解方程竞赛常见试题与参考答案

解方程竞赛常见试题与参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若关于x的方程ax+b=cx+d的解为x=2，则a、b、c、d应满足的关系是（）A.a=b=c+dB.a+b=c+dC.a+c=b+dD.a+d=b+c【答案】A【解析】方程ax+b=cx+d可化为a-cx=d-b，因x=2为其解，则a-c≠0且2a-c=d-b，即a=b=c+d

2.已知方程x²-px+q=0的两根之差为4，则|p|+|q|的值可能为（）A.5B.10C.17D.25【答案】C【解析】设两根为α、β，则|α-β|=4，由韦达定理p=α+β，q=αβ，|p|+|q|=|α+β|+|αβ|≥|αβ|，因α、β异号，故|p|+|q|≥|β|²=4²=16，唯一满足的为

173.若方程x²+2ax+a²=0有实根，则实数a的取值范围是（）A.a≤1B.a∈RC.a≥-1D.a∈-∞,-1∪1,+∞【答案】B【解析】△=4a²-4a²=0，恒有实根

4.方程组$\begin{cases}x+y=4\\xy=3\end{cases}$的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由x+y=4得y=4-x，代入xy=3得x4-x=3，即x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，对应解为1,

3、3,

15.已知方程|2x-1|=k的解的个数为3，则k的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】y=|2x-1|为V型函数，与y=k有3个交点时，k=

16.若关于x的方程m|x|+1=0有负数解，则实数m的取值范围是（）A.m0B.m0C.m≠0D.m=0【答案】B【解析】x0时，m-x+1=0，解得m=-1/x，因x0，故m

07.方程组$\begin{cases}x+y=5\\x^2+y^2=13\end{cases}$的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由x+y²=x²+y²+2xy得25=13+2xy，解得xy=6，联立x²+y²=13得x、y为方程t²-5t+6=0的两根，解得t=2或t=3，对应解为2,

3、3,

28.已知方程x²+px+q=0的两根的倒数和为1，则p、q满足的关系是（）A.p+q=1B.p-q=1C.p²-q=1D.p²+q=1【答案】A【解析】设两根为α、β，则1/α+1/β=1，即α+β/αβ=1，由韦达定理得p/q=1，即p=q，代入原方程得x²+2qx+q²=0，解得x=q，故p=q=

19.方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}$的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由x-y=1得y=x-1，代入x²+y²=25得x²+x-1²=25，解得x=3或x=-2，对应解为3,

2、-2,-

310.已知方程组$\begin{cases}ax+by=c\\x^2+y^2=1\end{cases}$有唯一解，则a、b、c应满足的关系是（）A.a²+b²=c²B.a+b=cC.a-b=cD.ab=c【答案】A【解析】x²+y²=1为圆心在原点的单位圆，方程组有唯一解即直线ax+by=c与此圆相切，故a²+b²=c²

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列方程中，有实数解的是（）A.x²+2x+3=0B.√x-1=0C.|x|=1D.x³-2x+1=0【答案】B、C、D【解析】A中△=4-12=-80无解；B中x=1有解；C中x=±1有解；D中x=

0、x=

1、x=-1有解

2.已知方程x²+px+q=0的两根均为正数，则p、q满足的条件是（）A.p0B.q0C.p+q0D.pq0【答案】B、D【解析】两根均为正数即α

0、β0，由韦达定理得α+β

0、αβ0，故p

0、q

03.方程组$\begin{cases}x+y=a\\xy=b\end{cases}$有实数解的条件是（）A.a≥0B.b≥0C.a²≥4bD.a²≤4b【答案】C、D【解析】由x+y=a得y=a-x，代入xy=b得xa-x=b，即x²-ax+b=0，有实数解需△=a²-4b≥0，即a²≥4b

4.已知方程|3x-2|=k的解的个数为2，则k的取值范围是（）A.k0B.k≠0C.k=1D.k=0【答案】A、B【解析】y=|3x-2|为V型函数，与y=k有2个交点时，k0且k≠

25.关于x的方程kx+1=0有整数解，则k的取值可以是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A、C、D【解析】x=-1/k，k=-1时x=1，k=1时x=-1，k=2时x=-1/2，故k=-

1、

1、2有整数解

三、填空题（每空2分，共16分）

1.方程x²-3x+1=0的两根之积为______，两根的平方和为______【答案】1；5【解析】由韦达定理αβ=1，α²+β²=α+β²-2αβ=3²-2×1=

52.方程组$\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}$的解的个数为______【答案】2【解析】由x+y=5得y=5-x，代入xy=6得x5-x=6，即x²-5x+6=0，解得x=2或x=3，对应解为2,

3、3,

23.方程|2x-1|=x的解为______【答案】1/3，1【解析】x≥1/2时2x-1=x，解得x=1；x1/2时1-2x=x，解得x=1/

34.若方程x²+px+q=0的两根的绝对值相等，则p、q满足的关系是______【答案】p²=4q【解析】设两根为α、-α，则α-α=0，α+-α=-p，α-α=q，故p²=4q

四、判断题（每题2分，共10分）

1.方程x²+2x+1=0有唯一解（）【答案】（×）【解析】△=4-4=0有两个相等实根

2.若方程x²+px+q=0的两根均为负数，则p0且q0（）【答案】（×）【解析】设两根为α、β，α

0、β0，则α+β0，αβ0，故p

0、q

03.方程|3x-2|=5的解的个数为2（）【答案】（√）【解析】y=|3x-2|与y=5有两个交点，解为x=

3、x=-

14.若方程ax²+bx+c=0有实根，则a、b、c应满足△≥0（）【答案】（×）【解析】需a≠0，若a=0则方程为一次方程

5.方程组$\begin{cases}x+y=4\\xy=3\end{cases}$的解的个数为4（）【答案】（×）【解析】由x+y=4得y=4-x，代入xy=3得x4-x=3，即x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，对应解为1,

3、3,1

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知方程x²+px+q=0的两根之差为2，求p、q满足的关系【答案】设两根为α、β，|α-β|=2，由韦达定理α+β=-p，αβ=q，故α-β²=α+β²-4αβ=p²-4q=4，即p²-4q=

42.方程组$\begin{cases}x+y=5\\x^2+y^2=13\end{cases}$的解是什么？【答案】由x+y²=x²+y²+2xy得25=13+2xy，解得xy=6，联立x²+y²=13得x、y为方程t²-5t+6=0的两根，解得t=2或t=3，对应解为2,

3、3,

23.已知方程|2x-1|=k的解的个数为3，求k的值【答案】y=|2x-1|为V型函数，与y=k有3个交点时，k=

14.方程x²+px+q=0的两根均为正数，求p、q满足的条件【答案】设两根为α、β，α

0、β0，由韦达定理α+β=-p0，αβ=q0，故p

0、q

05.方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}$的解是什么？【答案】由x-y=1得y=x-1，代入x²+y²=25得x²+x-1²=25，解得x=3或x=-2，对应解为3,

2、-2,-3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知方程x²+px+q=0的两根的倒数和为2，求p、q满足的关系【答案】设两根为α、β，1/α+1/β=2，即α+β/αβ=2，由韦达定理得p/q=2，即q=p/2，代入原方程得x²+px+p/2=0，解得x=p/4，故p=2q

2.方程组$\begin{cases}x+y=a\\xy=b\end{cases}$的解的个数与a、b的关系【答案】由x+y=a得y=a-x，代入xy=b得xa-x=b，即x²-ax+b=0，有实数解需△=a²-4b≥0，即a²≥4b，当a²=4b时解为a±√a²-4b/2，当a²4b时解为a±√a²-4b/2，故解的个数与a²-4b的符号有关

3.已知方程|3x-2|=k的解的个数为4，求k的值【答案】y=|3x-2|为V型函数，与y=k有4个交点时，k2且k≠6，但|3x-2|的图像与水平线y=k最多有两个交点，故无解，矛盾，故方程|3x-2|=k无4个解

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知方程x²+px+q=0的两根的倒数和为2，且两根的平方和为5，求p、q的值【答案】设两根为α、β，1/α+1/β=2，α²+β²=5，由韦达定理α+β=-p，αβ=q，故p=-2q，q=-2/3，代入原方程得x²+2x-2/3=0，解得x=-1±√7/

32.方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}$的解是什么？若将x-y=1改为x-y=-1，解的个数如何变化？【答案】由x-y=1得y=x-1，代入x²+y²=25得x²+x-1²=25，解得x=3或x=-2，对应解为3,

2、-2,-3；若改为x-y=-1得y=x+1，代入x²+y²=25得x²+x+1²=25，解得x=2或x=-3，对应解为2,

3、-3,2，解的个数仍为2

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C、D

2.B、D

3.C、D

4.A、B

5.A、C、D

三、填空题

1.1；

52.

23.1/3，

14.p²=4q

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.p²-4q=

42.2,

3、3,

23.k=

14.p

0、q

05.3,

2、-2,-3

六、分析题

1.p=2q

2.a²≥4b

3.无解

七、综合应用题

1.p=-2，q=-2/

32.3,

2、-2,-3；解的个数仍为2。