矩形判定综合试题及答案详解

矩形判定综合试题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列条件中，能判定一个四边形是矩形的是（）A.有一个角是直角B.对角线互相平分C.对角线相等D.邻边相等【答案】B【解析】矩形的判定定理有有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，且有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形选项B是对角线互相平分，且符合矩形判定条件

2.已知四边形ABCD中，∠A=90°，且AD//BC，则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形【答案】B【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形，故四边形ABCD是矩形

3.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA=3cm，则AC的长度为（）A.3cmB.6cmC.9cmD.无法确定【答案】B【解析】矩形的对角线相等且互相平分，故AC=2OA=6cm

4.矩形的一条边长为8cm，相邻两边的比为2:3，则矩形的周长为（）A.20cmB.40cmC.60cmD.80cm【答案】C【解析】设矩形的长和宽分别为3x和2x，则3x=8cm，解得x=8/3cm，宽为2x=16/3cm，周长为23x+2x=10x=60cm

5.下列图形中，一定是矩形的是（）A.等腰梯形B.平行四边形C.菱形D.正方形【答案】D【解析】正方形是特殊的矩形，具有矩形的全部性质

6.矩形ABCD中，∠B=60°，则AC的长度与BD的长度之比为（）A.1:2B.1:√3C.1:1D.2:1【答案】C【解析】矩形的对角线相等，且∠B=60°，则四边形ABCD是正方形，故AC=BD

7.已知矩形ABCD的周长为40cm，对角线AC=10cm，则矩形的长和宽分别为（）A.6cm，8cmB.8cm，6cmC.5cm，10cmD.10cm，5cm【答案】A【解析】设矩形的长和宽分别为x和y，则2x+y=40cm，x²+y²=10²，解得x=6cm，y=8cm

8.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形【答案】C【解析】AO=BO说明四边形是菱形，又因为对角线互相平分且有一个角是直角，故四边形是正方形

9.矩形ABCD中，∠A=90°，且AD=BC，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形【答案】C【解析】有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD是正方形

10.矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线交角为60°，则矩形的周长为（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm【答案】C【解析】设矩形的长和宽分别为x和y，则x²+y²=10²，对角线交角为60°，则较短的对角线为10cm，较长的对角线为10√3cm，故周长为2x+y=40cm

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些条件能判定一个四边形是矩形？（）A.有一个角是直角B.对角线互相平分且相等C.对角线互相平分D.邻边垂直E.四个角都是直角【答案】A、B、E【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；四个角都是直角的四边形是矩形对角线互相平分只能判定为平行四边形，邻边垂直不能判定为矩形

2.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以下哪些性质是正确的？（）A.AO=COB.BO=DOC.AB=BCD.OA²+OB²=AC²E.AB²+BC²=AC²【答案】A、B、D、E【解析】矩形的对角线互相平分且相等，故AO=CO，BO=DO；根据勾股定理，OA²+OB²=AC²，AB²+BC²=AC²

三、填空题（每题4分，共32分）

1.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8cm，BC=6cm，则对角线AC的长度为______cm【答案】10【解析】根据勾股定理，AC=√AD²+BC²=√8²+6²=10cm

2.矩形的一条边长为10cm，相邻两边的比为3:4，则矩形的周长为______cm【答案】56【解析】设矩形的长和宽分别为3x和4x，则3x=10cm，解得x=10/3cm，宽为4x=40/3cm，周长为23x+4x=56cm

3.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=6cm，则对角线AC的长度为______cm【答案】12【解析】矩形的对角线互相平分，故AC=2AO=12cm

4.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=5cm，BC=13cm，则对角线AC的长度为______cm【答案】14【解析】根据勾股定理，AC=√AD²+BC²=√5²+13²=14cm

5.矩形的一条边长为6cm，相邻两边的比为2:3，则矩形的周长为______cm【答案】48【解析】设矩形的长和宽分别为3x和2x，则3x=6cm，解得x=2cm，宽为2x=4cm，周长为23x+2x=48cm

6.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO，则四边形ABCD一定是______【答案】正方形【解析】AO=BO说明四边形是菱形，又因为对角线互相平分且有一个角是直角，故四边形是正方形

7.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC，则四边形ABCD一定是______【答案】正方形【解析】有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD是正方形

8.矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线交角为60°，则矩形的周长为______cm【答案】40【解析】设矩形的长和宽分别为x和y，则x²+y²=10²，对角线交角为60°，则较短的对角线为10cm，较长的对角线为10√3cm，故周长为2x+y=40cm

四、判断题（每题2分，共10分）

1.矩形的一条边长为8cm，相邻两边的比为2:3，则矩形的周长为40cm（）【答案】（×）【解析】设矩形的长和宽分别为3x和2x，则3x=8cm，解得x=8/3cm，宽为2x=16/3cm，周长为23x+2x=40cm，故该命题正确

2.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO，则四边形ABCD一定是正方形（）【答案】（×）【解析】AO=BO说明四边形是菱形，又因为对角线互相平分且有一个角是直角，故四边形是正方形，故该命题正确

3.矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线交角为60°，则矩形的周长为30cm（）【答案】（×）【解析】设矩形的长和宽分别为x和y，则x²+y²=10²，对角线交角为60°，则较短的对角线为10cm，较长的对角线为10√3cm，故周长为2x+y=40cm，故该命题错误

4.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC，则四边形ABCD一定是正方形（）【答案】（×）【解析】有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD是正方形，故该命题正确

5.矩形的一条边长为6cm，相邻两边的比为2:3，则矩形的周长为36cm（）【答案】（×）【解析】设矩形的长和宽分别为3x和2x，则3x=6cm，解得x=2cm，宽为2x=4cm，周长为23x+2x=48cm，故该命题错误

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩形的判定定理【答案】矩形的判定定理有

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，且有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形

2.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO，则四边形ABCD一定是正方形，为什么？【答案】因为AO=BO说明四边形是菱形，又因为对角线互相平分且有一个角是直角，故四边形是正方形

3.矩形的一条边长为8cm，相邻两边的比为2:3，求矩形的周长【答案】设矩形的长和宽分别为3x和2x，则3x=8cm，解得x=8/3cm，宽为2x=16/3cm，周长为23x+2x=40cm

4.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC，求证四边形ABCD是正方形【答案】证明因为AD=BC，且∠A=90°，所以四边形ABCD是平行四边形又因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，故四边形ABCD是矩形又因为AD=BC，故四边形ABCD是正方形

5.矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线交角为60°，求矩形的周长【答案】设矩形的长和宽分别为x和y，则x²+y²=10²，对角线交角为60°，则较短的对角线为10cm，较长的对角线为10√3cm，故周长为2x+y=40cm

六、分析题（每题10分，共20分）

1.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO=CO=DO，求证四边形ABCD是正方形【答案】证明因为AO=BO=CO=DO，所以四边形ABCD是菱形又因为对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形又因为对角线互相垂直，故四边形ABCD是正方形

2.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=BC，对角线AC与BD相交于点O，若AO=BO，求证四边形ABCD是正方形【答案】证明因为AO=BO，所以四边形ABCD是菱形又因为∠A=90°，故四边形ABCD是正方形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=6cm，BO=8cm，求矩形ABCD的周长【答案】解因为对角线AC与BD相交于点O，且AO=6cm，BO=8cm，所以AC=2AO=12cm，BD=2BO=16cm根据勾股定理，AB=√AO²+BO²=√6²+8²=10cm因为对角线互相平分，故AD=BC=10cm所以矩形ABCD的周长为2AB+AD=210+10=40cm

2.矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8cm，BC=6cm，对角线AC与BD相交于点O，求矩形ABCD的面积【答案】解根据勾股定理，AC=√AD²+BC²=√8²+6²=10cm因为对角线互相平分，故AO=CO=5cm，BO=DO=5√3cm矩形ABCD的面积为AD×BC=8cm×6cm=48cm²。