直击数学保送竞赛试题及参考答案

直击数学保送竞赛试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2,0}【答案】C【解析】A={1,2}，若B⊆A，则方程x²-ax+1=0的解必须为1或2或同时为1和2若B=∅，则Δ=a²-40，得-2a2，满足条件若B={1}，则1+a+1=0，a=-2，不满足Δ≥0若B={2}，则4-2a+1=0，a=5/2，不满足Δ≥0若B={1,2}，则1+a+1=0且4-2a+1=0，无解综上，a=2时B=∅⊆A，故选C

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.0B.1C.3D.4【答案】C【解析】fx表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两定点间距离|1--2|=3，故选C

3.若复数z满足|z|=1，则z²+1的模的最小值为（）（2分）A.0B.1C.√2D.2【答案】B【解析】设z=cosθ+isinθ，则z²+1=cos2θ+isin2θ+1=（cos2θ+1）+isin2θ=2cos²θ+isin2θ其模为√[（2cos²θ）²+sin2θ²]=√[4cos⁴θ+4cos²θsin²θ]=√[4cos²θcos²θ+sin²θ]=2|cosθ|≥1，最小值为1，故选B

4.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s=s+i2printsA.55B.55C.70D.120【答案】A【解析】s=1²+2²+3²+4²+5²=55，故选A

5.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值为（）（2分）A.5/6B.1/6C.-1/6D.7/18【答案】B【解析】cosC=-cosA+B=-cosAcosB+sinAsinB=-1/2×1/3+√1-1/4×√1-1/9=1/6，故选B

6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=21，则a_9的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由S_3=9，S_6=21，得a_4+a_5+a_6=12，即3a_5=12，a_5=4又S_6=3a_4+3a_5=21，得3a_4+12=21，a_4=3所以d=a_5-a_4=1，a_9=a_5+4d=4+4=8，故选C

7.执行以下代码段后，变量count的值为（）（2分）count=0forxin[1,2,3,4,5]:ifx%2==0:continuecount=count+1A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】当x=1,3,5时，count依次加1，最终count=3，故选D

8.函数fx=lnx+√x²+1的定义域为（）（2分）A.RB.0,∞C.-∞,-1∪1,+∞D.R【答案】D【解析】x+√x²+1x+|x|≥0恒成立，所以定义域为R，故选D

9.若函数fx=x³-3x+a在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.-1B.2C.1D.-2【答案】D【解析】fx=3x²-3，令f1=0，得3-3+a=0，a=0但f1=60，fx在x=1处为极小值，所以a=-2，故选D

10.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则b_7的值为（）（2分）A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】q³=b_4/b_1=16/2=8，得q=2b_7=b_4q³=16×8=128，故选B

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若x²=1，则x=±1D.若Δ0，则方程有两个不相等实根【答案】A、C、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集B错误，如a=-2b=-3，但a²=4b²=9C正确，x²=1的解为x=±1D正确，Δ0时方程有两个不相等实根考查集合、不等式、方程等基础知识

2.关于函数fx=ax²+bx+c，下列说法正确的有（）（4分）A.若a0，则fx开口向上B.若Δ=b²-4ac0，则fx无实数根C.若f1=0，则x=1是fx的对称轴D.若a=c，则fx的图像关于y轴对称【答案】A、B、D【解析】A正确，a0时抛物线开口向上B正确，Δ0时无实数根C错误，f1=0意味着x=1是根，但不一定是对称轴，对称轴为x=-b/2aD正确，若a=c，则fx=ax²+bx+a=x+b/2a²-ab/2a²，图像关于x=-b/2a对称，当a=c时，对称轴为x=0，即y轴考查二次函数性质

3.在四棱锥P-ABCD中，下列条件中能确定该四棱锥体积的有（）（4分）A.底面ABCD是边长为a的正方形B.高为hC.P到平面ABCD的距离为hD.底面ABCD的面积为S【答案】A、B、C、D【解析】V=1/3×底面积×高，A给出底面积a²，B给出高h，C给出高h，D给出底面积S，均能确定体积，考查几何计算需注意A、B、C、D中至少有两个条件才可计算，但题目问能确定的有哪些条件，故全选

4.关于数列{a_n}，下列说法正确的有（）（4分）A.若{a_n}是等差数列，则S_n是二次函数B.若{a_n}是等比数列，则当q≠1时，S_n=a_1-a_nq/1-qC.若{a_n}单调递增，则a_n-a_n-10D.若{a_n}是等差数列，且a_1+a_3+a_5=15，则a_2+a_4+a_6=30【答案】A、B、D【解析】A正确，S_n=n/22a_1+n-1d=an_n²+a_1-dn，是二次函数（d≠0）B正确，等比数列求和公式C错误，a_n-a_n-10是单调递增的定义，但若{a_n}为常数列，则a_n-a_n-1=0D正确，a_1+a_3+a_5=3a_3=15，得a_3=5，则a_2+a_4+a_6=3a_4=3a_3+d=35+d=30，因为a_4=a_3+d考查数列性质

5.下列命题中，为真命题的有（）（4分）A.若fx是奇函数，则f0=0B.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称C.若fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续D.若fx是周期函数，则存在一个正数T，使得fx+T=fx【答案】B、D【解析】A错误，fx是奇函数不一定有f0=0，如fx=x³+c，若c≠0，则fx为奇函数但f0=c≠0B正确，偶函数定义C错误，单调递增不一定连续，如狄利克雷函数在R上单调递增但处处不连续D正确，周期函数定义考查函数性质

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若方程x²+px+q=0的两个实根之差的绝对值为3，则p²+q²的最小值为_________（4分）【答案】10【解析】设两根为x₁,x₂，|x₁-x₂|=3，得p²-4q½=3，p²-4q=9p²+q²≥2√p²q²≥2√9q²=6|q|，又p²-4q=9，q=p²-9/4代入p²+q²，得p²+p²-9/4=5p²/4-9/4，要使其最小，需p²最小，由p²-4q=9，q≥0，得p²≥9，最小p²=9，此时q=0，p²+q²=9，但需要验证是否满足|x₁-x₂|=3若p=3，q=0，x²+3x=0，x₁=0,x₂=-3，|x₁-x₂|=3成立所以p²+q²的最小值为

92.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则sinC的值为_________（4分）【答案】√11/6【解析】sinC=sinπ-A-B=sinAcosB+cosAsinB=√1-1/4×1/3+1/2×√1-1/9=√11/6，考查和角公式

3.若复数z=1+i，则z⁵的实部为_________（4分）【答案】-4【解析】z=1+i，z²=2i，z⁴=z²²=4，z⁵=z⁴z=41+i=-4+4i，实部为-

44.执行以下代码段后，变量sum的值为_________（4分）sum=0foriinrange1,10:ifi%2==0:continuesum=sum+isum【答案】25【解析】sum=1+3+5+7+9=25，考查循环和条件判断

5.函数fx=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为_________（4分）【答案】4【解析】fx=3x²-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3f-1=-4，f1-√3/3=1-2√3/3，f1+√3/3=1+2√3/3，f3=0最大值为max{-4,1-2√3/3,1+2√3/3,0}=4，即f1+√3/3=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如狄利克雷函数在R上单调递增但处处不连续

2.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁·z₂是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】z₁·z₂=2+3i1-2i=8-i，不是纯虚数

3.若集合A={x|x²-4x+3=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为{2,3}（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1,3}，若B⊆A，则a=4±√16-4即a=2或a=6，故集合为{2,6}

4.若fx=x²-2x+1，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=x-1²，图像关于x=1对称

5.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=10，S_10=30，则S_15=60（）（2分）【答案】（×）【解析】S_5=10，S_10=30，S_10-S_5=20，即5d=20，d=4S_15-S_10=5d=20，S_15=30+20=50

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x²-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx=6x-6，f1-√3/3=61-√3/3-6=-2√30，fx在x=1-√3/3处取极大值；f1+√3/3=2√30，fx在x=1+√3/3处取极小值

2.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求cosA的值（5分）【答案】由余弦定理，cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/40=32/40=4/

53.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+n，求a_5的值（5分）【答案】a_n=S_n-S_{n-1}=2n²+n-[2n-1²+n-1]=4n-1，a_5=4×5-1=19

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x的取值范围（12分）【答案】分段讨论

①x-2，fx=-x-1-x+2=-2x-1；

②-2≤x≤1，fx=-x-1+x+2=3；

③x1，fx=x-1+x+2=2x+1函数在x=-2处由-2x-1→3，在x=1处由3→2x+1，最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1+a_2+a_3=13，a_1·a_2·a_3=27，求{a_n}的通项公式（12分）【答案】设公比为q，a_1+a_1q+a_1q²=13，a_1³q³=27，得a_1³=27/q³=27，a_1=331+q+q²=13，1+q+q²=13/3q²+q-10/3=0，q-2/3q+5/3=0，q=2/3或q=-5/3a_n=32/3^n-1或a_n=3-5/3^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-px+q，若fx在x=1处取得极值，且f1=2，求fx的解析式及极值（25分）【答案】fx=3x²-p，令f1=0，得p=3f1=1-p+q=2，得q=4fx=x³-3x+4，fx=3x²-3，fx=6x，f1=60，fx在x=1处取极小值，极小值为f1=2无极大值

2.某工厂生产一种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品，可变成本为b万元，售价为c万元，若生产x件产品的利润为Lx万元，求Lx的表达式，并求生产多少件产品时利润最大（25分）【答案】Lx=cx-bx-a=c-bx-a要使Lx最大，需c-bx-a最大若cb，Lx随x增大而增大，无最大值若c=b，Lx=-a，无最大值若cb，Lx随x增大而减小，Lx在x=0时取得最大值，但此时利润为0实际生产中，需考虑市场需求等因素确定最优生产量若假设c-b=k0，则Lx=kx-a，最大值在x=0时为-a，实际生产中需考虑边际成本和售价的关系确定最优生产量。