考试数学拔高试题及答案解析

考试数学拔高试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^3-3x+1在x=2处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.1D.-1【答案】B【解析】fx=3ax^2-3，令f2=0，得12a-3=0，解得a=-

32.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}【答案】C【解析】A={2,3}，若B⊆A，则a=1/2或a=1/

33.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，得C=60°

4.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=4，S_6=64，则公比q的值为（）A.2B.-2C.2或-2D.4【答案】A【解析】S_6=a_11-q^6/1-q=64，a_3=a_1q^2=4，联立解得q=

25.抛掷两枚均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于9”，事件B为“点数之和为偶数”，则PB|A等于（）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】D【解析】A={10,11,12}，B∩A={10,12}，PB|A=|B∩A|/|A|=2/

36.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.0D.-1【答案】B【解析】分段函数y={3,x-2;-2x-1,-2≤x≤1;2x+1,x1}，最小值为

37.已知直线l y=kx+1与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，则k的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2【答案】C【解析】圆心1,-2，半径√10，圆心到直线的距离等于半径，得|k+2/√k^2+1|=√10，解得k=-1/

28.若复数z满足z^2+2z+3=0，则|z|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【解析】z=-1±√2i，|z|=√1+2=√

39.在空间直角坐标系中，点P1,2,3关于平面x+y+z=0的对称点坐标为（）A.-1,-2,-3B.1,2,3C.-2,-1,-3D.-3,-2,-1【答案】A【解析】设对称点为Px,y,z，由中点公式得x+1/2=-1/2，y+2/2=-1/2，z+3/2=-1/2，解得x=-3，y=-4，z=-5，即-1,-2,-

310.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，在x=2处取得极大值，则a+b的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】fx=3x^2-2ax+b，由f1=0，f2=0得a=9/2，b=-9/2，a+b=9/2-9/2=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.若ab，则√a√bB.若fx是奇函数，则fx^2也是奇函数C.若数列{a_n}单调递增，则数列{a_n^2}也单调递增D.若limx→∞fx存在，则limx→∞|fx|也存在E.若A⊆B，则A∩C⊆B∩C【答案】B、D、E【解析】A不正确，如a=4b=1，但√4=2√1=1；B正确，f-x^2=-fx^2；C不正确，如a_n=-n，a_n^2=n^2单调递增；D正确，绝对值函数保极限；E正确，集合包含关系传递

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）A.y=x^2B.y=log_2xC.y=1/xD.y=|x-1|E.y=sinx【答案】A、B、E【解析】y=2x0，y=1/ln20，y=-1/x^20，y=sgnx-10，y=cosx0，C、D、E在0,1不单调

3.下列不等式成立的是（）A.e^xx+1x0B.log_3xx-1x1C.2^xx^2x4D.sinxx0xπ/2E.x+1^2x^2+1x≠0【答案】A、C、D【解析】A对任意x0成立；B不成立，如x=3时log_33=13-1=2；C对x4成立；D对0xπ/2成立；E不成立，如x=1时x+1^2=4=x^2+

14.下列几何体中，是正多面体的是（）A.正四面体B.正六面体C.正八面体D.正十二面体E.正二十面体【答案】A、B、C、D、E【解析】正多面体有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

5.下列说法中，正确的是（）A.若事件A与B互斥，则PA|B=0B.若事件A与B相互独立，则PA∪B=PA+PBC.若事件A与B互斥，则PA+PB=PA∪BD.若事件A与B相互独立，则PA∩B=PAPBE.若事件A与B互斥且PA0，PB0，则A与B不独立【答案】A、C、D、E【解析】A正确，PA|B=PAB/PB=0；B不正确，PA∪B=PA+PB-PAB；C正确，PA+PB=PA∪B；D正确；E正确，PAB=0≠PAPB0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则前10项和S_{10}=______【答案】70【解析】d=10-2/5-1=2，S_{10}=10[2+10-1×2]/2=

702.不等式|x-1|+|x+2|4的解集为______【答案】-∞,-3∪1,3【解析】分段函数|x-1|+|x+2|={3,x-2;-2x-1,-2≤x≤1;2x+1,x1}，解得x-3或x

13.已知函数fx=sinωx+φ的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ=______（k∈Z）【答案】π/4+2kπ或3π/4+2kπ【解析】ω=2，对称轴x=π/4，得2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=π/4+2kπ或3π/4+2kπ

4.已知向量a=1,2，b=-3,4，则向量a×b的模长为______【答案】10【解析】|a×b|=|1×4-2×-3|=

105.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB=______【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/2×3×4=3/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）【答案】（×）【解析】单调递增函数可以不连续，如狄利克雷函数

2.若复数z满足z^2=z，则z一定是实数（）【答案】（×）【解析】z=0或z=1，z=1不是实数

3.若直线l与平面α平行，则l与α内的任意直线都平行（）【答案】（×）【解析】l与α内直线可能相交或异面

4.若事件A与B相互独立，则事件A与B的补事件也相互独立（）【答案】（√）【解析】PAC∩BC=PC=1-PA∪B=1-PAPB=PACPBC

5.若数列{a_n}单调递增，且a_n0，则数列{a_n}必有极限（）【答案】（×）【解析】单调递增数列有界时才有极限，如a_n=2n单调递增无极限

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=x^3-3x^2+4在区间[-2,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为5，最小值为-4【解析】y=3x^2-6x，驻点x=0,2，比较y-2=-4，y0=4，y2=0，y3=5，最大值为5，最小值为-

42.解不等式|x-1|^2-3|x-1|+20【答案】x0或x4【解析】令t=|x-1|，解t^2-3t+20得t1或t2，即|x-1|1或|x-1|2，解得x0或x

43.求过点A1,2且与直线l2x-y+1=0垂直的直线方程【答案】x+2y-5=0【解析】垂直直线的斜率为1/2，方程为y-2=1/2x-1，即x+2y-5=

04.求等比数列{a_n}的前n项和S_n，若a_1=1，a_3=4【答案】S_n=4^n-1/3【解析】q^2=4，q=2，S_n=1-4^n/1-2=4^n-1/

35.求函数fx=x^2-2x+3在区间[0,2]上的最小值【答案】最小值为2【解析】y=2x-2，驻点x=1，比较f0=3，f1=2，f2=3，最小值为2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x^2-ax+1|，讨论a的取值范围，使得fx在-∞,+∞上单调递增【答案】a≤0【解析】fx单调递增⇔x^2-ax+1非负且导数非负，判别式Δ=a^2-4≤0得-2≤a≤2，又fx=2x-a≥0得a≤2x，对所有x成立需a≤

02.已知函数fx=e^x-ax^2，若fx在x=1处取得极值，求a的值，并判断极值类型【答案】a=1/2，极小值【解析】fx=e^x-2ax，f1=e-2a=0得a=e/2，fx=e^x-2a，f1=e-e=0，fx=e^x0，故x=1处为极小值点，a=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA，sinA，tanA，并判断△ABC的类型【答案】cosA=3/5，sinA=4/5，tanA=4/3，直角三角形【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=3/5，sinA=√1-cos^2A=4/5，tanA=sinA/cosA=4/3，A=π/3，△ABC为直角三角形

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求通项公式a_n，并求前n项和S_n=∑_{k=1}^{n}k·a_k【答案】a_n=2n+1，S_n=nn+1n+2【解析】a_1=S_1=2，n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n+1，S_n=1·3+2·5+...+n2n+1=2∑_{k=1}^{n}k^2+∑_{k=1}^{n}k=nn+1n+2/3。