、填空题

1.7或-

12.4/

53.2π/

34.

195.-1,+∞

6.-2+2i

7.3,

28.2,0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

6.（√）

7.（×）

8.（√）

9.（√）

10.（×）

五、简答题

1.-∞,1和2,+∞

2.3x-4y+5=

03.S_n=3n²-n

4.-3/

45.y=x+1

六、分析题

1.见证明

2.a_₅=64

七、综合应用题

1.最小值为3，理由在x=-2和x=1处函数值相等且最小

2.a_₅=9。