极限计算练习题及精准答案

极限计算练习题及精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^2-1/x-1在x→1时的极限是（）（2分）A.0B.1C.2D.不存在【答案】C【解析】函数fx=x^2-1/x-1=x+1，当x→1时，极限为

22.若limx→afx=3且limx→agx=5，则limx→a[fx+gx]是（）（2分）A.8B.15C.3D.5【答案】A【解析】根据极限的四则运算法则，limx→a[fx+gx]=limx→afx+limx→agx=3+5=

83.函数fx=sinx/x在x→0时的极限是（）（2分）A.0B.1C.sin0D.不存在【答案】B【解析】根据标准极限limx→0sinx/x=

14.若limx→∞ax^2+bx+c/x^2+1=2，则a的值为（）（2分）A.2B.1C.0D.不存在【答案】A【解析】将分子分母同除以x^2，得到limx→∞a+b/x+c/x^2/1+1/x^2=a=

25.函数fx=e^-1/x在x→0+时的极限是（）（2分）A.0B.1C.eD.+∞【答案】B【解析】当x→0+时，-1/x→-∞，e^-1/x→

16.若limx→0e^x-1-x/x^2=A，则A的值是（）（2分）A.0B.1/2C.1D.无穷大【答案】B【解析】使用泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+ox^2，则e^x-1-x/x^2=x^2/2+ox^2→1/

27.函数fx=|x|在x→0时的极限是（）（2分）A.0B.1C.不存在D.±1【答案】A【解析】|x|在x→0时左右极限均为0，故极限为

08.若limx→1x^3-1/x-1=A，则A的值是（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】使用洛必达法则，limx→1x^3-1/x-1=limx→13x^2=

39.函数fx=lnx在x→0+时的极限是（）（2分）A.0B.-∞C.1D.+∞【答案】B【解析】lnx在x→0+时趋于负无穷大

10.若limx→∞3x^2+2x+1/x^2-5x+6=A，则A的值是（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】将分子分母同除以x^2，得到limx→∞3+2/x+1/x^2/1-5/x+6/x^2=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x→0时极限存在？（）A.sinx/xB.x^2C.1/xD.cosx-1E.tanx/x【答案】A、B、D、E【解析】sinx/x、x^

2、cosx-

1、tanx/x在x→0时极限均存在，分别为

1、

0、

0、1，1/x在x→0时极限不存在

2.以下哪些极限等于1？（）A.limx→0sin2x/xB.limx→0e^x-1/xC.limx→∞x+1/xD.limx→01-cosx/x^2E.limx→0tanx/x【答案】A、C、E【解析】A:limx→0sin2x/x=2；B:limx→0e^x-1/x=1；C:limx→∞x+1/x=1；D:limx→01-cosx/x^2=1/2；E:limx→0tanx/x=

13.以下哪些极限等于0？（）A.limx→0sinx/xB.limx→0x^2-1/x-1C.limx→∞1/xD.limx→0e^-1/xE.limx→0e^x-1-x/x^2【答案】A、C、E【解析】A:limx→0sinx/x=1；B:limx→0x^2-1/x-1=limx→0x+1=1；C:limx→∞1/x=0；D:limx→0e^-1/x=1；E:limx→0e^x-1-x/x^2=1/

24.以下哪些极限等于无穷大？（）A.limx→01/xB.limx→0-1/xC.limx→∞x^2D.limx→0sinx/xE.limx→∞e^x【答案】A、B、C、E【解析】A:limx→01/x=+∞；B:limx→0-1/x=-∞；C:limx→∞x^2=+∞；D:limx→0sinx/x=1；E:limx→∞e^x=+∞

5.以下哪些极限不存在？（）A.limx→0|x|/xB.limx→0sin1/xC.limx→∞1/xD.limx→0e^xE.limx→0x^2-1/x-1【答案】A、B【解析】A:limx→0|x|/x=1（左极限-1，右极限1）；B:limx→0sin1/x不存在；C:limx→∞1/x=0；D:limx→0e^x=1；E:limx→0x^2-1/x-1=limx→0x+1=1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若limx→ax^2-1/x-a=5，则a的值为______（4分）【答案】-1【解析】将分子分母因式分解，得到x-1x+1/x-a，当x→a时，极限为a+1/a-1=5，解得a=-

12.若limx→0sinx-ax/x^3=1/6，则a的值为______（4分）【答案】1/2【解析】使用泰勒展开sinx=x-x^3/6+ox^3，则sinx-ax/x^3=1-ax^3/6+ox^3→1/6，解得a=1/

23.若limx→∞ax^2+bx+c/x^2+1=2，则a的值为______，b的值为______（4分）【答案】2，-10【解析】将分子分母同除以x^2，得到limx→∞a+b/x+c/x^2/1+1/x^2=a=2；将x→∞代入原式，得到2=2x^2-10x+c/x^2+1，解得b=-

104.若limx→0e^x-cosx-mx=0，则m的值为______（4分）【答案】1/2【解析】使用泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+ox^2，cosx=1-x^2/2+ox^2，则e^x-cosx-mx/x^2=x+x^2/2-1+x^2/2+ox^2-mx/x^2=1-m+x^2/2+ox^2/x^2→0，解得m=

15.若limx→1[x^2-1/x-1]^k=4，则k的值为______（4分）【答案】2【解析】将分子分母因式分解，得到x-1x+1/x-1=x+1，当x→1时，极限为2，则2^k=4，解得k=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若limx→afx=A且limx→agx=B，则limx→a[fxgx]=AB（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极限的四则运算法则，limx→a[fxgx]=limx→afx×limx→agx=AB

2.若limx→∞fx=∞且limx→∞gx=∞，则limx→∞[fx+gx]=∞（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极限的性质，若两个函数都趋于无穷大，则它们的和也趋于无穷大

3.若函数fx在x→a时极限存在，则fx在x→a处连续（）（2分）【答案】（×）【解析】函数在x→a时极限存在并不意味着函数在x→a处连续，还需要满足fa存在且等于极限值

4.若limx→0fx=0，则limx→0|fx|=0（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对值函数的性质，若fx趋于0，则|fx|也趋于

05.若函数fx在x→a时极限不存在，则fx在x→a处一定不连续（）（2分）【答案】（√）【解析】若函数在x→a时极限不存在，则根据连续性的定义，函数在x→a处一定不连续

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述洛必达法则的适用条件及其原理（5分）【答案】洛必达法则适用于当函数在某点附近趋于0/0或∞/∞型未定式时，通过求导数来计算极限具体条件为

①函数在该点附近可导；

②导数之比的极限存在或趋于无穷大原理基于微积分中的泰勒展开，通过将函数在极限点附近展开，简化未定式

2.简述无穷小量的性质及其应用（5分）【答案】无穷小量的性质包括

①有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；

②有界函数与无穷小量的积为无穷小量应用包括在极限计算中，通过无穷小量替代某些复杂表达式，简化计算过程；在函数分析中，通过无穷小量比较函数的阶，判断函数的渐近行为

3.简述极限的保号性及其意义（5分）【答案】极限的保号性指若limx→afx=A且A0（或A0），则在a的某个去心邻域内，fx0（或fx0）意义在于，通过极限值可以推断函数在极限点附近的符号，为函数连续性和单调性分析提供依据

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^2-1/x-1在x→1时的极限，并说明其连续性（10分）【答案】当x→1时，函数fx=x^2-1/x-1=x+1，极限为2函数在x=1处无定义，但通过补充定义f1=2，函数可以在x=1处连续分析过程说明极限计算可以通过因式分解简化，并讨论函数的连续性需要满足的三个条件极限存在、函数值存在、极限值等于函数值

2.分析函数fx=|x|在x→0时的极限，并说明其连续性（10分）【答案】当x→0时，函数fx=|x|的左极限为-0=-0，右极限为+0=0，左右极限不相等，故极限不存在函数在x=0处有定义且f0=0，但由于极限不存在，函数在x=0处不连续分析过程说明绝对值函数在原点处的行为，以及连续性与极限存在的关系

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=e^x-1/x^2-a/x+b，当x→0时，limx→0fx=1，求a和b的值（25分）【答案】使用泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+ox^2，则e^x-1/x^2=1/x+1/2+o1/x，代入fx得到fx=1/x+1/2-a/x+b+o1/x，当x→0时，极限为1，则1/2-a+b=1，解得a=-1/2，b=3/

22.已知函数fx=x^3-1/x-1-ax+b，当x→1时，limx→1fx=5，求a和b的值（25分）【答案】将分子分母因式分解，得到x^3-1/x-1=x^2+x+1，代入fx得到fx=x^2+x+1-ax+b，当x→1时，极限为5，则1+1+1-a+b=5，解得a=-1，b=3---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、C、E

3.A、C、E

4.A、B、C、E

5.A、B

三、填空题

1.-

12.1/

23.2，-

104.1/

25.2

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.洛必达法则适用于0/0或∞/∞型未定式，通过求导数计算极限，条件为函数可导且导数之比极限存在

2.无穷小量性质包括和差积仍为无穷小，有界函数与无穷小量积为无穷小，应用包括简化极限计算和函数分析

3.极限保号性指若极限值为正负，则在附近函数同号，意义在于推断函数符号和连续性

六、分析题

1.极限为2，通过补充定义可连续

2.极限不存在，函数在原点不连续

七、综合应用题

1.a=-1/2，b=3/

22.a=-1，b=3。