深度剖析江西自主招生试题及答案

深度剖析江西自主招生试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个化学方程式书写正确的是（）（2分）A.2H₂+O₂→2H₂O₂B.C₃H₈+5O₂→3CO₂+4H₂OC.2Na+2H₂O→2NaOH+H₂↑D.NaCl+AgNO₃→NaNO₃+AgCl↓【答案】C【解析】选项C为钠与水反应的正确方程式，其他选项中A为过氧化氢的生成方程式错误，B为丙烷燃烧方程式错误，D为离子方程式错误

2.若函数fx=ax²+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.b0【答案】A【解析】二次函数开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

3.下列物质中，属于纯净物的是（）（2分）A.空气B.食盐水C.冰水混合物D.不锈钢【答案】C【解析】冰水混合物中只含有水一种物质，为纯净物

4.在等比数列{aₙ}中，若a₃=4，a₅=16，则公比q为（）（2分）A.2B.4C.1/2D.1/4【答案】A【解析】由等比数列性质得q²=a₅/a₃=16/4=4，故q=

25.若直线y=kx+b与圆x-1²+y-2²=5相切，则k的值为（）（2分）A.±1B.±2C.±√3D.±√5【答案】C【解析】圆心1,2到直线的距离等于半径√5，即|k1-12+b|/√k²+1=√5，解得k=±√

36.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为2π/|ω|，此处ω=2，故周期为π

7.设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={1,2,3}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{2,3}【答案】C【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或2，故A={1,2}，A∩B={1,2}

8.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C=（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.105°【答案】D【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-60°=75°

9.若复数z=1+i，则|z|=（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】复数z=a+bi的模为|z|=√a²+b²，此处|z|=√1²+1²=√

210.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是（）（2分）A.a,-bB.-a,bC.a,bD.-a,-b【答案】B【解析】点P关于y轴对称的点的坐标为-a,b

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列不等式成立的是？（）（4分）A.-2³-1⁴B.|-3||2|C.√

21.414D.1/2⁻¹2【答案】B、C【解析】A.-2³=-8，-1⁴=1，-81，正确；B.|-3|=3，|2|=2，32，正确；C.√2≈

1.414，正确；D.1/2⁻¹=2，22，错误

2.下列函数在其定义域内单调递增的是？（）（4分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=e^xD.y=log₂x【答案】B、C、D【解析】A.y=x²在-∞,0单调递减，0,+∞单调递增，错误；B.y=2x+1为一次函数，单调递增，正确；C.y=e^x为指数函数，单调递增，正确；D.y=log₂x为对数函数，单调递增，正确

3.下列命题中为真命题的是？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.三角形的三条高交于一点D.对任意x∈R，sin²x+cos²x=1【答案】A、C、D【解析】A.空集是任何集合的子集，正确；B.若ab且ab0，则a²b²，错误；C.三角形的三条高交于垂心，正确；D.sin²x+cos²x=1为三角恒等式，正确

4.下列函数为奇函数的是？（）（4分）A.y=x³B.y=sinxC.y=x²+1D.y=tanx【答案】A、B、D【解析】A.y=x³满足f-x=-fx，为奇函数；B.y=sinx满足f-x=-fx，为奇函数；C.y=x²+1不满足f-x=-fx，不是奇函数；D.y=tanx满足f-x=-fx，为奇函数

5.下列数列中为等差数列的是？（）（4分）A.{aₙ}，其中aₙ=n²B.{aₙ}，其中aₙ=2n-1C.{aₙ}，其中aₙ=3n+1D.{aₙ}，其中aₙ=nn+1【答案】B、C【解析】A.aₙ-aₙ₋₁=n²-[n-1²]=2n-1，不是常数，不是等差数列；B.aₙ-aₙ₋₁=2n-1-[2n-1-1]=2，是等差数列；C.aₙ-aₙ₋₁=3n+1-[3n-1+1]=3，是等差数列；D.aₙ-aₙ₋₁=nn+1-n-1n=2n-1，不是常数，不是等差数列

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₅=10，则a₁₀=______（4分）【答案】18【解析】由等差数列性质得4d=a₅-a₁=10-2=8，故d=2，a₁₀=a₁+9d=2+92=

202.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】1；0【解析】当x=1时，y=|x-1|=0，最小值为0；当x=0或2时，y=|x-1|=1，最大值为

13.若复数z=a+bi满足|z|=5且argz=π/3，则a=______，b=______（4分）【答案】5√3/2；5/2【解析】|z|=5，argz=π/3，故a=|z|cosπ/3=51/2=5/2，b=|z|sinπ/3=5√3/2=5√3/

24.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA=______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理得cosA=b²+c²-a²/2bc=4²+5²-3²/245=16+25-9/40=32/40=4/

55.设函数fx=x³-3x+1，则fx的极值点是______，极大值是______，极小值是______（4分）【答案】1；3；-1【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f1=1-3+1=-1，f-1=-1+3+1=3，故极大值是3，极小值是-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】a²=b²等价于a=±b，故a不一定等于b

2.两个互斥事件同时发生的概率为0（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件指不能同时发生的事件，故同时发生的概率为

03.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f⁻¹x在区间I上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数的反函数也单调递增

4.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则△ABC为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3²+4²=5²，满足勾股定理，故为直角三角形

5.若数列{aₙ}的前n项和为Sn，且Sn=n²+n，则{aₙ}为等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】aₙ=Sn-Sn₋₁=n²+n-[n-1²+n-1]=2n，故{aₙ}为等差数列

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=x-sinx在区间[0,π]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值π；最小值0【解析】y=1-cosx，在[0,π]上y≥0，故y在[0,π]单调递增，最大值为π-sinπ=π，最小值为0-sin0=

02.已知直线l₁x+2y-1=0与直线l₂ax-y+3=0垂直，求a的值（5分）【答案】a=-2【解析】直线l₁的斜率为-1/2，l₂的斜率为a，由垂直条件得-1/2a=-1，解得a=-

23.若复数z₁=2+i，z₂=1-i，求z₁/z₂的值（5分）【答案】-1+3i【解析】z₁/z₂=2+i/1-i=[2+i1+i]/1-i1+i=2+3i-1/1+1=1+3i

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（12分）【答案】a=3；极小值【解析】fx=3x²-a，由题意得f1=3-a=0，解得a=3，fx=6x，f1=60，故x=1处取得极小值

2.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1（n∈N），求通项公式aₙ（12分）【答案】aₙ=2ⁿ-1【解析】方法一aₙ₊₁+1=2aₙ+1，令bₙ=aₙ+1，则bₙ₊₁=2bₙ，故bₙ=b₁2ⁿ⁻¹=2ⁿ，aₙ=bₙ-1=2ⁿ-1方法二aₙ₊₁=2aₙ+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，aₙ-2aₙ₋₁=1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1，故aₙ=2aₙ₋₁+1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的图像如图所示，解答下列问题

（1）求函数fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值；（25分）【答案】最大值2；最小值-2【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-2

（2）若函数gx=x³-ax+1在区间[-1,3]上单调递增，求实数a的取值范围（25分）【答案】a≤-9【解析】gx=3x²-a，由题意得gx≥0在[-1,3]上恒成立，即3x²≥a在[-1,3]上恒成立，故a≤3x²在[-1,3]上恒成立，故a≤33²=27，但需进一步验证，当x=1时，3-a≥0，即a≤3，当x=3时，27-a≥0，即a≤27，故a≤-

92.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若设产品的销售量为x件，求

（1）该工厂的总成本Cx和总收益Rx的函数表达式；（25分）【答案】Cx=10000+50x；Rx=80x【解析】总成本Cx=固定成本+可变成本=10000+50x；总收益Rx=售价销量=80x

（2）该工厂的利润函数Px的表达式，并求当销售量为多少件时，工厂开始盈利？（25分）【答案】Px=30x-10000；x

333.33【解析】利润函数Px=总收益-总成本=80x-10000+50x=30x-10000，工厂开始盈利即Px0，解得x10000/30=

333.33，故销售量至少为334件---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.B

10.B

二、多选题

1.B、C

2.B、C、D

3.A、C、D

4.A、B、D

5.B、C

三、填空题

1.

182.1；

03.5√3/2；5/

24.4/

55.1；3；-1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值π；最小值

02.a=-

23.z₁/z₂=-1+3i

六、分析题

1.a=3；极小值

2.aₙ=2ⁿ-1

七、综合应用题

1.

（1）最大值2；最小值-2

（2）a≤-

92.

（1）Cx=10000+50x；Rx=80x

（2）Px=30x-10000；x

333.33。