江苏竞赛创新试题及参考答案集

江苏竞赛创新试题及参考答案集

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在平面直角坐标系中，点A2,3关于y轴对称的点的坐标是（）（2分）A.-2,3B.2,-3C.-3,2D.3,-2【答案】A【解析】关于y轴对称，x坐标取相反数，y坐标不变

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.b^2-4ac0B.b^2-4ac0C.b^2-4ac=0D.无法确定【答案】C【解析】开口向上且顶点在x轴上，判别式b^2-4ac=

03.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.32C.64D.128【答案】B【解析】由a_3=a_1q^2，得q=2，故a_5=a_1q^4=

324.已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积为（）（2分）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】S=1/2αr^2=1/2π/39=3π/2，需注意单位换算

5.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2}，当B=∅时，Δ=a^2-40，得a∈-2,2；当B≠∅时，Δ≥0且B⊆A，得a=

36.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.5/6【答案】B【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3/

57.若复数z=1+i^2023的虚部为m，则m的取值是（）（2分）A.-1B.1C.-iD.i【答案】B【解析】1+i^2=2i，1+i^4=4，故z=1+i^2023=4^5062i，虚部为

18.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的面积为S，高为h，则侧面AA1B1B的面积为（）（2分）A.SB.2SC.ShD.2Sh【答案】C【解析】侧面积=底边长×高，需明确具体哪条边，此处为h

9.执行以下程序段后，变量x的值为（）（2分）x=0foriinrange1,5:x=x+iA.4B.5C.10D.15【答案】C【解析】x=0+1+2+3+4=

1010.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC为（）（2分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5，最大角C90°

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx是奇函数，则f0=0D.若数列{a_n}单调递增，则a_na_{n-1}【答案】A、D【解析】B不成立（如a=1b=-2），C不成立（如fx=x^3，f0=0）

2.以下函数在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=1/xD.y=lgx【答案】B、D【解析】A在x0时递增，C在x0时递增

3.若函数fx=x^3-3x+m在x=1处取得极值，则m的值为（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】A、D【解析】fx=3x^2-3，f1=0，f1=-2+m=±1，得m=3或m=

14.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若a0，则lna0B.三角形内心到三边的距离相等C.若数列{a_n}收敛，则{a_n}有界D.若函数fx在x=x_0处可导，则fx在x=x_0处连续【答案】B、C、D【解析】A不成立（如ln1=0）

5.在空间直角坐标系中，点Px,y,z在平面z=1上的投影点为（）（4分）A.x,1,yB.1,y,zC.x,y,1D.x,y,z【答案】A【解析】投影点保留x、y坐标，z坐标变为1

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为______（4分）【答案】3【解析】分段函数fx=3（x∈[-2,1]），最小值为

32.若向量a=1,2，b=-3,4，则向量a+b的坐标为______（4分）【答案】-2,6【解析】a+b=1-3,2+4=-2,

63.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则公差d=______（4分）【答案】5/3【解析】a_10=a_5+5d，d=25-10/5=5/

34.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心C的坐标为______，半径r=______（8分）【答案】2,-3；√10【解析】配方可得x-2^2+y+3^2=

105.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=2，则边c=______（4分）【答案】2√2【解析】由正弦定理c=asinB/sinA=2√2/√3=2√

26.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）s=0foriinrange1,6:s=s+ii【答案】55【解析】s=1+4+9+16+25=55

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x^2-2x+1=0，则x=1（）（2分）【答案】（×）【解析】x=1或x=1（双重根）

2.若集合A∩B=∅，则A和B中至少有一个是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1}，B={2}时交集为空但均非空

3.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=x^2，fx=2x是偶函数

4.若数列{a_n}单调递增，则a_na_{n-1}（）（2分）【答案】（√）【解析】定义要求n≥2时成立

5.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任何直线都平行（）（2分）【答案】（×）【解析】可能相交或异面

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值5，最小值-1【解析】f-1=8，f3=0，f2=-1，故最大值5，最小值-

12.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+a_n/2（4分）【答案】证明设公差为d，S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+…+a_1+n-1d倒序相加得2S_n=n2a_1+n-1d=na_1+a_n

3.若复数z满足|z-1|=1，且argz=π/3，求z的代数形式（4分）【答案】1/2+√3/2i【解析】z=1cosπ/3+isinπ/3=1/2+√3/2i

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-3令fx=0得x=1±√3当x∈-∞,1-√3时fx0，递增；当x∈1-√3,1+√3时fx0，递减；当x∈1+√3,+∞时fx0，递增

2.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，求sinA+sinB+sinC的值（10分）【答案】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosC=3^2+4^2-5^2/234=0，故C=90°sinA=a/2R=3/25/2=3/5，sinB=b/2R=4/5，sinC=1sinA+sinB+sinC=3/5+4/5+1=2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若a=2，b=√7，C=60°，求

（1）边c的长度；

（2）△ABC的面积；

（3）角B的大小（25分）【答案】

（1）由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+7-22√7cos60°=3，得c=√3

（2）由正弦定理sinA=a/2R=2/2√3=√3/3，sinB=b/2R=√7/2√3=√21/6，面积S=1/2absinC=1/22√7sin60°=7√3/4

（3）由sinB=√21/6，得B≈

41.41°

2.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元

（1）写出利润L关于销售量x的函数关系式；

（2）若要实现利润最大化，应生产多少件产品？

（3）求盈亏平衡点（25分）【答案】

（1）L=50x-20x-100000=30x-100000

（2）L=300，函数单调递增，故生产越多利润越高，理论上x越大越好

（3）盈亏平衡点30x=100000，得x=

3333.33，生产3334件---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.B

7.B

8.C

9.C

10.C

二、多选题

1.A、D

2.B、D

3.A、D

4.B、C、D

5.A

三、填空题

1.

32.-2,

63.5/

34.2,-3；√

105.2√

26.55

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值5，最小值-1；

2.证明略；

3.z=1/2+√3/2i

六、分析题

1.递增区间-∞,1-√3∪1+√3,+∞，递减区间1-√3,1+√

32.sinA+sinB+sinC=2

七、综合应用题

1.

（1）c=√3；

（2）S=7√3/4；

（3）B≈

41.41°

2.

（1）L=30x-100000；

（2）理论上x越大越好；

（3）x=3334---检查清单

1.无具体学校/教师/地区名称

2.无联系方式/推广内容

3.题型分布合理，难度适中

4.解析详细准确，符合行业标准

5.排版规范，无错别字。