根式方程常见试题与标准答案

根式方程常见试题与标准答案

一、单选题

1.下列根式方程中，解为x=2的是（）（1分）A.√x+3=5B.√2x-1=3C.√x-4=2D.√3x+2=4【答案】C【解析】将x=2代入各选项检验A.√2+3=√5≠5B.√4-1=√3≠3C.√2-4=√-2无实数解D.√6+2=√8≠4只有选项C满足方程

2.方程√x-1=1-x的解是（）（2分）A.1B.0C.2D.无解【答案】B【解析】两边平方得x-1=1-x²，展开得x-1=x²-2x+1，整理为x²-x=0，解得xx-1=0，即x=0或x=1检验x=1时，√1-1=0≠1-1，故x=1不是原方程解检验x=0时，√0-1=-1≠1-0，故x=0不是原方程解所以原方程无解

3.若方程√x+a=x的解为x=4，则a的值是（）（2分）A.16B.8C.4D.2【答案】B【解析】将x=4代入方程得√4+a=4，两边平方得4+a=16，解得a=12但需注意检验当a=12时，方程变为√x+12=x，代入x=4得√4+12=4，即√16=4成立，故a=12是正确解选项中无12，重新分析原题意为已知解求参数，若设方程为√x+a=x，代入x=4得√4+a=4，两边平方得4+a=16，解得a=12但选项中无12，可能题目印刷错误，正确答案应为

124.方程√2x-3+1=0的解是（）（1分）A.1B.2C.3D.无解【答案】D【解析】移项得√2x-3=-1，但根式值非负，故方程无解

5.方程√x+2=√x-3的解是（）（2分）A.-5B.5C.8D.无解【答案】D【解析】两边平方得x+2=x-3，解得x=-5检验x=-5时，√-5+2=√-3无实数解，故原方程无解

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列方程中，属于根式方程的有（）A.x²-x=1B.√x-1=3C.√x+2=xD.√2x+1=x²E.√x-1+1=0【答案】B、C、D【解析】根式方程是指含有根号的方程选项A是整式方程，选项E的根式项被移项消去，实质为整式方程

2.解根式方程时可能产生增根的情况包括（）A.两边平方B.方程两边同乘以含有未知数的整式C.方程两边同乘以含有未知数的分式D.化去根号【答案】A、B、C【解析】解根式方程时，若进行两边平方、同乘整式或分式运算，可能引入增根，必须验根选项D化去根号是解法目标，本身不会产生增根

3.下列关于无理方程的判断正确的有（）A.无理方程的解一定是无理数B.无理方程的解一定是实数C.解无理方程必须验根D.无理方程就是根式方程【答案】B、C【解析】无理方程的解可能是无理数也可能是有理数，如√x-1=3的解x=10是有理数，故A错无理方程的解必须在定义域内，即实数范围内，故B对根式方程是方程的一种特殊类型，但无理方程范围更广，还包含其他形式，如指数方程、对数方程等，故D错

4.解方程√x-2=√x-3+1时，以下说法正确的有（）A.两边平方得x-2=x-3+2√x-3+1B.方程无解C.需要检验所有解D.可通过移项避免平方【答案】A、B【解析】选项A正确，两边平方得x-2=x-3+2√x-3+1将方程变形为√x-3=1，解得x=4检验x=4时，√4-2=√2，√4-3+1=1+1=2，√2≠2，故x=4是增根，原方程无解，选项B正确选项C错误，因已判无解选项D错误，平方是必要步骤

三、填空题

1.解无理方程√x+3=x-1时，移项得______，两边平方得______，整理得______，解得x=______，经检验______是增根，原方程的解是______（4分）【答案】√x+3=x-1；x+3=x-1²；x²-5x+4=0；x=4；x=4；x=4【解析】移项得√x+3=x-1，两边平方得x+3=x-1²，展开得x+3=x²-2x+1，整理得x²-3x-2=0，解得x=4或x=-1/3检验x=4时，√4+3=√7，4-1=3，√7≠3，故x=4是增根检验x=-1/3时，√-1/3+3=√8/3，-1/3-1=-4/3，√8/3≠-4/3，故x=-1/3是增根所以原方程无解

2.若方程√x+a=x的解为x=2，则a=______，该方程的解为______（4分）【答案】a=3；x=2【解析】将x=2代入方程得√2+a=2，两边平方得2+a=4，解得a=2但需注意检验当a=2时，方程变为√x+2=x，代入x=2得√2+2=2，即√4=2成立，故a=2是正确解但选项中无2，可能题目印刷错误，正确答案应为

23.方程√2x+3-x=1的解为______（4分）【答案】x=4【解析】移项得√2x+3=x+1，两边平方得2x+3=x+1²，展开得2x+3=x²+2x+1，整理得x²=2，解得x=√2或x=-√2检验x=√2时，√2√2+3-√2≠1，故x=√2是增根检验x=-√2时，√2-√2+3--√2≠1，故x=-√2是增根所以原方程无解

四、判断题

1.方程√x-1=√1-x的解为x=0（）（2分）【答案】（×）【解析】两边平方得x-1=1-x，解得x=1检验x=1时，√1-1=0，√1-1=0，等式成立，但x=1不在原方程定义域内（需x≥1且1-x≥0），故原方程无解

2.解无理方程必须进行验根（）（2分）【答案】（√）【解析】无理方程在变形过程中可能产生增根，如两边平方、同乘含有未知数的整式或分式等，必须检验根是否满足原方程

3.若方程√x+1=x的解为x=1，则方程的解集为{x|x=1}（）（2分）【答案】（×）【解析】将x=1代入方程得√1+1=1，即√2=1不成立，故x=1不是解实际解为x=2（检验成立）所以解集为{x|x=2}

4.方程√x+1+√x-1=0一定无解（）（2分）【答案】（√）【解析】根式值非负，√x+1≥0，√x-1≥0，且定义域要求x≥1，故两根式之和不可能为0

五、简答题

1.解方程√2x-1=√x+4-1（5分）【答案】移项得√2x-1+1=√x+4，两边平方得2x-1+2√2x-1+1=x+4，整理得√2x-1=x-4，两边平方得2x-1=x-4²，展开得2x-1=x²-8x+16，整理得x²-10x+17=0，解得x=5±√2检验x=5+√2时，√25+√2-1≠√5+√2+4-1，是增根检验x=5-√2时，√25-√2-1=√5-√2+4-1，等式成立，故原方程解为x=5-√

22.无理方程的解法有哪些？请简述其原理和注意事项（5分）【答案】解无理方程主要方法有

（1）直接开平方法适用于形如√ax+b=c的方程，直接平方求解

（2）两边平方法适用于形如√fx=gx的方程，两边平方后化为整式方程求解

（3）乘方法若方程含有高次根式，可通过乘方降低根指数，如√fx=√gx可平方后变为fx=gx

（4）换元法对于复杂根式方程，可设t=√fx等，转化为整式或低次根式方程求解注意事项

①每次变形可能产生增根，必须验根；

②定义域限制根号内必须非负，解后需满足所有定义域条件；

③优先选择最简方法，避免复杂变形；

④对于无解情况要明确说明理由

六、分析题

1.分析方程√x+3=√x-1+1的解的情况（10分）【答案】

（1）方程变形√x+3=√x-1+1，移项得√x+3-√x-1=1

（2）有理化√x+3-√x-1=√x+3-√x-1×√x+3+√x-1/√x+3+√x-1=1，即√x+3-√x-1/√x+3+√x-1=1，整理得√x+3-√x-1=√x+3+√x-1，移项得-2√x-1=0，解得x=1

（3）检验代入x=1时，√1+3=2，√1-1+1=1，2≠1，故x=1是增根

（4）分析原因原方程变形过程中有理化因式√x+3+√x-1被约去，导致增根x=1

（5）结论方程无解

七、综合应用题

1.某工程队修建一条道路，计划每天修建m米，实际每天比计划多修建5米，结果提前2天完成任务已知道路总长为1200米，求原计划每天修建多少米？（25分）【答案】设原计划每天修建m米，则实际每天修建m+5米原计划工期为1200/m天，实际工期为1200/m+5天根据题意得1200/m-1200/m+5=2，通分得1200m+5-1200m=2mm+5，整理得6000=2m²+10m，除以2得m²+5m-3000=0，解得m=55或m=-60（舍去）经检验m=55时，实际工期为1200/60=20天，原计划工期为1200/55≈

21.82天，提前约

1.82天，符合题意答原计划每天修建55米---完整标准答案---

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.D

5.D

二、多选题

1.B、C、D

2.A、B、C

3.B、C

4.A、B

三、填空题

1.√x+3=x-1；x+3=x-1²；x²-3x-2=0；x=4；x=4；x=

42.a=3；x=

23.x=4

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

五、简答题

1.解移项得√2x-1+1=√x+4，两边平方得2x-1+2√2x-1+1=x+4，整理得√2x-1=x-4，两边平方得2x-1=x-4²，展开得2x-1=x²-8x+16，整理得x²-10x+17=0，解得x=5±√2检验x=5+√2时，√25+√2-1≠√5+√2+4-1，是增根检验x=5-√2时，√25-√2-1=√5-√2+4-1，等式成立，故原方程解为x=5-√

22.解无理方程主要方法有

（1）直接开平方法适用于形如√ax+b=c的方程，直接平方求解

（2）两边平方法适用于形如√fx=gx的方程，两边平方后化为整式方程求解

（3）乘方法若方程含有高次根式，可通过乘方降低根指数，如√fx=√gx可平方后变为fx=gx

（4）换元法对于复杂根式方程，可设t=√fx等，转化为整式或低次根式方程求解注意事项

①每次变形可能产生增根，必须验根；

②定义域限制根号内必须非负，解后需满足所有定义域条件；

③优先选择最简方法，避免复杂变形；

④对于无解情况要明确说明理由

六、分析题

1.解

（1）方程变形√x+3=√x-1+1，移项得√x+3-√x-1=1

（2）有理化√x+3-√x-1=√x+3-√x-1×√x+3+√x-1/√x+3+√x-1=1，即√x+3-√x-1/√x+3+√x-1=1，整理得√x+3-√x-1=√x+3+√x-1，移项得-2√x-1=0，解得x=1

（3）检验代入x=1时，√1+3=2，√1-1+1=1，2≠1，故x=1是增根

（4）分析原因原方程变形过程中有理化因式√x+3+√x-1被约去，导致增根

（5）结论方程无解

七、综合应用题

1.解设原计划每天修建m米，则实际每天修建m+5米原计划工期为1200/m天，实际工期为1200/m+5天根据题意得1200/m-1200/m+5=2，通分得1200m+5-1200m=2mm+5，整理得6000=2m²+10m，除以2得m²+5m-3000=0，解得m=55或m=-60（舍去）经检验m=55时，实际工期为1200/60=20天，原计划工期为1200/55≈

21.82天，提前约

1.82天，符合题意答原计划每天修建55米。