考研试题答案全览及大纲关键内容

考研试题答案全览及大纲关键内容

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数fx等于（）（2分）A.1/x+1B.1C.0D.不存在【答案】A【解析】fx=1/x+1在-1,0上存在

3.向量场F=y,-x在点1,1处的旋度∇×F等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】∇×F=0--1=

14.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞n/2^nB.∑n=1to∞1/nC.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞n^2/n!【答案】D【解析】D项为收敛的幂级数

5.矩阵A=[1,2;3,4]的特征值是（）（2分）A.1,5B.2,3C.-1,5D.-2,3【答案】A【解析】特征方程detA-λI=0解得λ=1,

56.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B等于（）（2分）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.

27.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中x^3的系数是（）（2分）A.1B.1/2C.1/6D.1/24【答案】C【解析】e^x的泰勒展开式x^n系数为n!/n!即1/n!，x^3系数为1/

68.曲线y=lnx^2+1在点0,0处的曲率半径是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】曲率半径R=1/|y|，y=2/x^2+1^2在0,0处为

29.设随机变量X的分布律为PX=k=k/15k=1,2,3,4,5，则EX等于（）（2分）A.3B.

3.5C.4D.

4.5【答案】B【解析】EX=∑kPX=k=

3.

510.函数fx=sinx在[0,π]上的积分等于（）（2分）A.1B.2C.πD.0【答案】B【解析】∫_0^πsinxdx=-cosx|_0^π=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于闭区间[a,b]上的黎曼可积函数的条件？（）A.有界B.连续C.只有有限个间断点D.单调【答案】A、C【解析】有界且只有有限个间断点的函数可积

2.以下哪些向量组线性无关？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】标准基向量线性无关

3.以下哪些命题为真？（）A.可数无限集的势小于实数集的势B.连续函数必有界C.开区间0,1与闭区间[0,1]等势D.实数集是不可数无限集【答案】A、C、D【解析】B项反例fx=1/x在0,1无界

4.以下哪些属于马尔可夫链的性质？（）A.转移概率矩阵的元素非负B.转移概率矩阵每行和为1C.状态转移具有记忆性D.状态转移概率只依赖于当前状态【答案】A、B、D【解析】马尔可夫链的无记忆性是马尔可夫性

5.以下哪些不等式成立？（）A.e^x1+xB.sinxxC.xln1+xD.x^2lnxx0【答案】A、C【解析】B项反例x=π/6时sinxx

三、填空题

1.设函数fx在x=0处可导，且f0=1，f0=2，则limx→0[fx+x]/[e^x-1]等于______（4分）【答案】3【解析】用洛必达法则limx→0[fx+1]/e^x=f0+1=

32.矩阵A=[1,2;3,4]的逆矩阵A^-1等于______（4分）【答案】[-2,1;

1.5,-

0.5]【解析】A^-1=1/detA×adjA=-1/2×[-4,-2;-3,1]

3.设事件A的概率PA=

0.5，事件B的概率PB=

0.6，且PAB=

0.2，则PA|B等于______（4分）【答案】1/3【解析】PA|B=PAB/PB=

0.2/

0.6=1/

34.函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】8，-2【解析】f-1=0，f1=0，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=

85.设随机变量X的密度函数fx=1/π1+x^2^-1，则PX0等于______（4分）【答案】1/2【解析】PX0=∫_0^∞fxdx=1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值

2.向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}的秩为3（）（2分）【答案】（√）【解析】标准基向量线性无关，秩为

33.若事件A的概率PA=1，则事件A是必然事件（）（2分）【答案】（√）【解析】概率为1的事件即为必然事件

4.设函数fx在x=0处二阶可导，且f0=f0=0，f0=1，则x→0时fx≈x^2（）（2分）【答案】（×）【解析】应为fx≈x/

25.样本方差s^2=∑i=1tonx_i-μ^2/n-1是总体方差σ^2的无偏估计量（）（2分）【答案】（√）【解析】样本方差是总体方差的无偏估计

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述定积分的几何意义【答案】定积分∫_a^bfxdx表示曲线y=fx，x轴及直线x=a，x=b所围图形的面积（当fx≥0时）

2.简述线性回归模型的基本假设【答案】

（1）线性关系；

（2）独立性；

（3）方差齐性；

（4）正态性

3.简述大数定律的条件和结论【答案】条件随机变量独立同分布，期望存在结论当n→∞时，样本均值依概率收敛于期望

六、分析题（每题12分，共24分）

1.证明设函数fx在[a,b]上连续，且fx≥0，则∫_a^b√fxdx≤√∫_a^bfxdx×b-a【证明】令Ft=∫_a^t√fxdx，Gt=∫_a^tfxdx，则由柯西不等式∫_a^b√fxdx^2≤∫_a^b1dx×∫_a^bfxdx=b×Gb两边开方即得结论

2.分析设随机变量X的密度函数为fx={2x0x10其他}求随机变量Y=lnX的密度函数【解】Y的分布函数F_Yy=PY≤y=PlnX≤y=PX≤e^y=∫_0^e^y2xdx=e^2y则f_Yy=F_Yy=2e^2yy∈R

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设线性方程组x_1+x_2+x_3=12x_1+3x_2+x_3=3x_1+2x_2+λx_3=μ

（1）讨论方程组解的情况与参数λ,μ的关系；

（2）求方程组的通解【解】增广矩阵为[A|b]，求rA与r[A|b]行简化后[1,1,1|1][0,1,1|1][0,0,λ-1|μ-1]

（1）当λ≠1时，若μ≠1-rA=r[A|b]，无解；若μ=1-rA，有唯一解；当λ=1时，若μ≠2-rA=r[A|b]，无解；若μ=2-rA，有无穷多解

（2）λ=1,μ=2时，通解为x_1=1-x_2-2x_3，x_2,x_3自由

2.设袋中有5个红球，4个白球，随机抽取3个球

（1）求抽到2个红球1个白球的概率；

（2）求抽到至少2个红球的概率；

（3）求在已知抽到至少2个红球的条件下，抽到2个红球1个白球的概率【解】

（1）P2红1白=C5,2×C4,1/C9,3=15×4/84=5/14

（2）P至少2红=P2红1白+P3红=5/14+10/84=20/42=10/21

（3）条件概率P2红1白|至少2红=5/14/10/21=3/4---标准答案页

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.D

5.A

6.B

7.C

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C

3.A、C、D

4.A、B、D

5.A、C

三、填空题

1.

32.[-2,1;

1.5,-

0.5]

3.1/

34.8，-

25.1/2

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略。