群论竞赛考试题及答案呈现

群论竞赛考试题及答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个群不是阿贝尔群？（）A.整数加法群ZB.有理数加法群QC.非零有理数乘法群Q\D.整数乘法群Z\【答案】D【解析】整数乘法群Z在除1和-1之外的其他元素下不满足交换律，故不是阿贝尔群

2.群G的子群H的指数是指G的阶除以H的阶，记作[G:H]若G是阶为12的循环群，则G有多少个不同指数的子群？（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】阶为12的循环群有5个不同阶数的子群阶1,2,3,4,6，其指数分别为12,6,4,3,

23.有限群G中，元素a的阶是指最小的正整数m使得a^m=identity，若a^3=identity，则a的阶可能是多少？（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】元素a的阶必须是3的约数，故可能是1或3若a=identity，则阶为1；若a≠identity，则阶为

34.两个群的直积G×H的阶等于G的阶乘以H的阶，即|G×H|=|G||H|若G和H都是阶为3的循环群，则G×H的阶是多少？（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】两个不同阶的循环群的直积仍然是循环群，其阶为两个群的阶之积，即3×3=

95.置换群S_n的子群称为轮换群，若n=4，则S_4中有多少个不同的轮换群？（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】S_4中有四个轮换群{id},123,132,124,142,134,143,234,

2436.循环群Z_n中的生成元是指能够生成整个群的元素若n是素数，则Z_n有多少个生成元？（）A.1B.2C.n-1D.n【答案】C【解析】当n为素数时，Z_n的每个非零元素都是生成元，共有n-1个生成元

7.两个群的商群G/N是由G中的共轭类组成的群，若G是阶为6的循环群，N是其阶为3的子群，则G/N的阶是多少？（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】商群的阶等于群的阶除以子群的阶，即6/3=

28.群G的中心是指所有与群中元素可交换的元素组成的子群，记作ZG若G是阶为4的非阿贝尔群，则ZG的阶可能是多少？（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】非阿贝尔群的中心不可能等于整个群，故阶小于4阶为2的群是交换群，符合条件

9.两个群的直积G×H的元素是G和H的有序对，运算规则是分量对应运算若G和H都是阿贝尔群，则G×H也是阿贝尔群（）A.正确B.错误【答案】A【解析】阿贝尔群的运算满足交换律，直积的运算也满足交换律，故直积也是阿贝尔群

10.循环群的子群仍然是循环群，若G是阶为12的循环群，则G的所有子群的阶之和等于多少？（）A.12B.24C.36D.48【答案】B【解析】子群的阶必须是12的约数1,2,3,4,6,12其和为1+2+3+4+6+12=28，但循环群的每个子群都被计算了两次，故实际和为24

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是群的定义性质？（）A.存在单位元B.存在逆元C.结合律成立D.交换律成立E.元素个数有限【答案】A、B、C【解析】群的定义性质包括存在单位元、存在逆元和结合律成立交换律和元素个数有限不是群的定义性质

2.有限群G的阶为n，若a是G的一个元素，则a的阶必须整除n（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据拉格朗日定理，子群的阶必须整除群的阶，元素a的阶是其生成子群的阶，故必须整除n

3.两个群的直积G×H的子群可以表示为G×{e_H}或{e_G}×H，其中e_H和e_G分别是H和G的单位元（）A.正确B.错误【答案】A【解析】G×{e_H}和{e_G}×H分别是G和H的子群，它们是直积的子群

4.循环群的生成元可以生成整个群，若G是阶为15的循环群，则G有多少个生成元？（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】当n为素数时，Z_n的每个非零元素都是生成元，共有n-1个生成元15不是素数，生成元数量为φ15=

85.两个群的商群G/N的元素是G中的共轭类，若G是阿贝尔群，则G/N也是阿贝尔群（）A.正确B.错误【答案】A【解析】阿贝尔群的共轭类只有一个元素（单位元），故商群也是阿贝尔群

三、填空题（每题4分，共20分）

1.群G的中心ZG是所有与群中元素可交换的元素组成的子群若G是阶为6的循环群，则ZG的阶是______【答案】6【解析】循环群的中心等于整个群，故阶为

62.两个群的直积G×H的阶等于G的阶乘以H的阶，即|G×H|=|G||H|若G和H都是阶为5的循环群，则G×H的阶是______【答案】25【解析】两个不同阶的循环群的直积仍然是循环群，其阶为两个群的阶之积，即5×5=

253.有限群G的阶为n，若a是G的一个元素，则a的阶必须整除n这是由______定理保证的【答案】拉格朗日【解析】这是拉格朗日定理的内容

4.循环群的生成元可以生成整个群，若G是阶为10的循环群，则G有______个生成元【答案】4【解析】当n为素数时，Z_n的每个非零元素都是生成元，共有n-1个生成元10不是素数，生成元数量为φ10=

45.两个群的商群G/N的元素是G中的共轭类，若G是阿贝尔群，则G/N也是阿贝尔群这是因为在阿贝尔群中，所有元素都是彼此的______【答案】共轭元【解析】在阿贝尔群中，所有元素都是彼此的共轭元（因为交换律成立）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个群的直积G×H的子群可以表示为G×{e_H}或{e_G}×H，其中e_H和e_G分别是H和G的单位元（）【答案】（√）【解析】G×{e_H}和{e_G}×H分别是G和H的子群，它们是直积的子群

2.循环群的生成元可以生成整个群，若G是阶为12的循环群，则G有11个生成元（）【答案】（√）【解析】当n为素数时，Z_n的每个非零元素都是生成元，共有n-1个生成元12不是素数，生成元数量为φ12=

43.有限群G的阶为n，若a是G的一个元素，则a的阶必须整除n这是由拉格朗日定理保证的（）【答案】（√）【解析】这是拉格朗日定理的内容

4.两个群的商群G/N的元素是G中的共轭类，若G是阿贝尔群，则G/N也是阿贝尔群（）【答案】（√）【解析】在阿贝尔群中，所有元素都是彼此的共轭元，故商群也是阿贝尔群

5.群G的中心ZG是所有与群中元素可交换的元素组成的子群若G是阶为6的循环群，则ZG的阶是6（）【答案】（√）【解析】循环群的中心等于整个群，故阶为6

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述循环群的定义及其性质【答案】循环群是指由一个元素生成整个群的群性质包括阿贝尔群、子群也是循环群、生成元的阶等于群的阶

2.简述拉格朗日定理的内容及其意义【答案】拉格朗日定理指出，有限群的子群的阶必须整除群的阶意义在于限制了子群的阶的可能值，是群论中的重要定理

3.简述商群的定义及其性质【答案】商群是由群中的共轭类组成的群性质包括单位元是整个群的单位元的共轭类、逆元是逆元的共轭类、结合律成立

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设G是阶为12的循环群，N是其阶为3的子群求G/N的结构，并证明G/N是阿贝尔群【答案】G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群

2.设G是阶为6的非阿贝尔群，求G的中心的阶的可能值，并解释原因【答案】G的中心的阶可能是1或3因为非阿贝尔群的中心不可能等于整个群，故阶小于6若中心阶为1，则所有元素都不交换；若中心阶为3，则存在3个元素与所有元素交换

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设G是阶为8的循环群，H是G的阶为2的子群求G/N的结构，并证明G/N是阿贝尔群【答案】G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群

2.设G是阶为12的非阿贝尔群，N是其阶为3的子群求G/N的结构，并证明G/N是阿贝尔群【答案】G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群---标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C

2.A

3.A

4.C

5.A

三、填空题

1.

62.

253.拉格朗日

4.

45.共轭元

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.循环群是由一个元素生成整个群的群性质包括阿贝尔群、子群也是循环群、生成元的阶等于群的阶

2.拉格朗日定理指出，有限群的子群的阶必须整除群的阶意义在于限制了子群的阶的可能值，是群论中的重要定理

3.商群是由群中的共轭类组成的群性质包括单位元是整个群的单位元的共轭类、逆元是逆元的共轭类、结合律成立

六、分析题

1.G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群

2.G的中心的阶可能是1或3因为非阿贝尔群的中心不可能等于整个群，故阶小于6若中心阶为1，则所有元素都不交换；若中心阶为3，则存在3个元素与所有元素交换

七、综合应用题

1.G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群

2.G/N有4个元素，分别是N、aN、aN^

2、aN^3，其中a是G的生成元G/N是阿贝尔群，因为G是阿贝尔群，共轭类只有一个元素，故G/N也是阿贝尔群。