解读高考数学创新试题及最终答案

解读高考数学创新试题及最终答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=ax^3-3x^2+bx+1在x=1处取得极值，且f1=0，则a，b的值分别为（）（2分）A.a=1，b=1B.a=-1，b=2C.a=1，b=-2D.a=-1，b=-1【答案】C【解析】fx=3ax^2-6x+b，f1=0得3a-6+b=0，f1=a-3+b+1=0，联立解得a=1，b=-

22.若复数z满足z^2+2z=3，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【解析】z^2+2z-3=0，解得z=1或z=-3，|z|=√

33.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=ab/2ab=1/

24.已知实数x满足x+1/x≥2，则x的取值范围是（）（2分）A.-∞,-1]∪[1,+∞B.-1,0∪0,1C.-∞,-1]∪[2,+∞D.-1,0∪0,1【答案】A【解析】由均值不等式x+1/x≥2得x0或x-

15.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_nn≥1，则a_5的值为（）（2分）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】a_n+a_{n+1}=2S_n，a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}，两式相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_5=2^4=

166.函数fx=|x-1|+|x+1|的最小值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+1|表示数轴上x到1和-1的距离之和，最小值为

27.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆C的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心坐标为-b/2a,-c/2a，即2,

38.已知函数fx=sinωx+φ在x=π/4处取得最大值，且f0=0，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.π/2D.π【答案】C【解析】f0=sinφ=0，φ=kπ，fπ/4=sinωπ/4+kπ=1，ωπ/4+kπ=π/2+2kπ，ω=1/2，φ=π/

29.已知向量a=1,2，b=x,1，若a⊥b，则x的值为（）（2分）A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】D【解析】a·b=1x+2×1=0，x=-

210.已知直线l y=kx+b与圆C x^2+y^2=1相交于A，B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】圆心到直线的距离d=√1-√2/2^2=1/2，d^2+√2/2^2=1，k^2+b^2=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若x^2=1，则x=1B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若fx是偶函数，则fx是奇函数【答案】D【解析】A错，x=-1也成立；B错，a=-1，b=-2时成立；C错，α=π-β也成立；D对，f-x=fx⇒f-x=-fx

2.以下函数中，在区间0,π上单调递增的有（）（4分）A.y=cosxB.y=sinxC.y=tanxD.y=logx+1【答案】B、C【解析】y=cosx在0,π上递减；y=sinx在0,π上递增；y=tanx在0,π上递增；y=logx+1在0,π上递增

3.以下数列中，是等差数列的有（）（4分）A.a_n=2n+1B.a_n=n^2C.a_n=3n-2D.a_n=5^n【答案】A、C【解析】A、C满足a_{n+1}-a_n=2，是等差数列；B、D不满足等差条件

4.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰梯形B.平行四边形C.正五边形D.菱形【答案】A、C、D【解析】等腰梯形、正五边形、菱形是轴对称图形；平行四边形不是

5.以下说法中，正确的有（）（4分）A.若x0，则e^x1B.若x0，则logx0C.若a1，则a^xa^y（xy）D.若0a1，则a^xa^y（xy）【答案】A、C、D【解析】A对，e^xe^0=1；B错，logx对x0无定义；C对，a1时指数函数单调递增；D对，0a1时指数函数单调递减

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=2，则b=______（4分）【答案】-2【解析】f1=0⇒2a+b=0，f1=a+b+c=2，b=-2a，-2a+c=2，b=-

22.若复数z=1+i，则z^4的实部为______（4分）【答案】0【解析】z^4=1+i^4=4i，实部为

03.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a^2+b^2-c^2=ab，则sinC的值为______（4分）【答案】1/2【解析】cosC=1/2⇒sinC=√3/

24.已知函数fx=sinωx+φ在x=π/4处取得最大值，且f0=0，则φ的值为______（4分）【答案】π/2【解析】f0=sinφ=0，φ=kπ，fπ/4=sinωπ/4+kπ=1，ωπ/4+kπ=π/2+2kπ，ω=1/2，φ=π/

25.已知直线l y=kx+b与圆C x^2+y^2=1相交于A，B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为______（4分）【答案】2【解析】圆心到直线的距离d=√1-√2/2^2=1/2，d^2+√2/2^2=1，k^2+b^2=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】a=-1，b=-2时ab但a^2b^

22.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】α=π-β也成立

3.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=fx⇒f-x=-fx

4.若x0，则e^x1（）（2分）【答案】（√）【解析】e^xe^0=

15.若0a1，则a^xa^y（xy）（）（2分）【答案】（√）【解析】0a1时指数函数单调递减

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx0得x0或x2，令fx0得0x2，单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_nn≥1，求a_5的值（5分）【答案】a_n+a_{n+1}=2S_n，a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}，两式相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_5=2^4=

163.已知直线l y=kx+b与圆C x^2+y^2=1相交于A，B两点，且|AB|=√2，求k^2+b^2的值（5分）【答案】圆心到直线的距离d=√1-√2/2^2=1/2，d^2+√2/2^2=1，k^2+b^2=1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=ax^3-3x^2+bx+1在x=1处取得极值，且f1=0，求a，b的值，并判断fx的单调性（12分）【答案】fx=3ax^2-6x+b，f1=0得3a-6+b=0，f1=a-3+b+1=0，联立解得a=1，b=-2，fx=3x^2-6x-2=3x^2-2x-2=3x-1^2-5，令fx0得x1-√5/3或x1+√5/3，令fx0得1-√5/3x1+√5/3，单调增区间为-∞,1-√5/3和1+√5/3,+∞，单调减区间为1-√5/3,1+√5/

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_nn≥1，求a_n的通项公式，并求S_5的值（12分）【答案】a_n+a_{n+1}=2S_n，a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}，两式相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_n=2^{n-1}，S_5=1+2+4+8+16=31

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+1|，求fx的最小值，并求取得最小值时x的取值范围（25分）【答案】fx=|x-1|+|x+1|表示数轴上x到1和-1的距离之和，最小值为2，取得最小值时x的取值范围是[-1,1]

2.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的圆心坐标和半径，并判断点A1,2是否在圆C内（25分）【答案】圆心坐标为2,-3，半径r=√2^2+-3^2--3=√7，点A1,2到圆心的距离d=√1-2^2+2+3^2=√14，dr，点A不在圆C内---标准答案---

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.A

5.C

6.B

7.C

8.C

9.D

10.B

二、多选题

1.D

2.B、C

3.A、C

4.A、C、D

5.A、C、D

三、填空题

1.-

22.

03.1/

24.π/

25.2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.a_5=

163.k^2+b^2=1

六、分析题

1.a=1，b=-2，单调增区间为-∞,1-√5/3和1+√5/3,+∞，单调减区间为1-√5/3,1+√5/

32.a_n=2^{n-1}，S_5=31

七、综合应用题

1.最小值为2，取得最小值时x的取值范围是[-1,1]

2.圆心坐标为2,-3，半径r=√7，点A不在圆C内。