聚焦高中生数学试题及答案要点

聚焦高中生数学试题及答案要点

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,+∞C.-∞,-1D.-1,-∞【答案】A【解析】lnx+1要求x+10，即x-

12.已知向量a=3,4，b=1,2，则向量a·b等于（）（2分）A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】a·b=3×1+4×2=

113.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（）（2分）A.2,0B.4,0C.0,2D.0,4【答案】A【解析】标准方程为y^2=4px，p=2，焦点坐标为2,

04.若sinα=1/2，且α是第二象限角，则cosα的值是（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin^2α+cos^2α=1，cosα=-√1-sin^2α=-√3/

25.直线y=3x+2与y轴的交点坐标是（）（2分）A.0,3B.2,0C.0,2D.3,0【答案】C【解析】令x=0，则y=

26.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.45°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，角C=180°-60°-45°=75°

7.设集合M={x|x^2-3x+2=0}，则M∪N等于（）（2分）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,3}D.{0,1,2}【答案】B【解析】M={1,2}，N={3}，M∪N={1,2,3}

8.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.π/2D.π/4【答案】B【解析】周期T=2π/ω=π

9.若fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是（）（2分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，解得a=

310.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】标准方程为x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.集合A包含于集合B，则A∩B=AB.若ab，则a^2b^2C.sinα+β=sinα+sinβD.函数y=1/x在定义域内单调递减E.直线y=kx+b的斜率k=0时，直线与x轴平行【答案】A、D、E【解析】A正确；B反例a=1,b=-2；C错误；D正确；E正确

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=lnxD.y=1/xE.y=sinπx【答案】A、B、C、E【解析】A线性递增；B二次函数开口向上；C对数函数递增；D反比例递减；E正弦函数在0,1递增

3.下列方程中，表示圆的有（）（4分）A.x^2+y^2=0B.x^2+y^2-2x+4y-5=0C.x^2-y^2=1D.x-1^2+y+2^2=0E.x^2+y^2-4x=0【答案】B、D、E【解析】A表示原点；C双曲线；D表示点1,-2；B、D、E是圆方程

4.下列不等式正确的有（）（4分）A.-2^3-1^2B.√

21.41C.log_39log_38D.3^

0.53^

0.6E.sin60°cos60°【答案】B、C、D【解析】A错误；B正确；C对数函数单调；D指数函数单调；E错误

5.下列命题中，属于真命题的有（）（4分）A.若ab，则|a||b|B.若fx是奇函数，则f0=0C.若△ABC三边长为a,b,c，则a^2=b^2+c^2的充要条件是A为直角D.若a≠0，则方程ax^2+bx+c=0有实根E.若sinα=1/2，则α=30°【答案】C、D【解析】A反例a=1,b=-2；B反例fx=x^3，f0=0；C正确；D正确；E反例α=150°

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数y=2^x+1的反函数是________（4分）【答案】y=log_2x-1【解析】交换x,y并解得y=log_2x-

12.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=________（4分）【答案】5【解析】余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=25，c=

53.若fx=x^2-ax+2在x=1处取得极小值，则a=________（4分）【答案】4【解析】fx=2x-a，f1=2-a=0，a=2；fx=20，极小值

4.直线y=2x-3与直线x+y=6的交点坐标是________（4分）【答案】3,3【解析】联立方程组2x-3=x+6x=9y=2×3-3=

35.函数y=sin2x-π/4的图像向右平移π/8个单位，得到函数________的图像（4分）【答案】y=sin2x-π/2【解析】平移公式y=sin[2x-π/8-π/4]=sin2x-π/

26.若复数z=1+i，则z^2=________（4分）【答案】2i【解析】1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1,b=-2，ab但a^2=1b^2=

42.函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】cosx在[0,π]从1减到-1，单调递减

3.若fx是奇函数，则f-x=-fx（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数定义f-x=-fx

4.若x^2+y^2=1，则x+y=2（）（2分）【答案】（×）【解析】x^2+y^2=1最大值√22，反例x=y=1/√2时x+y=√

25.若向量a=1,2，b=3,4，则a+b=4,6（）（2分）【答案】（√）【解析】向量加法分量对应相加a+b=1+3,2+4=4,6

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点（4分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2；fx=6x-6，f0=-60，极小值；f2=60，极大值；极小值点x=0，极大值点x=

22.求不等式|2x-1|3的解集（4分）【答案】-32x-13-22x4-1x2解集为-1,

23.已知圆C x-1^2+y+2^2=4，求圆C的半径和圆心坐标（4分）【答案】半径r=√4=2；圆心坐标1,-2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，证明fx在R上存在唯一一个零点（12分）【证明】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，fx≥-10，fx严格递增；f0=10，f-1=-30，由介值定理，存在唯一零点x_0∈-1,

02.已知向量a=1,2，b=3,4，求向量a与b的夹角余弦值（12分）【解】|a|=√5，|b|=5，a·b=1×3+2×4=11；cosθ=|a·b|/|a||b|=11/√5×5=11/5√5=11√5/25≈

0.9682

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某城市为缓解交通拥堵，计划修建一条从市中心（O点）到郊区（P点）的地铁线路已知OP=10km，地铁修建成本为每公里80万元若从市中心到某处A的距离为xkm（0x10），且从A点到郊区P点的修建成本与距离的平方成正比，比例系数为2万元/km^2求

（1）从A点到P点的修建成本表达式；

（2）当x为何值时，总修建成本最低？（12分）

（3）若希望总修建成本不超过800万元，求x的取值范围（13分）【解】

（1）AP=√OP^2-x^2=√100-x^2；AP段成本=2100-x^2万元；总成本C=80x+2100-x^2=-2x^2+80x+200

（2）C=-4x+80，令C=0得x=20，但x10舍去；x=10时C=-200，x=0时C=200，最小值在x=5时取得；C5=-25^2+80×5+200=-50+400+200=550万元

（3）-2x^2+80x+200≤800-2x^2+80x-600≤0x^2-40x+300≥0x-10^2-100≥0x∈[10-10√2,10+10√2]，即[10-10√2,10+10√2]

2.已知函数fx=|x^2-2x+a|在x=1处取得最小值0，求

（1）实数a的值；（10分）

（2）函数fx的解析表达式；（10分）

（3）若fx在区间[0,3]上的最大值为2，求a的取值范围（5分）【解】

（1）f1=|1-2+a|=0，a=1

（2）fx=|x^2-2x+1|=|x-1|^2，fx≥0；当x=1时fx=0，当x≠1时fx≠0；fx=|x-1|^2=x^2-2x+1

（3）fx在[0,3]上为开口向上的抛物线，对称轴x=1；f0=1，f3=4，f1=0；最大值为max{f0,f3}=max{1,4}=4；但题目要求最大值为2，矛盾；故a=1时不可能，a≠1时f3=42，需调整条件（注第三问条件有矛盾，实际应重新设计题目条件使问题可解）。