解析数学保送竞赛的试题与答案

解析数学保送竞赛的经典试题与答案

一、单选题

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】D【解析】集合A={1,2}，若B⊆A，则B的可能情况为空集、{1}、{2}、{1,2}当B为空集时，Δ=a^2-40，得-2a2；当B={1}时，Δ=0且1-a+a+1=0，无解；当B={2}时，Δ=0且4-2a+1=0，得a=5/2（舍去）；当B={1,2}时，Δ0且1+a+1=0且4-2a+1=0，得a=-5/2（舍去）综上，-2a2，故选D

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为

33.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.3/4C.5/6D.7/8【答案】D【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=9+16-4/2×3×4=21/24=7/

84.等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=8，则S_5的值为（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】设公比为q，则q^2=8，得q=2或q=-2当q=2时，S_5=31；当q=-2时，S_5=-31故S_5=

315.过点P1,2的直线与圆C:x-1^2+y-1^2=1相切，则该直线的方程为（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.4x-3y+5=0D.3x-4y+5=0【答案】A【解析】圆心1,1，半径1若斜率不存在，则x=1，与圆相切；若斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y-2=kx-1，即kx-y+k+2=0圆心到直线距离为1，得|k+1|/√k^2+1=1，解得k=0故切线方程为x-y+1=

06.已知函数fx=sinωx+φ，若f0=1且fπ/2=0，则φ的取值可以是（）（2分）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4【答案】A【解析】f0=sinφ=1，得φ=2kπ+π/2，k∈Zfπ/2=sinωπ/2+φ=0，得ωπ/2+φ=mπ，m∈Z代入φ=2kπ+π/2，得ω=2m-4k-1取k=0，m=1，得φ=π/2+2π=5π/4（舍去）取k=1，m=1，得φ=π/2-2π=-3π/2（舍去）取k=0，m=2，得φ=π/2-π=-π/2（舍去）取k=0，m=1，得φ=π/2，故φ=π/

47.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，则二面角B-PC-D的平面角的余弦值为（）（3分）A.1/3B.√2/3C.√3/3D.2√2/3【答案】B【解析】取PC中点E，连接BE，DEBE⊥PC，DE⊥PC，∠BED为二面角B-PC-D的平面角设AD=1，则PA=1，PC=√2BE=DE=√2/2=√2/2cos∠BED=BE/DE=√2/

38.已知实数x满足x^2+4x-5≥0，则fx=1/x+1^2的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.5【答案】C【解析】x^2+4x-5≥0得x≤-5或x≥1fx=1/x+1^2在x≥1时递减，最小值为f1=

19.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2+bc，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】B【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=-bc/2bc=-1/2（舍去）a^2=b^2+c^2+bc=b^2+c^2+2bc-2bc=b+c^2-2bccosA=b^2+c^2-b+c^2+2bc/2bc=-1/

310.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，则fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为（）（3分）A.3，-2B.3，-1C.2，-2D.2，-1【答案】A【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3f-1=-1，f1-√1/3≈

1.09，f1+√1/3≈

0.91，f3=3最大值为3，最小值为f-1=-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则log_ablog_ba【答案】C、D【解析】A反例a=2，b=-3；B反例a=4，b=-1；C正确；D正确

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2，则下列结论中正确的有（）A.cosA=1/2B.sinA=√3/2C.△ABC是直角三角形D.△ABC是等边三角形【答案】C【解析】a^2=b^2+c^2得△ABC是直角三角形，A、B不成立

3.已知函数fx=sinωx+φ，若fx的最小正周期为π，且fπ/4=1，则（）A.ω=2B.φ=kπ+π/4C.φ=kπ-π/4D.φ=2kπ+π/4【答案】A、C【解析】T=2π/ω=π，得ω=2fπ/4=sin2π/4+φ=1，得φ=kπ-π/

44.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，则下列结论中正确的有（）A.对角线AC与BD垂直B.PC⊥BDC.PB⊥ACD.PA与BC垂直【答案】D【解析】D正确A、B、C错误

5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2√a_n+1，则（）A.{a_n}是递增数列B.{a_n}是等比数列C.a_n=n^2D.a_n=nn+1【答案】A、C【解析】a_n+1^2-a_n+1^2=4a_n+4，得a_n+1^2-a_n-1+1^2=4，故a_n+1^2=n^2+2na_n=n^2

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若集合A={x|ax=1}与集合B={x|x^2+x-2=0}相等，则实数a的值为______【答案】1/2或-1【解析】B={1,-2}若a=0，A=∅≠B；若a≠0，A={1/a}，得1/a=1或1/a=-2，得a=1或a=-

12.函数fx=√x^2-4x+3的定义域为______【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x^2-4x+3≥0，得x≤1或x≥

33.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=5，c=7，则cosB的值为______【答案】-11/35【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+49-25/2×3×7=33/42=-11/

354.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_5=10，则S_10的值为______【答案】70【解析】设公差为d，则10=2+4d，得d=2S_10=10×2+45×2=

705.过点P1,2的直线与圆C:x-1^2+y-1^2=1相切，则该直线的斜率k的值为______【答案】0或-1/2【解析】设斜率为k，切线方程为y-2=kx-1，即kx-y+k+2=0圆心到直线距离为1，得|k+1|/√k^2+1=1，解得k=0或k=-1/

26.已知函数fx=sin2x+φ，若fπ/4=√2/2且fx的最小正周期为π，则φ的取值可以是______【答案】π/4或5π/4【解析】T=π，得ω=2fπ/4=sinπ/2+φ=√2/2，得φ=π/4或φ=5π/

47.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值为______【答案】-3/5【解析】设a=3k，b=4k，c=5k由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=32/40=-3/

58.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PA=√3，则二面角A-PBC-D的平面角的余弦值为______【答案】1/√7【解析】取BC中点E，连接AE，PEPE⊥BC，AE⊥BC，∠APE为二面角A-PBC-D的平面角设AD=2，AB=1，PA=√3PE=√PA^2+BE^2=√3+1=2AE=√AB^2+BE^2=√1+1=√2cos∠APE=AE/PE=√2/2√3=1/√7

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】反例a=2，b=-

32.若fx=x^2+px+q，且Δ0，则fx恒大于0（）（2分）【答案】（√）【解析】Δ0得fx无实根，且开口向上，故恒大于

03.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是等边三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】a^2=b^2+c^2得△ABC是直角三角形

4.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a_n=n，a_n^2=n^2，不是等差数列

5.过点P1,2的直线与圆C:x-1^2+y-1^2=1相切，则该直线的方程为x-y+1=0（）（2分）【答案】（√）【解析】见单选题第5题解析

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值点【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3fx=6x-6，f1-√1/3=-2√1/30，f1+√1/3=2√1/30故x=1-√1/3为极大值点，x=1+√1/3为极小值点

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求cosA的值【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=7+9-4/2×√7×3=12/6√7=2√7/

73.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2√a_n+1，求a_n的表达式【解析】a_n+1+1=√a_n+1^2，令b_n=√a_n+1，则b_n+1=b_n+1b_n=1+n-1=n故√a_n=n-1，a_n=n-1^2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=sinωx+φ，若fx的最小正周期为π，且fπ/4=1，求fx的表达式【解析】T=π，得ω=2fπ/4=sin2π/4+φ=1，得φ=kπ+π/4故fx=sin2x+φ

2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，求二面角P-AC-D的平面角的余弦值【解析】取AC中点E，连接PE，DEPE⊥AC，DE⊥AC，∠PED为二面角P-AC-D的平面角设AD=1，则PA=1，AC=√2，PE=√1+1/2=√6/2，DE=√2/2cos∠PED=DE/PE=√2/2/√6/2=√3/3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并求取得最小值时x的取值范围【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为3当-2≤x≤1时，取得最小值

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，且△ABC的面积为6√3，求a、b、c的值【解析】设a=3k，b=4k，c=5k由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=32/40=-3/5sinA=√1-cos^2A=√1-9/25=4√6/25面积S=1/2bcsinA=1/2×4k×5k×4√6/25=6√3，得k=√6故a=3√6，b=4√6，c=5√6---完整标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.D

4.C

5.A

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.C、D

2.C

3.A、C

4.D

5.A、C

三、填空题

1.1/2或-

12.-∞,1]∪[3,+∞

3.-11/

354.

705.0或-1/

26.π/4或5π/

47.-3/

58.1/√7

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.极大值点x=1-√1/3，极小值点x=1+√1/

32.cosA=-3/

53.a_n=n-1^2

六、分析题

1.fx=sin2x+φ，φ=kπ+π/

42.cos∠PED=√3/3

七、综合应用题

1.最小值为3，-2≤x≤

12.a=3√6，b=4√6，c=5√6。