直击高考数列试题及详细作答

直击高考数列试题及详细作答

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+n，则a_5的值是（）（2分）A.10B.11C.12D.15【答案】C【解析】根据递推公式，a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+3=6，a_4=a_3+4=10，a_5=a_4+5=15，故选C

2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=24，则a_6的值是（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】设公差为d，则a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d，由a_3+a_9=24，得2a_1+10d=24，即a_1+5d=12，故a_6=a_1+5d=12，选D

3.已知数列{b_n}是等比数列，若b_1=2，b_4=32，则b_2的值是（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】设公比为q，则b_4=b_1q^3，由b_4=32，得2q^3=32，解得q=2，故b_2=b_1q=4，选A

4.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_n=S_n/n+1，则{c_n}是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.非等差等比数列【答案】A【解析】由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列，选A

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=n^2+n，则a_5的值是（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_5=2×5=10，选B

6.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则b_6的值是（）（2分）A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】设公比为q，则b_4=b_2q^2，由b_4=16，得4q^2=16，解得q=2，故b_6=b_4q^2=64，选B

7.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_n=S_n/n+1，则{c_n}的前n项和是（）（2分）A.nn+1B.n^2n+1C.nn+1^2D.n^2n+1^2【答案】A【解析】由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列，其前n项和为nn+1，选A

8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值是（）（2分）A.24B.27C.30D.33【答案】C【解析】设公差为d，则a_4=a_1+3d，a_5=a_1+4d，a_6=a_1+5d，由a_4+a_5+a_6=18，得3a_1+12d=18，即a_1+4d=6，故a_7+a_8+a_9=3a_1+18d=3a_1+6d=30，选C

9.已知数列{b_n}是等比数列，若b_1=3，b_4=81，则b_3的值是（）（2分）A.9B.27C.243D.729【答案】B【解析】设公比为q，则b_4=b_1q^3，由b_4=81，得3q^3=81，解得q=3，故b_3=b_1q^2=27，选B

10.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_n=S_n/n+1，则{c_n}的前n项和是（）（2分）A.nn+1B.n^2n+1C.nn+1^2D.n^2n+1^2【答案】A【解析】由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列，其前n项和为nn+1，选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}C.数列的前n项和S_n可以表示为a_n-a_{n-1}D.数列的前n项和S_n可以表示为na_1+n-1na_2【答案】A、B【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，等比数列的通项公式为a_n=a_1q^{n-1}，故A、B正确；数列的前n项和S_n可以表示为a_n-a_{n-1}，故C正确；数列的前n项和S_n可以表示为na_1+n-1na_2，故D错误

2.下列关于数列的应用正确的有（）（4分）A.等差数列可以用于计算物体的匀速运动B.等比数列可以用于计算复利问题C.数列可以用于计算物体的匀加速运动D.数列可以用于计算物体的周期性运动【答案】A、B【解析】等差数列可以用于计算物体的匀速运动，等比数列可以用于计算复利问题，故A、B正确；数列可以用于计算物体的匀加速运动，故C错误；数列可以用于计算物体的周期性运动，故D错误

3.下列关于数列的性质正确的有（）（4分）A.等差数列的任意两项之差为常数B.等比数列的任意两项之比为常数C.数列的任意两项之差为常数D.数列的任意两项之比为常数【答案】A、B【解析】等差数列的任意两项之差为常数，等比数列的任意两项之比为常数，故A、B正确；数列的任意两项之差为常数，故C错误；数列的任意两项之比为常数，故D错误

4.下列关于数列的求和公式正确的有（）（4分）A.等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2B.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-qC.数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2D.数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q【答案】A、B【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，故A、B正确；数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，故C错误；数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，故D错误

5.下列关于数列的极限正确的有（）（4分）A.等差数列的极限存在B.等比数列的极限存在C.数列的极限存在D.数列的极限不存在【答案】A、B【解析】等差数列的极限存在，等比数列的极限存在，故A、B正确；数列的极限存在，故C错误；数列的极限不存在，故D错误

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=15，则公差d=______（4分）【答案】3【解析】由a_5=a_1+4d，得15=3+4d，解得d=

32.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则公比q=______（4分）【答案】4【解析】由b_4=b_1q^3，得32=2q^3，解得q=

43.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_n=S_n/n+1，则{c_n}的前n项和S_n=______（4分）【答案】nn+1【解析】由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列，其前n项和为nn+

14.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9=______（4分）【答案】24【解析】设公差为d，则a_4=a_1+3d，a_5=a_1+4d，a_6=a_1+5d，由a_4+a_5+a_6=18，得3a_1+12d=18，即a_1+4d=6，故a_7+a_8+a_9=3a_1+18d=3a_1+6d=24

四、判断题（每题2分，共10分）

1.等差数列的任意两项之差为常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的任意两项之差为常数

2.等比数列的任意两项之比为常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的任意两项之比为常数

3.数列的任意两项之差为常数（）（2分）【答案】（×）【解析】数列的任意两项之差不一定为常数

4.数列的任意两项之比为常数（）（2分）【答案】（×）【解析】数列的任意两项之比不一定为常数

5.数列的极限存在（）（2分）【答案】（×）【解析】数列的极限不一定存在

五、简答题（每题5分，共10分）

1.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，d=3（5分）【答案】S_n=n2+n-13/2=n2+3n-3/2=n3n-1/2【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，其中a_n=a_1+n-1d，代入a_1=2，d=3，得a_n=2+3n-1=3n-1，故S_n=n2+3n-1/2=n3n-1/

22.求等比数列{b_n}的前n项和S_n，其中b_1=3，q=2（5分）【答案】S_n=31-2^n/1-2【解析】等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q，代入b_1=3，q=2，得S_n=31-2^n/1-2=32^n-1/1=32^n-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若c_n=S_n/n+1，求证{c_n}是等差数列（10分）【答案】证明由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列【解析】由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列

2.已知数列{b_n}是等比数列，若b_1=2，b_4=32，求b_6的值（10分）【答案】b_6=256【解析】设公比为q，则b_4=b_1q^3，由b_4=32，得2q^3=32，解得q=2，故b_6=b_4q^2=32×4=256

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+n，求a_5的值（25分）【答案】a_5=15【解析】根据递推公式，a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+3=6，a_4=a_3+4=10，a_5=a_4+5=15，故a_5=15

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.A

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B

2.A、B

3.A、B

4.A、B

5.A、B

三、填空题

1.

32.

43.nn+

14.24

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.S_n=n3n-1/

22.S_n=32^n-1

六、分析题

1.证明由c_n=S_n/n+1，得S_n=c_nn+1，即S_n=S_{n-1}+c_n，整理得c_n=2c_{n-1}，故{c_n}是等差数列

2.b_6=256

七、综合应用题

1.a_5=15。