江苏竞赛各类试题及完整答案

江苏竞赛各类试题及完整答案

一、单选题

1.下列几何体中，表面积最大的是（）（2分）A.球体B.立方体C.正四棱锥D.圆柱【答案】A【解析】相同体积下，球的表面积最小，但题目未限制体积，故球体表面积可能最大

2.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（1分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】二次函数开口方向由a决定，a0时开口向上

3.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且B⊆A，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.1或3【答案】D【解析】A={1,2}，当B=∅时a≠3，当B={1}或B={2}时a=

34.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA/2的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4【答案】D【解析】由cosA=1/2得A=60°，sinA/2=sin30°/2=1/2/2=1/

45.下列命题中，真命题是（）（1分）A.空集是任何集合的子集B.相等的集合是子集C.任意两个集合都有交集D.非空集合一定有真子集【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题

6.函数y=3^x+1的反函数是（）（2分）A.y=log3x-1B.y=log3x+1C.y=3^x-1D.y=3^x+1【答案】B【解析】反函数求解过程y-1=3^x，x=log3y-1，即y=log3x+

17.若复数z满足|z|=1，且z+1/z是实数，则z可能是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】z=1时，z+1/z=1+1=2为实数

8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=8，则a_3的值为（）（1分）A.4B.6C.8D.9【答案】A【解析】由a_1+a_5=2a_3=10得a_3=5，由a_2+a_4=2a_3=8得a_3=

49.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k∈-∞，-√3∪√3，+∞B.k∈-√3，√3C.k∈-2，2D.k∈-∞，-2∪2，+∞【答案】A【解析】联立方程得x^2+kx+1^2=4，化简为k^2+1x^2+2kx-3=0，判别式Δ=4k^2+120且k^2+10，解得k∈-∞，-√3∪√3，+∞

10.在直角坐标系中，点Pa，b到直线x-y=1的距离为√2，则（）（2分）A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=2D.a-b=2【答案】C【解析】d=|a-b-1|/√2=√2，解得a-b-1=±2，即a-b=0或a-b=2，结合选项得a+b=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列不等式成立的是？（）（4分）A.|x-1|2B.x^2-4x+30C.sinx+cosx1D.1/x0【答案】A、B【解析】A:x3或x-1；B:x-1x-30得1x3；C:sinx+cosx=√2sinx+π/41在x∈π/4+2kπ,5π/4+2kπ时成立；D:x

02.函数y=fx在区间a，b上单调递增，且fx是奇函数，则下列说法正确的是？（）（4分）A.faf0B.f-bfaC.fx在-a，-b上单调递减D.f0=0【答案】B、C、D【解析】奇函数f-x=-fx，故f-bfa，fx在-a，-b上单调递减，f0=-f0，得f0=

03.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的是？（）（4分）A.a=3，b=4，C=60°B.三边长之比为1:2:3C.∠A=45°，a=2，b=√2D.∠B=90°，a=3，b=4【答案】A、C、D【解析】A:由余弦定理可求c；C:符合正弦定理；D:直角三角形满足勾股定理

4.关于函数y=Asinωx+φ的图像，下列说法正确的是？（）（4分）A.周期T=2π/|ω|B.振幅为|A|C.图像关于直线x=π/2ω对称D.φ=0时图像过原点【答案】A、B【解析】周期T=2π/|ω|，振幅为|A|，φ≠0时图像不过原点

5.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2=3，a_4+a_5=75，则（）？（4分）A.q=3B.a_3=15C.a_1=1D.a_4=45【答案】A、B、D【解析】a_11+q=3，a_1q^31+q=75，解得q=3，a_1=1，a_3=a_1q^2=9，a_4=a_1q^3=27

三、填空题（每题4分，共16分）

1.直线y=2x+1与抛物线y^2=8x的交点坐标为______、______【答案】1/2,2,4,9【解析】联立方程得4x^2+4x-8=0，解得x=1/2或x=4，对应的y值分别为2和

92.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA=______，sinB=______【答案】3/5,4/5【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3/5，由正弦定理sinB=b/2R=4/5（R为外接圆半径）

3.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为______【答案】3【解析】分段函数y=3（x∈[-2,1]），最小值为

34.在四边形ABCD中，若∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=3，CD=5，则AD=______【答案】4【解析】由对角线互相平分得AB+CD=AD+BC，BC=AD-2，代入数据得AD=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x^2=1，则x=±1（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2=1等价于x=±

12.两个相似三角形的周长之比为3:5，则它们对应高的比也为3:5（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形对应线段比相等

3.函数y=cos|x|是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，故为偶函数

4.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，则a_n^2=n^2不是等差数列

5.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l可能与平面内直线相交或异面

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=2sin2x+1的振幅、周期和单调递增区间【解析】振幅|A|=2，周期T=π，单调递增区间为[-π/4+kπ，π/4+kπ]，k∈Z

2.设等差数列{a_n}中，a_1=5，d=-2，求S_10的值【解析】S_10=10a_1+10×9d/2=50-90=-

403.求过点P1，2且与直线x-y=1垂直的直线方程【解析】垂直直线的斜率为1，方程为y-2=x-1，即y=x+1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，证明fx在-∞，1上单调递增，在1，+∞上单调递减【证明】fx=3x^2-6x=3xx-2，当x∈-∞，0∪2，+∞时fx0，当x∈0，2时fx0，故fx在-∞，1上单调递增，在1，+∞上单调递减

2.设数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n【解】a_n+1-2a_n=1，设b_n=a_n-1，则b_n+1=2b_n，b_n=1×2^n-1，a_n=2^n-1+1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，BC=2√3，点D在BC上，且AD=1，求∠BAD的度数及AD的垂足E到B的距离BE【解】作DE⊥AB于E，由等腰三角形性质得∠BAD=30°，由勾股定理DE=√3，BE=√AD^2-DE^2=√1^2-√3^2=-√2（舍去），BE=

12.某工厂生产A、B两种产品，每生产一件A产品需消耗原材料3kg，劳动力2个工时，利润100元；每生产一件B产品需消耗原材料2kg，劳动力3个工时，利润150元工厂每周原材料供应量为120kg，劳动力供应量为90个工时，求每周生产A、B两种产品各多少件时利润最大？最大利润是多少？【解】设生产A产品x件，B产品y件，利润z=100x+150y，约束条件3x+2y≤120，2x+3y≤90，x≥0，y≥0作出可行域，求交点得x=30，y=20，最大利润z=100×30+150×20=6000元。