解锁高考数学试题及正确答案

解锁高考数学热门试题及正确答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-∞,-1B.-1,+∞C.-∞,+∞D.[-1,+∞【答案】B【解析】函数fx=lnx+1中，x+10，解得x-1，所以定义域为-1,+∞

2.若复数z满足z^2=1，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1，得z=±

13.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x=2k,k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,-2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，所以A={1,2}又B={x|x=2k,k∈Z}，所以A∩B={2}

4.函数fx=sin2x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】函数fx=sin2x的周期T=2π/|ω|=2π/2=π

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=1,a_2=5，则a_5等于（）（2分）A.9B.11C.13D.15【答案】C【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，得d=a_2-a_1=4，所以a_5=a_1+4d=1+4×4=

176.不等式|3x-1|5的解集是（）（2分）A.-2,2B.-4/3,2C.-4/3,4/3D.-2,4/3【答案】C【解析】解绝对值不等式|3x-1|5，得-53x-15，解得-4/3x4/

37.已知向量a=1,2,b=3,-4，则向量a+b等于（）（2分）A.4,-2B.2,-2C.4,6D.2,6【答案】A【解析】向量a+b=1+3,2-4=4,-

28.扇形的圆心角为60°，半径为10，则扇形的面积是（）（2分）A.50πB.100πC.150πD.200π【答案】A【解析】扇形面积S=1/2×r^2×θ=1/2×10^2×π/3=50π

9.抛掷两个骰子，出现的点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】点数之和为7的基本事件有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，所以概率为6/36=1/

610.已知直线l的斜率为-2，且过点1,3，则直线l的方程是（）（2分）A.2x+y-5=0B.2x-y+1=0C.x-2y+5=0D.x+2y-7=0【答案】A【解析】直线方程点斜式y-y_1=kx-x_1，得y-3=-2x-1，即2x+y-5=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上是增函数的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=lnxD.y=1/x【答案】A、B、C【解析】函数y=x^2在0,+∞上是增函数；y=2^x在0,+∞上是增函数；y=lnx在0,+∞上是增函数；y=1/x在0,+∞上是减函数

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的有（）（4分）A.a^2=b^2+c^2-2bccosAB.sinA/a=sinB/b=sinC/cC.a/b=sinA/sinBD.c^2=a^2+b^2-2abcosC【答案】A、C、D【解析】根据余弦定理，A、C、D正确；正弦定理是sinA/a=sinB/b=sinC/c，但题目没有说△ABC是直角三角形，所以B不一定正确

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若p∧q为假，则p、q中至少有一个为假D.若p→q为真，则¬p→¬q为真【答案】A、C【解析】空集是任何集合的子集，A正确；若ab0，则a^2b^2，B不一定正确；若p∧q为假，则p、q中至少有一个为假，C正确；p→q为真，则¬q→¬p为真，D错误

4.已知点Px,y在直线x+2y-1=0上，则点P到原点的距离d的最小值是（）（4分）A.1/√5B.√5/5C.1/2D.√5【答案】B【解析】点P到原点的距离d=√x^2+y^2，由直线方程x=1-2y，代入得d=√1-2y^2+y^2=√5y^2-4y+1，当y=2/5时，d取最小值√5/

55.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=0处取得极小值C.fx的图像关于原点对称D.fx在-∞,+∞上单调递增【答案】A、B【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2当x=1时，fx0，fx在x=1处取得极大值；当x=0时，fx由负变正，fx在x=0处取得极小值；fx不是奇函数，图像不关于原点对称；fx在-∞,0上递减，在0,2上递减，在2,+∞上递增，所以D错误

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα=______（4分）【答案】-√3/2【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=±√1-sin^2α=±√1-1/2^2=±√3/2因为α在第二象限，所以cosα0，所以cosα=-√3/

22.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，则圆心C的坐标是______，半径r=______（4分）【答案】1,-2；3【解析】圆的标准方程为x-h^2+y-k^2=r^2，所以圆心C的坐标是1,-2，半径r=√9=

33.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，则公比q=______（4分）【答案】±2√2【解析】由等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1，得a_3=a_1q^2，即16=2q^2，解得q=±2√

24.已知函数fx=e^x，则其反函数f^-1x=______（4分）【答案】lnx【解析】由y=e^x，得x=lny，所以反函数f^-1x=lnx

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a^2√b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab，但√a^2=√1=1，√b^2=√4=2，所以√a^2√b^

22.已知直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，若k1k2=-1，则l1⊥l2（）（2分）【答案】（√）【解析】直线l1和l2垂直的条件是斜率的乘积为-1，即k1k2=-

13.若复数z满足|z|=1，则z可以表示为z=cosθ+isinθ（θ∈R）（）（2分）【答案】（√）【解析】根据欧拉公式，复数z可以表示为z=|z|e^iθ=e^iθ=cosθ+isinθ

4.函数fx=sinωx+φ的最小正周期是2π/|ω|（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fx=sinωx+φ的周期T=2π/|ω|

5.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】根据勾股定理，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.解方程x^2-5x+6=0（4分）【答案】x=2或x=3【解析】因式分解得x-2x-3=0，解得x=2或x=

32.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f-2=-10，最小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2计算f-2=-10，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值f-2=-10，最小值f2=-

23.已知向量a=3,-1,b=1,2，求向量a+b和a·b（4分）【答案】a+b=4,1；a·b=1【解析】向量a+b=3+1,-1+2=4,1；a·b=3×1+-1×2=3-2=

14.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，求过点P2,-1的圆的切线方程（4分）【答案】x-y-3=0【解析】设切线方程为y-y_1=kx-x_1，即y+1=kx-2圆心C1,-2，半径r=3切线与圆心的距离等于半径，即|k×1--2-1|/√k^2+1=3，解得k=-3/4所以切线方程为y+1=-3/4x-2，即3x+4y-2=0，即x-y-3=

05.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，d=2，求前n项和S_n（4分）【答案】S_n=n^2+2n【解析】等差数列前n项和公式S_n=n/22a_1+n-1d，代入得S_n=n/26+2n-1=n/22n+4=n^2+2n

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值（12分）【答案】单调增区间0,2，单调减区间-∞,0和2,+∞；极大值f0=2，极小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，函数单调增；当0x2时，fx0，函数单调减；当x2时，fx0，函数单调增所以单调增区间0,2，单调减区间-∞,0和2,+∞当x=0时，fx由正变负，函数取得极大值f0=2；当x=2时，fx由负变正，函数取得极小值f2=-

22.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，直线l的方程为x+2y-1=0，求圆心到直线l的距离d和直线l与圆C的交点坐标（12分）【答案】d=√5/5；交点坐标为2/5,9/10和-4/5,-3/10【解析】圆心C1,-2，直线l的方程为x+2y-1=0圆心到直线l的距离d=|1+2×-2-1|/√1^2+2^2=|-3|/√5=√5/5联立方程组x-1^2+y+2^2=9和x+2y-1=0，代入x=1-2y得1-2y-1^2+y+2^2=9，即5y^2+4y-4=0，解得y=2/5或y=-4/5，代入x=1-2y得交点坐标为2/5,9/10和-4/5,-3/10

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求前n项和S_n，并求使得S_n取得最大值的n的值（25分）【答案】S_n=n^2+3n；n=15时，S_n取得最大值【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，得a_5=a_1+4d，即14=2+4d，解得d=3等差数列前n项和公式S_n=n/22a_1+n-1d，代入得S_n=n/24+3n-1=n/23n+1=n^2+3nS_n是关于n的二次函数，开口向上，当n=-b/2a=-3/2×1=-3/2时取得最小值，所以当n=15时，S_n取得最大值，最大值为S_15=15^2+3×15=225+45=

2702.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的图像关于点1,0的对称图像的函数解析式，并判断该函数在-∞,+∞上是否有零点（25分）【答案】gx=x-2^3-3x-2^2+2；有零点【解析】设gx是fx关于点1,0的对称图像的函数解析式，则gx的图像上任意一点x,y关于点1,0的对称点为2-x,-y因为点2-x,-y在fx的图像上，所以-y=f2-x即y=-f2-x，所以gx=-f2-x=-2-x^3+32-x^2-2=x-2^3-3x-2^2+2判断gx是否有零点，即判断方程x-2^3-3x-2^2+2=0是否有实根令t=x-2，得t^3-3t^2+2=0，因式分解得t-1t^2-2t-2=0，解得t=1或t=1+√3或t=1-√3，所以x=3或x=3+√3或x=3-√3所以gx在-∞,+∞上有零点---标准答案

一、单选题

1.B

2.A、B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、C、D

3.A、C

4.B

5.A、B

三、填空题

1.-√3/

22.1,-2；

33.±2√

24.lnx

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.x=2或x=

32.最大值f-2=-10，最小值f2=-

23.a+b=4,1；a·b=

14.x-y-3=

05.S_n=n^2+2n

六、分析题

1.单调增区间0,2，单调减区间-∞,0和2,+∞；极大值f0=2，极小值f2=-

22.d=√5/5；交点坐标为2/5,9/10和-4/5,-3/10

七、综合应用题

1.S_n=n^2+3n；n=15时，S_n取得最大值

2.gx=x-2^3-3x-2^2+2；有零点。