解析杭州数学竞赛试题及对应答案

解析杭州数学竞赛试题及对应答案

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在-∞,0上单调递增B.fx在0,+∞上单调递增C.fx的最大值为0D.fx的解析式中a必须大于0【答案】C【解析】函数图象开口向上，说明a0；顶点在x轴上，说明△=b^2-4ac=0，且f0=c=0，所以fx的解析式为ax^2，最大值为

02.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k为整数}，则A∩B等于（）（1分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.空集【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}；B为奇数集，只有x=2属于两个集合

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则sinC的值为（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.√6/4D.√6/2【答案】C【解析】由三角形内角和定理得角C=75°，sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/

44.某校进行篮球比赛，共有8支队伍参加，采用单循环赛制（每队均与其他各队比赛一场），则总共需要进行的比赛场数为（）（1分）A.16场B.28场C.56场D.64场【答案】B【解析】单循环赛制总场数公式为nn-1/2，代入n=8得28场

5.若关于x的一元二次方程x^2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（2分）A.m2B.m-2C.m0且m≠2D.m-2或m2【答案】D【解析】根据根的判别式△=m^2-40，解得m-2或m

26.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）（1分）A.a,-bB.-a,bC.-a,-bD.b,a【答案】C【解析】点关于原点对称，横纵坐标均取相反数

7.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（）（2分）A.6πB.12πC.24πD.36π【答案】B【解析】扇形面积公式为S=1/2×r^2×α，代入r=6，α=120°=2π/3，得S=12π

8.函数y=√x^2+1在区间[-1,1]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.√2D.2【答案】B【解析】函数在x=0时取得最小值，此时y=√1=

19.若直线l的方程为y=kx+b，且l与x轴相交于点3,0，则b的值为（）（2分）A.3B.-3C.1/3D.-1/3【答案】B【解析】直线与x轴交点处y=0，代入得0=3k+b，解得b=-3k，由于k为任意实数，b=-

310.一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机取出2个球，则取出的2个球颜色相同的概率是（）（2分）A.1/8B.3/8C.5/8D.3/4【答案】C【解析】取出2个红球的概率为C5,2/C8,2=10/28=5/8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=1/x的说法正确的有？（）A.函数图象关于原点对称B.函数在-∞,0上单调递减C.函数是奇函数D.函数的图象是双曲线E.函数有垂直渐近线x=0【答案】B、C、D、E【解析】y=1/x是奇函数，图象为双曲线，关于原点对称，在-∞,0单调递减，x=0是垂直渐近线

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=7，则下列说法正确的有？（）A.数列的公差为3B.数列的前n项和公式为S_n=n^2+nC.a_10=17D.数列中存在a_n=0E.数列的任意三项不可能构成等比数列【答案】A、B、C【解析】公差d=7-2/4-1=3，前n项和S_n=n2+n-1×3=n^2+n，a_10=2+9×3=29，任意三项可构成等比数列如a_1,a_3,a_

53.关于三角形外接圆的叙述，正确的有？（）A.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点B.钝角三角形的外接圆圆心在三角形内部C.直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点D.锐角三角形的外接圆圆心在三角形外部E.三角形外接圆的半径等于三角形周长的2倍【答案】A、C【解析】外接圆圆心是三边垂直平分线交点，直角三角形外接圆半径等于斜边的一半

4.下列不等式解集为x2的有？（）A.x^2-4x+40B.|x-2|0C.3x-60D.x-2x+10E.x^2-5x+60【答案】A、B、C、E【解析】A解得x≠2，B解得x≠2，C解得x2，D解得x-1或x2，E解得x2或x

35.在四边形ABCD中，下列条件能判定四边形为平行四边形的有？（）A.对角线AC与BD互相平分B.两组对边分别平行C.一组对边平行且相等D.对角线AC与BD相等E.两组对角分别相等【答案】A、B、C、E【解析】平行四边形判定定理包括对角线互相平分、两组对边平行、一组对边平行相等、两组对角相等

三、填空题

1.若方程x^2-px+q=0的两个实数根之比为2:3，则p/q的值为______（4分）【答案】5/2【解析】设两根为2k,3k，根据韦达定理2k+3k=p，2k×3k=q，解得p=5k，q=6k，所以p/q=5/

22.在直角三角形ABC中，若角C=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB上的高CD的长度为______（4分）【答案】

4.8【解析】由勾股定理得AB=10，由面积法得CD=AC×BC/AB=

4.

83.函数y=2^x+1的反函数是______（4分）【答案】log₂x-1【解析】令y=2^x+1，则x=log₂y-1，反函数为y=log₂x-

14.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为______πcm²（4分）【答案】15π【解析】侧面积S=1/2×底面周长×母线长=1/2×6π×5=15π

5.若x是方程x^2-3x-4=0的一个根，则代数式x^2-2x+1的值为______（4分）【答案】9【解析】x=4或x=-1，代入得x^2-2x+1=9或9

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2=1b^2=

42.函数y=sinx+π/2的图象与y=sinx的图象完全重合（）【答案】（√）【解析】sinx+π/2=cosx，与y=sinx图象相同

3.在△ABC中，若角A=角B，则△ABC是等腰三角形（）【答案】（√）【解析】等角对等边，所以是等腰三角形

4.若x是实数，则x^2≥0恒成立（）【答案】（√）【解析】任何实数的平方都是非负数

5.样本容量为20，样本平均数为10，则样本方差一定小于100（）【答案】（×）【解析】样本方差可能大于100，如数据集中在0附近

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求函数的最小值及取得最小值时的自变量x的值【答案】最小值为2，取得最小值时x=1【解析】将fx配方法得fx=x-1^2+2，当x=1时取得最小值

22.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=10，求边BC的长度【答案】BC=5√2【解析】由正弦定理得BC/∠A的正弦值=AC/∠B的正弦值，即BC/√3/2=10/√2/2，解得BC=5√

23.解不等式组{x|1x≤3}∩{x|x-20}【答案】{x|2x≤3}【解析】解得两个不等式的解集分别为1,3]和2,+∞，交集为2,3]

4.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3=8，求a_5的值【答案】a_5=32【解析】公比q=a_3/a_1=4，a_5=a_1×q^4=2×256=

325.在直角坐标系中，点A1,2，点B3,0，求线段AB的垂直平分线的方程【答案】x+y-3=0【解析】AB中点为2,1，斜率为-1，所以方程为y-1=-x-2，即x+y-3=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求

（1）生产x件产品的总成本函数

（2）生产x件产品的总收入函数

（3）当产量x为何值时，工厂开始盈利【答案】

（1）总成本Cx=10000+50x

（2）总收入Rx=80x

（3）盈利条件RxCx，即80x10000+50x，解得x

2002.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=10，求

（1）角C的大小

（2）边AC的长度

（3）△ABC的面积【答案】

（1）角C=180°-60°-45°=75°

（2）由正弦定理得AC/∠B的正弦值=BC/∠A的正弦值，即AC/√2/2=10/√3/2，解得AC=10√6/3

（3）面积S=1/2×AC×BC×sinB=1/2×10√6/3×10×√2/2=50√3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某班级组织春游，租用客车若干辆，若每辆客车坐45人，则有10人没有座位；若每辆客车坐40人，则有一辆客车不满载但有余座位求

（1）该班级有多少名学生？

（2）租用了多少辆客车？

（3）若每辆客车收费500元，且全部学生按9折优惠购买门票，每张门票20元，求该班级春游的总费用【答案】

（1）设班级有x名学生，客车有y辆，根据题意得45y+10=x40y-1+a=x，其中0a40解得x=250，y=6

（2）租用了6辆客车

（3）总费用=500y+

0.9×20x=500×6+

0.9×20×250=8200元

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求

（1）函数的导数fx

（2）函数的极值点

（3）函数的单调区间

（4）画出函数的大致图象【答案】

（1）fx=3x^2-6x+2

（2）令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1-√3/30，f1+√3/30，所以x=1-√3/3是极小值点，x=1+√3/3是极大值点

（3）增区间为-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞，减区间为1-√3/3,1+√3/3

（4）图象大致经过-1,0，0,0，2,0，在x=1-√3/3处有极小值，在x=1+√3/3处有极大值，在x=1处有拐点。