矩阵计算典型试题及标准答案

矩阵计算典型试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列矩阵中，属于可逆矩阵的是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}12\\36\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}45\\67\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}13\\-3-9\end{pmatrix}$$【答案】C【解析】只有C选项的行列式不为0，因此可逆

2.设矩阵A和B可逆，下列运算中不一定有意义的是（）（2分）A.A+BB.A-BC.ABD.BA【答案】A【解析】矩阵加法需要矩阵的行数和列数分别相等

3.矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的转置矩阵是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}23\\14\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}$$【答案】A【解析】转置矩阵是将原矩阵的行和列互换

4.若矩阵A的秩为2，则A的转置矩阵A^T的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】矩阵的秩等于其转置矩阵的秩

5.矩阵$$\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}$$的逆矩阵是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}00\\01\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}00\\00\end{pmatrix}$$【答案】无解【解析】该矩阵不可逆

6.矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$乘以$$\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}$$的结果是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}1518\\2124\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}1314\\1516\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}1720\\2326\end{pmatrix}$$【答案】A【解析】矩阵乘法按规则计算

7.若矩阵A和矩阵B的乘积AB是零矩阵，则（）（2分）A.A或B必有一个是零矩阵B.A和B都是零矩阵C.A和B中至少有一个不可逆D.A和B都是可逆矩阵【答案】C【解析】AB为零矩阵时，A或B至少有一个不可逆

8.矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的行列式是（）（2分）A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】行列式计算为1×4-2×3=-

29.若矩阵A可逆，且A的逆矩阵为A^-1，则A^-1的逆矩阵是（）（2分）A.AB.A^TC.A^-1D.零矩阵【答案】A【解析】逆矩阵的逆矩阵是原矩阵

10.矩阵$$\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}$$是（）（2分）A.零矩阵B.单位矩阵C.可逆矩阵D.不可逆矩阵【答案】B【解析】该矩阵是3阶单位矩阵

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的规律？（）A.A+B=B+AB.AB+C=AB+ACC.ABC=ABCD.A^2=AAE.A+B=0【答案】A、B、C【解析】选项E不是矩阵运算规律

2.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.$$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}50\\05\end{pmatrix}$$【答案】A、D【解析】B和C的行列式为0，不可逆

3.矩阵乘法满足的性质有（）A.交换律B.结合律C.分配律D.零律E.单位律【答案】B、C、D、E【解析】矩阵乘法不满足交换律

4.以下哪些矩阵是单位矩阵？（）A.$$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}10\\01\\10\end{pmatrix}$$【答案】A、C【解析】B和D不是单位矩阵

5.矩阵的转置运算满足的性质有（）A.A+B^T=A^T+B^TB.AB^T=B^T+A^TC.A^T^T=AD.A^T=AE.kA^T=kA^T【答案】A、C、E【解析】B和D错误

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$乘以$$\begin{pmatrix}ab\\cd\end{pmatrix}$$的结果是$$\begin{pmatrix}24\\68\end{pmatrix}$$，则a+b+c+d=______【答案】10【解析】计算矩阵乘法得a=0，b=2，c=4，d=2，a+b+c+d=

102.矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的逆矩阵是______【答案】无解【解析】该矩阵不可逆

3.矩阵$$\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$$的秩是______【答案】2【解析】计算行列式发现所有3阶子式为0，但存在2阶子式不为0，故秩为

24.若矩阵A和B都是2阶可逆矩阵，则A^TB的逆矩阵是______【答案】B^TA【解析】逆矩阵的性质

5.矩阵$$\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}$$乘以任意矩阵C的结果是______【答案】C【解析】单位矩阵乘以任意矩阵等于原矩阵

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可逆矩阵的乘积一定是可逆矩阵（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的乘积仍可逆

2.矩阵的转置运算不改变矩阵的秩（）【答案】（√）【解析】转置不改变秩

3.若矩阵A的行列式为0，则A不可逆（）【答案】（√）【解析】行列式为0时矩阵不可逆

4.零矩阵乘以任意矩阵都是零矩阵（）【答案】（√）【解析】零矩阵乘法性质

5.若矩阵A和B的乘积为零矩阵，则A或B必有一个是零矩阵（）【答案】（×）【解析】A或B至少有一个不可逆

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述矩阵乘法的性质【答案】矩阵乘法满足结合律、分配律、零律和单位律，但不满足交换律

2.什么是矩阵的秩？如何计算？【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数计算方法是通过行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的数量即为秩

3.简述可逆矩阵的定义和性质【答案】可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵可逆矩阵的行列式不为0，且其逆矩阵唯

一六、分析题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A和B如下，计算A+BA^-1$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$，$$B=\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}$$【答案】首先计算A+B$$A+B=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}68\\1012\end{pmatrix}$$然后计算A的逆矩阵A^-1$$A^-1=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$$最后计算A+BA^-1$$\begin{pmatrix}68\\1012\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-183\\-305\end{pmatrix}$$

2.设矩阵A和B如下，证明AB=BA$$A=\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}$$，$$B=\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}$$【答案】计算AB$$AB=\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}$$计算BA$$BA=\begin{pmatrix}01\\00\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}00\\00\end{pmatrix}$$因此AB≠BA，该命题不成立

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设矩阵A和B如下，求解矩阵X满足AX=B$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$，$$B=\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}$$【答案】首先计算A的逆矩阵A^-1$$A^-1=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$$然后计算X$$X=A^-1B=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-19-14\\

8.

56.5\end{pmatrix}$$

2.设矩阵A和B如下，证明A+B^2=AB+BA+A^2+B^2$$A=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$，$$B=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$【答案】首先计算A+B$$A+B=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$$然后计算A+B^2$$\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\22\end{pmatrix}$$计算AB和BA$$AB=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$$$BA=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$计算A^2和B^2$$A^2=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$$$B^2=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$因此$$AB+BA+A^2+B^2=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\22\end{pmatrix}$$所以A+B^2=AB+BA+A^2+B^2成立。