欧拉图专项试题及解析答案

欧拉图专项试题及解析答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于欧拉图的叙述，错误的是（）（2分）A.欧拉图是经过图中所有边恰好一次的封闭回路B.连通无向图是欧拉图，当且仅当其所有顶点的度数均为偶数C.存在欧拉回路，则图中任意两个顶点之间必存在路径D.一个连通无向图是欧拉图，当且仅当其是平面图【答案】D【解析】欧拉图与平面图无直接必然联系

2.下列图中，是欧拉图的是（）（2分）A.仅包含一个顶点的图B.完全二分图K3,3C.一个顶点的度数为4的简单图D.所有顶点的度数均为偶数的连通图【答案】D【解析】只有D符合欧拉图的定义

3.对于一个连通无向图，判断其是否为欧拉图，关键在于（）（2分）A.图中是否存在环B.图中所有顶点的度数之和是否为偶数C.图中所有顶点的度数是否均为偶数D.图的连通性是否良好【答案】C【解析】欧拉图的判定条件是所有顶点的度数均为偶数

4.欧拉回路与欧拉路径的主要区别在于（）（2分）A.路径是否封闭B.路径是否经过所有边C.路径是否经过所有顶点D.路径长度是否相同【答案】A【解析】欧拉回路是封闭路径，欧拉路径不封闭

5.下列关于欧拉图的叙述，正确的是（）（2分）A.欧拉图一定存在欧拉回路B.欧拉图一定不存在欧拉路径C.任何连通图都是欧拉图D.只有完全图是欧拉图【答案】A【解析】欧拉图定义为存在欧拉回路的连通图

6.在一个无向图中，若存在欧拉路径但不存在欧拉回路，则该图（）（2分）A.所有顶点的度数均为奇数B.至少有两个顶点的度数为奇数C.所有顶点的度数均为偶数D.至少有一个顶点的度数为奇数【答案】B【解析】存在欧拉路径的连通图有两个奇数度顶点

7.将一个连通无向图的所有边用不同颜色染色，使得相邻边颜色不同，称为（）（2分）A.欧拉染色B.二分图染色C.图的着色D.欧拉路径【答案】C【解析】给图边染色是图的着色问题

8.下列图中，不是欧拉图的是（）（2分）A.完全图K4B.正五边形C.哈密顿图D.所有顶点度数为2的连通图【答案】C【解析】哈密顿图不一定满足欧拉图的度数条件

9.对于一个连通无向图，若要使其成为欧拉图，可以添加边的方式是（）（2分）A.在任意两个奇数度顶点间添加一条边B.在任意两个偶数度顶点间添加一条边C.在任意两个顶点间添加一条边D.不能通过添加边使其成为欧拉图【答案】A【解析】添加一条边将两个奇数度顶点变为偶数度

10.欧拉图的应用领域不包括（）（2分）A.旅行商问题B.邮递员问题C.电路设计D.路径规划【答案】A【解析】旅行商问题是NP难问题，与欧拉图不同

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于欧拉图的叙述正确的有（）（4分）A.欧拉图一定是连通的B.欧拉图的所有顶点度数之和为偶数C.欧拉图至少包含一个欧拉回路D.欧拉图的所有边必须被使用E.欧拉图可以是平面图【答案】A、C、D【解析】B错误，度数和为边数的2倍；E错误，欧拉图与平面图无必然联系

2.以下图中，是欧拉图的有（）（4分）A.完全图K2B.正方形C.正三角形D.所有顶点度数为3的连通图E.一个顶点的度数为6的简单图【答案】A、B、E【解析】C度数不全为偶数；D可能存在奇数度顶点

3.以下关于欧拉路径的叙述正确的有（）（4分）A.欧拉路径必须经过所有边B.欧拉路径不一定是封闭的C.欧拉路径的所有顶点度数之和为偶数D.欧拉路径至少包含一个欧拉回路E.欧拉路径的起点和终点度数相同【答案】A、B、C【解析】D错误，欧拉路径可能有多个回路；E错误，起点终点度数相差

14.以下关于欧拉图的应用正确的有（）（4分）A.城市交通规划B.电路布线C.邮递路线优化D.旅行商问题E.化学分子结构分析【答案】A、B、C、E【解析】D是NP难问题，不属于欧拉图范畴

5.以下关于欧拉图与哈密顿图的叙述正确的有（）（4分）A.欧拉图一定是哈密顿图B.哈密顿图一定是欧拉图C.欧拉图与哈密顿图无直接关系D.欧拉路径对应哈密顿路径E.欧拉回路对应哈密顿回路【答案】C【解析】A、B、D、E错误，欧拉图与哈密顿图定义不同

三、填空题（每题4分，共16分）

1.一个连通无向图是欧拉图，当且仅当它是______且所有顶点的度数均为______（4分）【答案】连通；偶数

2.存在欧拉路径但不存在欧拉回路的连通图，其奇数度顶点的数量为______个（4分）【答案】

23.欧拉回路是经过图中所有边恰好一次的______（4分）【答案】封闭路径

4.将一个连通无向图的所有边用不同颜色染色，使得相邻边颜色不同，称为______问题（4分）【答案】图的着色

四、判断题（每题2分，共10分）

1.任何连通图都是欧拉图（）（2分）【答案】（×）【解析】需要所有顶点度数为偶数

2.一个无向图是欧拉图，当且仅当它是连通的（）（2分）【答案】（×）【解析】还需要所有顶点度数为偶数

3.欧拉路径一定比欧拉回路短（）（2分）【答案】（×）【解析】欧拉路径不封闭，长度可能更长

4.存在欧拉回路的连通图一定是平面图（）（2分）【答案】（×）【解析】欧拉图与平面图无必然联系

5.欧拉图的所有顶点度数之和等于边数的2倍（）（2分）【答案】（√）【解析】根据度数和公式

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述欧拉图的定义及其判定条件（5分）【答案】欧拉图是经过图中所有边恰好一次的封闭回路判定条件连通且所有顶点度数均为偶数

2.欧拉路径与欧拉回路有何区别？（5分）【答案】欧拉回路是封闭路径，经过所有边恰好一次；欧拉路径不封闭，起点与终点不同，经过所有边恰好一次

3.简述欧拉图在实际中的应用（5分）【答案】城市交通规划、邮递路线优化、电路布线、化学分子结构分析等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设有一个连通无向图G，其顶点度数分别为v13,v23,v33,v43,v54判断G是否为欧拉图，若不是，如何通过添加最少的边使其成为欧拉图？（10分）【答案】度数和为17为奇数，非偶数，因此不是欧拉图添加一条边使v1或v2的度数变为偶数，如添加v1-v2边，此时度数变为v14,v24,v33,v43,v54，所有顶点度数为偶数，成为欧拉图

2.设有一个连通无向图G，其顶点度数分别为v12,v22,v33,v43,v54判断G是否存在欧拉路径，若存在，请指出所有可能的起点和终点（10分）【答案】存在欧拉路径，因为有两个奇数度顶点v3和v4可能的起点终点组合为v3,v4或v4,v3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设有一个连通无向图G，其顶点度数分别为v14,v24,v33,v43,v52请设计一个欧拉回路，并给出具体路径（25分）【答案】欧拉回路设计v1-v2-v3-v4-v5-v1-v4-v3-v2-v1验证所有边被使用，路径封闭

2.设有一个连通无向图G，其顶点度数分别为v12,v22,v33,v43,v54请设计一个欧拉路径，并给出具体路径（25分）【答案】欧拉路径设计v5-v1-v2-v3-v4-v2-v4-v3验证所有边被使用，起点v5和终点v4为奇数度顶点---标准答案

一、单选题

1.D

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、E

3.A、B、C

4.A、B、C、E

5.C

三、填空题

1.连通；偶数

2.

23.封闭路径

4.图的着色

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.欧拉图是经过图中所有边恰好一次的封闭回路判定条件连通且所有顶点度数均为偶数

2.欧拉回路是封闭路径，经过所有边恰好一次；欧拉路径不封闭，起点与终点不同，经过所有边恰好一次

3.城市交通规划、邮递路线优化、电路布线、化学分子结构分析等

六、分析题

1.度数和为17为奇数，非偶数，因此不是欧拉图添加一条边使v1或v2的度数变为偶数，如添加v1-v2边，此时度数变为v14,v24,v33,v43,v54，所有顶点度数为偶数，成为欧拉图

2.存在欧拉路径，因为有两个奇数度顶点v3和v4可能的起点终点组合为v3,v4或v4,v3

七、综合应用题

1.欧拉回路设计v1-v2-v3-v4-v5-v1-v4-v3-v2-v1验证所有边被使用，路径封闭

2.欧拉路径设计v5-v1-v2-v3-v4-v2-v4-v3验证所有边被使用，起点v5和终点v4为奇数度顶点。