直击自主招生保送考试试题与答案

直击自主招生保送考试试题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,+∞上单调递增C.fx在R上单调递增D.fx在R上无最小值【答案】B【解析】函数开口向上且顶点在x轴上，说明a0且△=b^2-4ac=0，此时函数在x=0处取得最小值，在0,+∞上单调递增

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC的值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6-√2/4【答案】D【解析】由三角形内角和定理得角C=75°，sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√2/

43.若复数z=1+i^10的实部为a，虚部为b，则a+b的值为（）A.1024B.512C.256D.128【答案】C【解析】1+i^2=2i，1+i^10=2i^5=32i^5=-32i，实部a=0，虚部b=-32，a+b=-

324.某班级有男生20人，女生30人，现要选出3人组成代表队，则至少有1名女生的选法有（）种A.116B.1160C.6D.840【答案】B【解析】至少1名女生的反面是全是男生，C20,3=1140，所以至少1名女生的选法有1140-0=1160种

5.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5S_3，则数列的公差d一定满足（）A.d0B.d0C.d=0D.d≥0【答案】A【解析】S_5-S_3=a_4+a_5=a_1+4d+a_1+5d=2a_1+9d0，因为a_1为常数，所以d

06.在空间直角坐标系中，点Px,y,z到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为（）A.|Ax+By+Cz+D|/√A^2+B^2+C^2B.|Ax+By+Cz+D|/√A^2+B^2C.|Ax+By+Cz|/√A^2+B^2+C^2D.|Ax+By+Cz+D|【答案】A【解析】点到平面的距离等于点到平面垂线的长度，公式为|Ax+By+Cz+D|/√A^2+B^2+C^

27.函数fx=log_ax^2-2x+3在1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.1,2【答案】B【解析】x^2-2x+3=x-1^2+2在1,+∞上单调递增，且恒大于0，当a1时，log_ax单调递增，所以a

18.若函数fx=sinωx+φ的图像向左平移π/4个单位后与原图像重合，则ω的可能取值为（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】周期T=2π/ω，平移π/4个单位后重合说明π/4是周期的整数倍，即2π/ω=kπ/4，解得ω=8k，k为正整数

9.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则b_5的值为（）A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】设公比为q，则b_3=b_1q^2，8=2q^2，q=2，b_5=b_3q^2=8×4=

3210.若x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0，则x+2y的最大值为（）A.2√2B.4C.6D.8【答案】C【解析】方程可化为x-1^2+y+2^2=5，表示以1,-2为圆心，半径为√5的圆，x+2y的最大值为圆心到直线x+2y=0的距离+半径=|-1+4|+√5=6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于三角函数的说法正确的有（）A.y=tanx是奇函数B.y=cotx是偶函数C.y=sinx在π/2,π上单调递减D.y=cosx在π,3π/2上单调递减E.y=secx是周期函数【答案】A、C、D、E【解析】tan-x=-tanx是奇函数，cot-x=-cotx是奇函数，sinx在π/2,π上单调递减，cosx在π,3π/2上单调递减，secx=1/cosx是周期函数

2.关于数列{a_n}，下列说法正确的有（）A.若{a_n}是等差数列，则S_n是二次函数B.若{a_n}是等比数列，则S_n是指数函数C.若{a_n}单调递增，则S_n单调递增D.若{a_n}是等差数列，且S_n是等差数列，则{a_n}是常数列E.若{a_n}是等比数列，且S_n是等比数列，则{a_n}是常数列【答案】A、D、E【解析】等差数列的前n项和是二次函数形式，若{a_n}是等差数列，且S_n是等差数列，则a_n=a_1+n-1d，S_n=na_1+n-1nd=na_1+nd/2，要使S_n是等差数列，需d=0，即{a_n}是常数列；若{a_n}是等比数列，且S_n是等比数列，则q=1，即{a_n}是常数列

3.关于函数fx，下列说法正确的有（）A.若fx是奇函数，则fx^2是偶函数B.若fx是偶函数，则fx^2是奇函数C.若fx在R上单调递增，则fx|_{x=0}最小D.若fx在R上单调递减，则fx|_{x=0}最大E.若fx是周期函数，则fx的图像有无数条对称轴【答案】A、E【解析】f-x^2=fx^2，所以fx^2是偶函数；fx是偶函数时，fx^2是偶函数；若fx在R上单调递增，fx|_{x=0}不一定最小；若fx在R上单调递减，fx|_{x=0}不一定最大；周期函数有无数条对称轴

4.关于立体几何，下列说法正确的有（）A.直线与平面平行的充要条件是直线与平面内无数条直线平行B.直线与平面垂直的充要条件是直线与平面内任意一条直线垂直C.两个平面平行的充要条件是两个平面内各取两条平行线，这两条直线平行D.两个平面垂直的充要条件是两个平面的法向量垂直E.三棱锥的体积等于底面积乘以高的三分之一【答案】B、D、E【解析】直线与平面平行的充要条件是直线与平面内无数条直线平行或直线在平面内；直线与平面垂直的充要条件是直线与平面内任意一条直线垂直；两个平面平行的充要条件是两个平面内各取两条平行线，这两条直线平行或共线；两个平面垂直的充要条件是两个平面的法向量垂直；三棱锥的体积公式为V=1/3×底面积×高

5.关于解析几何，下列说法正确的有（）A.椭圆的焦点到长轴两端的距离相等B.双曲线的渐近线是过焦点的直线C.抛物线的焦点到准线的距离是p/2D.直线与椭圆相切的条件是联立方程组后判别式Δ=0E.直线与双曲线相切的条件是联立方程组后判别式Δ=0【答案】A、D、E【解析】椭圆的焦点到长轴两端的距离是半长轴a；双曲线的渐近线不经过焦点；抛物线的焦点到准线的距离是p/2；直线与椭圆相切的条件是联立方程组后判别式Δ=0；直线与双曲线相切的条件是联立方程组后判别式Δ=0

三、填空题（每题4分，共40分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为______【答案】3【解析】fx表示数轴上x点到1和-2点的距离之和，最小值为1--2=

32.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=√3/2，则cosC的值为______【答案】-1/2【解析】cosC=-cosA+B=-cosAcosB+sinAsinB=-1/2×√3/2+√3/2×√3/2=-1/

23.复数z=1+i除以i的商的模为______【答案】√2【解析】z/i=1+i/i=-1+1i，模为|-1+1i|=√

24.等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则第10项a_{10}的值为______【答案】29【解析】a_{10}=2+3×10-1=

295.函数fx=2^x在区间[1,3]上的值域为______【答案】[2,8]【解析】f1=2，f3=8，函数单调递增，值域为[2,8]

6.若点P1,2到直线3x+4y-5=0的距离为d，则d=______【答案】3【解析】d=|3×1+4×2-5|/√3^2+4^2=

37.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则b_6的值为______【答案】64【解析】设公比为q，b_4=b_2q^2，16=4q^2，q=2，b_6=b_4q^2=16×4=

648.函数fx=sinx+π/4的周期为______【答案】2π【解析】sin函数的周期为2π，平移不改变周期

9.若圆x-1^2+y+2^2=4的圆心到直线x-y=1的距离为d，则d=______【答案】√2【解析】d=|1--2-1|/√1^2+-1^2=√

210.若函数fx=x^2+px+q的图像经过点1,0和2,3，则p+q的值为______【答案】3【解析】f1=1+p+q=0，f2=4+2p+q=3，解得p=-3，q=2，p+q=-1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】当a、b为负数时不成立，如a=-1，b=-

22.等差数列{a_n}中，若a_10，d0，则S_n最大（）【答案】（×）【解析】S_n是关于n的二次函数，开口向下，最大值在n取整数时取得

3.若复数z满足|z|=1，则z^2一定是纯虚数（）【答案】（×）【解析】z=1时，z^2=1，不是纯虚数

4.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是Δ=0（）【答案】（×）【解析】应联立方程组后计算判别式Δ=

05.若函数fx在x=x_0处取得极值，则fx_0=0（）【答案】（√）【解析】根据极值必要条件，可导函数在极值点处导数为

06.若向量a=1,2，b=3,4，则a·b=10（）【答案】（√）【解析】a·b=1×3+2×4=

117.若三角形的三边长为

5、

12、13，则该三角形是直角三角形（）【答案】（√）【解析】5^2+12^2=13^2，符合勾股定理

8.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续（）【答案】（×）【解析】单调递增的函数不一定是连续函数，如分段函数

9.若圆x^2+y^2=r^2与直线y=kx相切，则k^2=r^2（）【答案】（√）【解析】判别式Δ=0，即k^2r^2=r^4，k^2=r^

210.若函数fx是奇函数，则fx|_{x=0}=0（）【答案】（×）【解析】fx是奇函数，f0必须为0，但题目没有说明fx在x=0处定义

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值1，最小值-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为1，最小值为-

22.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a·b【答案】a+b=4,-2，a·b=-5【解析】a+b=1+3，2-4=4,-2，a·b=1×3+2×-4=-

53.求过点1,2且与直线3x+4y-5=0平行的直线方程【答案】3x+4y-11=0【解析】设直线方程为3x+4y+c=0，代入点1,2得3+8+c=0，c=-11，所以直线方程为3x+4y-11=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=|x-a|+|x-b|，其中ab，讨论fx的单调性【答案】在-∞,a上单调递减，在a,b上单调递增，在b,+∞上单调递减【解析】fx在-∞,a上fx=a+b-2x，单调递减；在a,b上fx=b-a+2x，单调递增；在b,+∞上fx=2x-a-b，单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求通项公式a_n【答案】a_n=2^{n-1}【解析】当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^{n-1}，所以a_n=2^{n-1}

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的圆心坐标和半径【答案】圆心2,-3，半径√10【解析】圆方程可化为x-2^2+y+3^2=10，圆心2,-3，半径√

102.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并判断极大值还是极小值【答案】极值点x=0为极大值点，x=2为极小值点【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，极大值；f2=60，极小值。