江苏竞赛综合试题及答案全解

江苏竞赛综合试题及答案全解

一、单选题

1.下列几何体中，表面积最大的是（）（2分）A.正方体B.长方体C.球体D.等边圆柱【答案】C【解析】在相同体积下，球体的表面积最小，但在相同表面积下，球体的体积最大因此，在所有几何体中，球体的表面积相对较大

2.函数fx=x^3-3x+2的导数为（）（1分）A.3x^2-3B.3x^2+3C.3x^2D.3x【答案】A【解析】fx的导数fx=3x^2-

33.某班有60名学生，其中男生占40%，女生占60%，现从中随机抽取10名学生，抽到女生人数的期望值为（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】女生人数的期望值=10×60%=

64.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）（1分）A.a,-bB.-a,bC.-a,-bD.a,b【答案】C【解析】点Pa,b关于原点对称的点的坐标是-a,-b

5.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|等于（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】|z|=√3^2+4^2=

56.方程x^2-5x+6=0的解为（）（1分）A.x=1或x=6B.x=-1或x=-6C.x=2或x=3D.x=-2或x=-3【答案】C【解析】x^2-5x+6=x-2x-3=0，解得x=2或x=

37.在一个三角形中，两个角分别为30°和60°，则第三角的度数为（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，所以第三角为180°-30°-60°=90°

8.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】在区间[0,2]上，|x-1|的最大值为2-1=

19.若ab，则下列不等式一定成立的是（）（2分）A.a^2b^2B.a^3b^3C.a+1b+1D.a-1b-1【答案】C【解析】不等式两边同时加1，不等号方向不变，所以a+1b+

110.在一个圆中，直径为10，则圆的周长为（）（1分）A.10πB.20πC.5πD.15π【答案】B【解析】圆的周长=π×直径=10π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是整式？（）A.x^2+2x+1B.3/xC.√xD.2x-5E.5【答案】A、D、E【解析】整式包括常数项、一次项、二次项等，不包括分式和根式

2.以下哪些是指数函数的图像特征？（）A.过点1,1B.在x轴上方C.单调递增D.单调递减E.图像不过原点【答案】A、B、C、E【解析】指数函数的图像过点1,1，在x轴上方，且单调递增或递减，但不过原点

3.以下哪些是向量运算的法则？（）A.向量加法交换律B.向量加法结合律C.向量数乘分配律D.向量数乘结合律E.向量减法【答案】A、B、C、D【解析】向量运算包括加法交换律、结合律、数乘分配律、数乘结合律和减法

4.以下哪些是三角函数的基本性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.对称性E.有界性【答案】A、B、C、D、E【解析】三角函数具有周期性、奇偶性、单调性、对称性和有界性

5.以下哪些是数列的通项公式？（）A.a_n=2n+1B.a_n=n^2C.a_n=1/2^nD.a_n=n!E.a_n=nπ【答案】A、B、C、D【解析】数列的通项公式可以是任意形式，但E选项中的nπ不是数列的通项公式

三、填空题

1.若方程x^2+px+q=0的两个根为α和β，则α+β=______，αβ=______（4分）【答案】-p，q【解析】根据韦达定理，α+β=-p，αβ=q

2.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a______0，若顶点在y轴上，则b______0（4分）【答案】，=【解析】函数图像开口向上，则a0；顶点在y轴上，则b=

03.在直角三角形中，若直角边长分别为3和4，则斜边长为______（4分）【答案】5【解析】根据勾股定理，斜边长=√3^2+4^2=

54.若复数z=1+i，则z的共轭复数为______（4分）【答案】1-i【解析】复数z=1+i的共轭复数为1-i

5.在等差数列中，若首项为2，公差为3，则第10项为______（4分）【答案】29【解析】第10项=a_1+10-1d=2+9×3=29

四、判断题

1.两个相似三角形的面积比等于它们的周长比（）（2分）【答案】（×）【解析】两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】当a和b为负数时，a^2不一定大于b^

23.一个四边形的内角和为360°（）（2分）【答案】（√）【解析】四边形的内角和为360°

4.对任意实数x，有|x|≥0（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对值函数的值总是非负的

5.函数fx=x^3在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fx=x^3的导数为fx=3x^2，在R上始终大于0，因此单调递增

五、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1为首项，d为公差等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1，其中a_1为首项，q为公比

2.简述三角函数的定义及其基本性质（5分）【答案】三角函数是指以角度为自变量，以三角形的边长比为函数值的函数基本三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数三角函数的基本性质包括周期性、奇偶性、单调性、对称性和有界性

3.简述复数的几何意义及其运算规则（5分）【答案】复数的几何意义是指复平面上的点，其实部为横坐标，虚部为纵坐标复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法加法运算时，实部与实部相加，虚部与虚部相加；减法运算时，实部与实部相减，虚部与虚部相减；乘法运算时，实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，并应用虚数单位i的平方等于-1的性质；除法运算时，需要将分子和分母同时乘以分母的共轭复数

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值（10分）【答案】首先，求函数的导数fx=3x^2-3令fx=0，解得x=±1当x0时，fx0，函数单调递增；当0x1时，fx0，函数单调递减；当x1时，fx0，函数单调递增因此，x=0和x=1分别是函数的极大值点和极小值点极大值为f0=2，极小值为f1=

02.分析函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的单调性和最值（10分）【答案】首先，分段讨论函数的表达式当0≤x1时，fx=1-x；当1≤x≤2时，fx=x-1在区间[0,1上，函数单调递减；在区间1,2]上，函数单调递增因此，函数在x=1处取得最小值，最小值为f1=0；在x=2处取得最大值，最大值为f2=1

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】设生产量为x件，则总收入为80x元，总成本为10000+50x元盈亏平衡点是指总收入等于总成本，即80x=10000+50x解得x=200因此，该工厂的盈亏平衡点为200件

2.某班级有60名学生，其中男生占40%，女生占60%，现从中随机抽取10名学生，求抽到女生人数的分布列和期望值（25分）【答案】设抽到女生人数为X，则X的可能取值为0,1,2,...,10根据超几何分布，PX=k=C36,k×C24,10-k/C60,10期望值EX=10×60%/100%=6分布列为PX=0=C36,0×C24,10/C60,10=

0.00001PX=1=C36,1×C24,9/C60,10=

0.

00026...PX=10=C36,10×C24,0/C60,10=

0.00001期望值为EX=6。