聚焦高考几套试题及详尽答案剖析

聚焦高考几套试题及详尽答案剖析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+20},B={x|x-10},则A∩B等于（）（2分）A.{x|x1}B.{x|x2}C.{x|x1或x2}D.{x|1x2}【答案】A【解析】解不等式x²-3x+20得x-1x-20，解得x1或x2，即A={x|x1或x2}，B={x|x1}，则A∩B={x|x1}

2.函数fx=log₃2x-1的图像关于原点对称，则实数a的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】若fx的图像关于原点对称，则f-x=-fx，即log₃-2x-1=-log₃2x-1，整理得2x-1=-2x+1，解得x=-1/2，代入fx得f-1/2=log₃-1无意义，故a=-

13.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²-c²=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入a²+b²-c²=ab得2abcosC=ab，即cosC=1/2，故角C=60°

4.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到的5名学生中恰好有3名男生、2名女生的概率为（）（2分）A.3/10B.1/10C.1/125D.1/50【答案】A【解析】从30名男生中选3名的方法数为C30,3，从20名女生中选2名的方法数为C20,2，总方法数为C50,5，故概率为[C30,3×C20,2]/C50,5=3/

105.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1，aₙ=aₙ₋₁+2n，则a₅的值为（）（2分）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】由aₙ=aₙ₋₁+2n得a₂=a₁+4，a₃=a₂+6，...，a₅=a₄+10，累加得a₅=1+4+6+8+10=

356.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）（2分）A.2，-2B.4，-4C.8，-8D.8，-4【答案】D【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=4，故最大值为4，最小值为-

87.在直角坐标系中，点Pa，b到直线3x-4y+5=0的距离为5，则a²+b²等于（）（2分）A.25B.50C.100D.150【答案】B【解析】点P到直线的距离公式为|3a-4b+5|/5=5，即|3a-4b+5|=25，整理得3a-4b=20或3a-4b=-30，平方相加得3a-4b²=400，即9a²+16b²-24ab=400，由柯西不等式得9a²+16b²≥24ab，故9a²+16b²=400，即a²+b²=

508.设函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2）的最小正周期为π，且f0=1，则fπ/2的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.±1【答案】C【解析】周期T=2π/ω=π，得ω=2，f0=sinφ=1，得φ=π/2，故fx=sin2x+π/2=cos2x，fπ/2=cosπ=-

19.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₈=10，则S₁₀等于（）（2分）A.50B.55C.60D.65【答案】A【解析】由等差数列性质得a₁+a₁₀=a₃+a₈=10，S₁₀=a₁+a₁₀×10/2=

5010.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与圆O相交，则r与d的关系为（）（2分）A.rdB.r=dC.r≥dD.rd或r=d【答案】A【解析】直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离小于半径，即rd

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.函数y=|x|在-∞，0上单调递减D.若sinα=sinβ，则α=βE.一个等差数列的任意三项不可能构成等比数列【答案】A、C【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1，b=-2；C正确，|x|在-∞，0上递减；D错误，如α=π/6，β=5π/6；E错误，如1，1，2构成等比数列

2.已知函数fx在区间I上单调递增，且fx在该区间上有最小值，则下列结论中正确的有（）（4分）A.fx在该区间上必有最大值B.fx在该区间上必有界C.fx在该区间上连续D.fx在该区间上不一定有界E.fx在该区间上单调递减【答案】A、B【解析】A正确，单调递增且有最小值的函数必有最大值；B正确，单调递增且有最小值的函数必有界；C错误，单调递增不保证连续；D错误，单调递增且有最小值的函数必有界；E错误，题设为单调递增

3.在△ABC中，若A=45°，B=60°，则下列结论中正确的有（）（4分）A.sinC=√3/2B.cosC=-1/2C.c²=a²+b²D.2bcosA=abE.b/a=√3/2【答案】D、E【解析】C=75°，sinC=√6+√2/4≠√3/2，cosC=√6-√2/4≠-1/2，由正弦定理b/a=sinB/sinA=√3/2，由余弦定理2bcosA=ab

4.在等比数列{aₙ}中，若a₄=16，a₇=64，则下列结论中正确的有（）（4分）A.a₁=1B.q=2C.S₈=127D.a₉=128E.q=-2【答案】B、D【解析】由a₄/a₇=q³=1/4，得q=1/2，与a₇=a₄q³矛盾，故q=2，a₁=8，S₈=127，a₉=

1285.在直角坐标系中，点Px，y在曲线y=|x|上运动，则点P到直线x-y-1=0的距离的最小值为（）（4分）A.1/√2B.√2C.1D.2E.√5/2【答案】A、E【解析】曲线y=|x|分为y=x和y=-x两部分，分别求到直线的距离，最小值为1/√2，对应点1/2，1/2，另一个交点为-1/2，-1/2，到直线的距离为√5/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=2cos²x+sin2x-1，则fπ/4的值为______（4分）【答案】1【解析】fπ/4=2cos²π/4+sinπ/2-1=2√2/2²+1-1=

12.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA的值为______（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入a²=b²+c²-bc得cosA=1/

23.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1，aₙ=aₙ₋₁+3n，则a₅=______（4分）【答案】40【解析】a₂=a₁+6，a₃=a₂+9，...，a₅=a₄+15，累加得a₅=1+6+9+12+15=

404.在等比数列{aₙ}中，若a₃=8，a₆=64，则公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】由a₆=a₃q³得q³=8，故q=

25.在直角坐标系中，点Pa，b到直线3x-4y+5=0的距离为5，则a²+b²=______（4分）【答案】50【解析】由|3a-4b+5|/5=5得|3a-4b+5|=25，平方得9a²+16b²-24ab=400，由柯西不等式得9a²+16b²≥24ab，故9a²+16b²=400，即a²+b²=50

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递减，且fx在该区间上有最大值，则fx在该区间上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递减且有最大值的函数必有界

2.一个等差数列的任意三项不可能构成等比数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如1，1，2构成等比数列

3.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】如α=π/6，β=5π/

64.圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心到直线的距离等于半径是直线与圆相切的充要条件

5.函数y=cos|x|是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cos|x|是偶函数，不是奇函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx在区间[0，4]上的最大值与最小值（5分）【答案】最大值为5，最小值为-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f0=3，f2=-1，f4=3，故最大值为5，最小值为-

12.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosB的值（5分）【答案】cosB=3/5【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=9+25-16/2×3×4=3/

53.在等差数列{aₙ}中，若a₁=2，d=3，求S₁₀的值（5分）【答案】S₁₀=155【解析】S₁₀=a₁+a₁₀×10/2=2+2+9×3×10/2=155

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin2x+φ（ω0，|φ|π/2）的最小正周期为π，且f0=1，求fx的表达式，并判断fx的单调递增区间（10分）【答案】fx=cos2x，单调递增区间为[π/4+kπ，5π/4+kπ]，k∈Z【解析】周期T=2π/ω=π，得ω=2，f0=sinφ=1，得φ=π/2，故fx=sin2x+π/2=cos2x，由cos2x单调递增得区间[π/4+kπ，5π/4+kπ]，k∈Z

2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1，aₙ=aₙ₋₁+2n，求aₙ的表达式，并求Sₙ的值（10分）【答案】aₙ=n²，Sₙ=nn+1【解析】a₂=a₁+4，a₃=a₂+6，...，aₙ=aₙ₋₁+2n，累加得aₙ-a₁=4+6+...+2n，即aₙ=1+nn+1-1=n²，Sₙ=1+4+9+...+n²=nn+1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在直角坐标系中，点Px，y在曲线y=|x|上运动，求点P到直线x-y-1=0的距离的最小值，并求取得最小值时点P的坐标（25分）【答案】最小值为1/√2，点P1/2，1/2【解析】曲线y=|x|分为y=x和y=-x两部分，分别求到直线的距离，最小值为1/√2，对应点1/2，1/2，另一个交点为-1/2，-1/2，到直线的距离为√5/

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosA、cosB、cosC的值，并判断△ABC的类型（25分）【答案】cosA=3/5，cosB=4/5，cosC=1/2，△ABC为直角三角形【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=3/5，cosB=a²+c²-b²/2ac=9+25-16/2×3×5=4/5，cosC=a²+b²-c²/2ab=9+16-25/2×3×4=1/2，故△ABC为直角三角形。