聚焦高考阅卷试题和标准答案

聚焦高考阅卷试题和标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于函数\fx=\frac{ax+b}{x+c}\的说法正确的是（）A.\fx\一定有垂直渐近线B.\fx\一定有水平渐近线C.\fx\的图像关于原点对称D.\fx\的图像一定关于某条直线对称【答案】A【解析】函数\fx=\frac{ax+b}{x+c}\的分母为\x+c\，当\x=-c\时，函数无定义，故有垂直渐近线选项A正确

2.已知集合\A=\{x|x^2-3x+2=0\}\，\B=\{x|ax=1\}\，若\B\subseteqA\，则实数\a\的取值集合为（）A.\\{1,\frac{1}{2}\}\B.\\{1\}\C.\\{1,-1\}\D.\\emptyset\【答案】A【解析】集合\A=\{1,2\}\，若\B\subseteqA\，则\a=1\或\a=\frac{1}{2}\，选项A正确

3.若复数\z\满足\|z|=2\且\\argz=\frac{\pi}{3}\，则\z^2\在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】复数\z=2\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=1+\sqrt{3}i\，则\z^2=1+\sqrt{3}i^2=-2+2\sqrt{3}i\，位于第二象限

4.函数\fx=\sin2x+\varphi\的图像关于直线\x=\frac{\pi}{4}\对称，则\\varphi\的可能取值为（）A.\\frac{\pi}{4}\B.\\frac{3\pi}{4}\C.\\frac{5\pi}{4}\D.\\frac{7\pi}{4}\【答案】C【解析】由对称性可得\2\cdot\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}\，解得\\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}\，当\k=1\时，\\varphi=\frac{5\pi}{4}\

5.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则至少有一名女生的选法有（）种A.24B.36C.48D.60【答案】B【解析】至少有一名女生的选法有\\binom{10}{3}-\binom{6}{3}=120-20=100\种，选法有36种

6.已知直线\l:y=kx+b\与圆\O:x^2+y^2=1\相交于A、B两点，且\\angleAOB=90^\circ\，则\k^2+b^2\的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由相交弦定理可得，圆心O到直线l的距离为\\frac{1}{\sqrt{2}}\，即\\frac{|b|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\，解得\k^2+b^2=2\

7.若数列\\{a_n\}\满足\a_1=1\，\a_{n+1}=2a_n+1\，则\a_5\的值为（）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】数列\\{a_n+1\}\是等比数列，公比为2，首项为2，则\a_5+1=2^4=16\，即\a_5=15\

8.已知函数\fx=e^x-x\，则\fx\在区间（）上单调递增A.\-\infty,0\B.\0,+\infty\C.\-1,1\D.\-2,2\【答案】B【解析】\fx=e^x-1\，当\x0\时，\fx0\，故函数在\0,+\infty\上单调递增

9.在三棱锥\ABCD\中，底面\ABC\为等边三角形，侧棱\DA\垂直于底面，若\DA=2\，则点D到平面ABC的距离为（）A.1B.\\sqrt{2}\C.2D.\2\sqrt{2}\【答案】C【解析】点D到平面ABC的距离即为\DA\的长度，为

210.已知样本数据\5,7,x,9,11\的平均数为8，则样本方差为（）A.4B.5C.9D.10【答案】A【解析】平均数为8，则\x=8\times5-5-7-9-11=4\，样本方差为\\frac{5-8^2+7-8^2+4-8^2+9-8^2+11-8^2}{5}=4\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）A.若\ab\，则\a^2b^2\B.若\\cos\alpha=\cos\beta\，则\\alpha=\beta\C.若\\lim_{n\to\infty}a_n=a\，则\\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0\D.若\fx\在\x=a\处连续，则\fx\在\x=a\处可导【答案】C【解析】命题A不正确，如\a=1-2\，但\a^2=14=-2^2\；命题B不正确，如\\alpha=\frac{\pi}{3}\，\\beta=\frac{5\pi}{3}\；命题C正确；命题D不正确，如\fx=|x|\在\x=0\处连续但不可导

2.已知函数\fx=\lnx^2+ax+b\的定义域为\-\infty,-1\cup2,+\infty\，则（）A.\a=-3\B.\b=2\C.\fx\在\2,+\infty\上单调递增D.\fx\在\-\infty,-1\上单调递减【答案】A、C【解析】由定义域可得，方程\x^2+ax+b=0\的根为-1和2，故\a=-3\，\b=2\；\fx=\frac{2x+a}{x^2+ax+b}\，在\2,+\infty\上，\2x-30\，故\fx\单调递增

3.在等差数列\\{a_n\}\中，若\a_1=1\，\a_3=7\，则（）A.公差\d=3\B.\a_5=13\C.\S_9=81\D.\a_n=3n-2\【答案】A、B、C【解析】公差\d=\frac{a_3-a_1}{2}=3\；\a_5=a_1+4d=13\；\S_9=\frac{9a_1+a_9}{2}=9a_1+a_1+8d=81\；\a_n=a_1+n-1d=3n-2\

4.在直角坐标系中，点A的坐标为\1,2\，点B的坐标为\3,0\，则（）A.线段AB的长度为\2\sqrt{2}\B.线段AB的垂直平分线的方程为\x-y-1=0\C.线段AB的中点坐标为\2,1\D.过点A且与直线AB平行的直线方程为\x-y+1=0\【答案】A、B、C【解析】线段AB的长度为\\sqrt{3-1^2+0-2^2}=2\sqrt{2}\；垂直平分线的斜率为-1，中点为\2,1\，方程为\x-y-1=0\；过点A且与直线AB平行的直线方程为\x-y+1=0\

5.已知函数\fx=\sinx+\varphi\的图像经过点\0,1\，则（）A.\\varphi=\frac{\pi}{2}\B.\\varphi=-\frac{\pi}{2}\C.\fx\的周期为\2\pi\D.\fx\的图像关于原点对称【答案】A、C【解析】由\\sin\varphi=1\可得\\varphi=\frac{\pi}{2}\；\fx\的周期为\2\pi\；\\varphi=\frac{\pi}{2}\时，\fx=\cosx\，图像关于原点对称

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数\z=1+i\，则\|z|^2=\________【答案】2【解析】\|z|^2=1+1^2=4\

2.函数\fx=x^3-3x^2+2\的极值点为________和________【答案】1,2【解析】\fx=3x^2-6x\，令\fx=0\，解得\x=0\或\x=2\，经检验，\x=1\和\x=2\为极值点

3.在等比数列\\{a_n\}\中，若\a_1=2\，\q=3\，则\a_5=\________【答案】162【解析】\a_5=a_1\cdotq^4=2\cdot3^4=162\

4.已知圆的方程为\x^2+y^2-4x+6y-3=0\，则圆心坐标为________，半径为________【答案】2,-3,4【解析】圆的标准方程为\x-2^2+y+3^2=16\，圆心为\2,-3\，半径为

45.函数\fx=e^x\的麦克劳林展开式的前三项为________【答案】1+x+\frac{x^2}{2}【解析】\fx=e^x\的麦克劳林展开式为\1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\，前三项为1+x+\frac{x^2}{2}

6.在三棱锥\ABCD\中，底面\ABC\为等边三角形，侧棱\DA\垂直于底面，若\DA=2\，则点D到平面ABC的距离为________【答案】2【解析】点D到平面ABC的距离即为\DA\的长度，为

27.已知样本数据\5,7,x,9,11\的平均数为8，则样本方差为________【答案】4【解析】平均数为8，则\x=4\，样本方差为

48.函数\fx=\sin2x+\varphi\的图像关于直线\x=\frac{\pi}{4}\对称，则\\varphi\的可能取值为________【答案】\\frac{5\pi}{4}\【解析】\\varphi=\frac{5\pi}{4}\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若\ab\，则\a^2b^2\（）【答案】（×）【解析】反例\a=1-2\，但\a^2=14=-2^2\

2.若\\cos\alpha=\cos\beta\，则\\alpha=\beta\（）【答案】（×）【解析】反例\\alpha=\frac{\pi}{3}\，\\beta=\frac{5\pi}{3}\，\\cos\alpha=\cos\beta\但\\alpha\neq\beta\

3.若\fx\在\x=a\处连续，则\fx\在\x=a\处可导（）【答案】（×）【解析】反例\fx=|x|\在\x=0\处连续但不可导

4.若数列\\{a_n\}\满足\a_{n+1}=a_n+d\，则\\{a_n\}\是等差数列（）【答案】（√）【解析】数列\\{a_n\}\满足\a_{n+1}-a_n=d\，是等差数列

5.函数\fx=\lnx^2+ax+b\的定义域为\-\infty,-1\cup2,+\infty\，则\a=-3\（）【答案】（√）【解析】由定义域可得，方程\x^2+ax+b=0\的根为-1和2，故\a=-3\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数\fx=x^3-3x^2+2\，求函数的极值点【答案】\fx=3x^2-6x\，令\fx=0\，解得\x=0\或\x=2\；当\x\in-\infty,0\时，\fx0\，函数单调递增；当\x\in0,2\时，\fx0\，函数单调递减；当\x\in2,+\infty\时，\fx0\，函数单调递增；故函数在\x=1\和\x=2\处取得极值

2.已知等差数列\\{a_n\}\中，\a_1=1\，\a_3=7\，求通项公式【答案】公差\d=\frac{a_3-a_1}{2}=3\；通项公式为\a_n=a_1+n-1d=1+3n-1=3n-2\

3.已知圆的方程为\x^2+y^2-4x+6y-3=0\，求圆心坐标和半径【答案】圆的标准方程为\x-2^2+y+3^2=16\；圆心坐标为\2,-3\，半径为

44.已知函数\fx=\sinx+\varphi\的图像经过点\0,1\，求\\varphi\的可能取值【答案】由\\sin\varphi=1\可得\\varphi=\frac{\pi}{2}\

5.已知样本数据\5,7,x,9,11\的平均数为8，求样本方差【答案】平均数为8，则\x=4\；样本方差为\\frac{5-8^2+7-8^2+4-8^2+9-8^2+11-8^2}{5}=4\

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数\fx=e^x-x\，证明函数在\0,+\infty\上单调递增【答案】\fx=e^x-1\；当\x0\时，\e^x1\，即\fx0\；故函数在\0,+\infty\上单调递增

2.已知三棱锥\ABCD\中，底面\ABC\为等边三角形，侧棱\DA\垂直于底面，若\DA=2\，求点D到平面ABC的距离【答案】点D到平面ABC的距离即为\DA\的长度，为2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数\fx=\sin2x+\varphi\的图像经过点\0,1\，且在\0,\frac{\pi}{2}\上单调递增，求\\varphi\的可能取值，并证明函数在该区间上单调递增【答案】由\\sin\varphi=1\可得\\varphi=\frac{\pi}{2}\；\fx=2\cos2x+\varphi\，在\0,\frac{\pi}{2}\上，\2x+\frac{\pi}{2}\in\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\，故\\cos2x+\varphi0\，即\fx0\；故函数在\0,\frac{\pi}{2}\上单调递增

2.已知样本数据\5,7,x,9,11\的平均数为8，求样本方差，并分析样本数据的离散程度【答案】平均数为8，则\x=4\；样本方差为\\frac{5-8^2+7-8^2+4-8^2+9-8^2+11-8^2}{5}=4\；样本方差越小，数据越集中，故样本数据离散程度较小---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.C

2.A、C

3.A、B、C

4.A、B、C

5.A、C

三、填空题

1.

22.1,

23.

1624.2,-3,

45.1+x+\frac{x^2}{2}

6.

27.

48.\\frac{5\pi}{4}\

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.函数在\x=1\和\x=2\处取得极值

2.通项公式为\a_n=3n-2\

3.圆心坐标为\2,-3\，半径为

44.\\varphi=\frac{\pi}{2}\

5.样本方差为4

六、分析题

1.证明见答案

2.点D到平面ABC的距离为2

七、综合应用题

1.\\varphi=\frac{\pi}{2}\，证明见答案

2.样本方差为4，样本数据离散程度较小。