计数原理专项试题及全解答案

计数原理专项试题及全解答案

一、单选题

1.从5名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少有一名女生，不同的选法共有（）种（2分）A.80B.100C.120D.160【答案】B【解析】至少有一名女生的选法可以分为三类1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C4,1×C5,2+C4,2×C5,1+C4,3=100种

2.用数字

1、

2、

3、

4、5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）个（2分）A.24B.30C.40D.50【答案】A【解析】组成的偶数必须以2或4结尾，可以分为两类以2结尾和以4结尾以2结尾的三位数有C4,2种，以4结尾的三位数也有C4,2种，共计24个

3.一个班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，要选出3名学生组成一个小组，其中至少有一名女生，不同的选法共有（）种（2分）A.240B.360C.480D.600【答案】B【解析】至少有一名女生的选法可以分为三类1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C10,1×C20,2+C10,2×C20,1+C10,3=360种

4.从一副52张的扑克牌中（除去大小王）抽出5张牌，其中至少有一张红桃，不同的抽法共有（）种（2分）A.27216B.259896C.2598960D.25989600【答案】A【解析】至少有一张红桃的抽法可以用总抽法减去没有红桃的抽法，即C52,5-C39,5=27216种

5.一个小组有10名成员，要选出3名成员组成一个委员会，其中至少有一名女性，如果小组中有6名女性和4名男性，不同的选法共有（）种（2分）A.120B.180C.240D.300【答案】B【解析】至少有一名女性的选法可以分为三类1名女性2名男性、2名女性1名男性、3名女性根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C6,1×C4,2+C6,2×C4,1+C6,3=180种

6.有3个不同的红球和2个不同的蓝球，从中取出4个球排成一排，不同的排法共有（）种（2分）A.360B.720C.1440D.2880【答案】C【解析】从5个球中取出4个球的排法有A5,4种，但由于红球和蓝球是不同的，所以每个位置上的球都有不同的选择，总共的排法是A5,4×A3,3×A2,2=1440种

7.有3个不同的红球和2个不同的蓝球，从中取出4个球排成一排，其中至少有一个红球，不同的排法共有（）种（2分）A.360B.420C.480D.540【答案】B【解析】至少有一个红球的排法可以用总排法减去没有红球的排法，即A5,4×A2,2-A2,4=420种

8.从0到9这10个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，其中百位数字不能为0，不同的选法共有（）种（2分）A.720B.840C.900D.972【答案】B【解析】百位数字不能为0，所以有9种选择，十位和个位数字有剩下的9个数字中选择，所以总共有9×C9,2=840种

9.从0到9这10个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，其中百位数字不能为0，且数字不重复，不同的选法共有（）种（2分）A.720B.840C.900D.972【答案】B【解析】百位数字不能为0，有9种选择，十位和个位数字有剩下的9个数字中选择，所以总共有9×C9,2=840种

10.从0到9这10个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，其中百位数字不能为0，且数字不重复，不同的选法共有（）种（2分）A.720B.840C.900D.972【答案】B【解析】百位数字不能为0，有9种选择，十位和个位数字有剩下的9个数字中选择，所以总共有9×C9,2=840种

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是计数原理的应用场景？（）A.排列组合问题B.概率计算C.二项式定理D.集合运算E.路径规划【答案】A、B、C、D【解析】计数原理在排列组合问题、概率计算、二项式定理和集合运算中都有应用，路径规划通常不属于计数原理的应用范畴

2.以下哪些是组合数的性质？（）A.Cn,k=Cn,n-kB.Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,kC.Cn,k=k!/n!/n-k!D.Cn,k=n!/k!n-k!E.Cn,k=n/kn-k【答案】A、B、D【解析】组合数的性质包括Cn,k=Cn,n-k、Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,k和Cn,k=n!/k!n-k!，Cn,k=k!/n!/n-k!是错误的，E选项也是错误的

3.以下哪些是排列数的性质？（）A.An,k=An,n-kB.An,k=An-1,k-1+An-1,kC.An,k=k!/n!/n-k!D.An,k=n!/k!n-k!E.An,k=n/kn-k【答案】A、C【解析】排列数的性质包括An,k=An,n-k和An,k=k!/n!/n-k!，B、D、E选项是错误的

4.以下哪些是计数原理的基本方法？（）A.加法原理B.乘法原理C.分类计数法D.排列组合法E.二项式定理【答案】A、B、C、D【解析】计数原理的基本方法包括加法原理、乘法原理、分类计数法和排列组合法，二项式定理是计数原理的一个应用

5.以下哪些是计数原理的应用？（）A.统计学中的抽样调查B.计算机科学中的算法设计C.物理学中的粒子运动D.化学中的分子结构E.经济学中的市场分析【答案】A、B、E【解析】计数原理在统计学中的抽样调查、计算机科学中的算法设计和经济学中的市场分析中有应用，C和D选项通常不属于计数原理的应用范畴

三、填空题

1.从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数记作______（4分）【答案】Cn,m

2.从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记作______（4分）【答案】An,m

3.加法原理是指如果完成一件事有______种不同的方法，完成这件事可以分成______类方法，那么完成这件事的方法总数等于各类方法数的______（4分）【答案】m；k；和

4.乘法原理是指如果完成一件事有______个步骤，每个步骤有______种不同的方法，那么完成这件事的方法总数等于各步骤方法数的______（4分）【答案】m；n；积

5.组合数Cn,k表示从n个元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式为______（4分）【答案】Cn,k=n!/k!n-k!

6.排列数An,k表示从n个元素中取出k个元素的排列数，它的计算公式为______（4分）【答案】An,k=n!/k!n-k!

7.如果完成一件事有m种方法，完成每件事又有n种方法，那么完成这件事的方法总数等于______（4分）【答案】m×n

8.如果完成一件事可以分成k类方法，每类方法有m种，那么完成这件事的方法总数等于______（4分）【答案】m1+m2+...+mk

9.组合数Cn,k的性质包括______和______（4分）【答案】Cn,k=Cn,n-k；Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,k

10.排列数An,k的性质包括______和______（4分）【答案】An,k=An,n-k；An,k=k!/n!/n-k!

四、判断题

1.排列数An,k和组合数Cn,k的计算公式相同（）（2分）【答案】（×）【解析】排列数An,k的计算公式为An,k=n!/k!n-k!，组合数Cn,k的计算公式为Cn,k=n!/k!n-k!,它们的计算公式不同

2.如果完成一件事有m种方法，完成每件事又有n种方法，那么完成这件事的方法总数等于m+n（）（2分）【答案】（×）【解析】如果完成一件事有m种方法，完成每件事又有n种方法，那么完成这件事的方法总数等于m×n，而不是m+n

3.组合数Cn,k表示从n个元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式为Cn,k=k!/n!/n-k!（）（2分）【答案】（×）【解析】组合数Cn,k的计算公式为Cn,k=n!/k!n-k!,而不是Cn,k=k!/n!/n-k!.

4.如果完成一件事可以分成k类方法，每类方法有m种，那么完成这件事的方法总数等于m1×m2×...×mk（）（2分）【答案】（×）【解析】如果完成一件事可以分成k类方法，每类方法有m种，那么完成这件事的方法总数等于m1+m2+...+mk，而不是m1×m2×...×mk

5.排列数An,k表示从n个元素中取出k个元素的排列数，它的计算公式为An,k=n!/k!n-k!（）（2分）【答案】（×）【解析】排列数An,k的计算公式为An,k=n!/k!n-k!,而不是An,k=k!/n!/n-k!

五、简答题

1.简述加法原理和乘法原理的区别（4分）【答案】加法原理适用于分类计数，即完成一件事有m种不同的方法，完成这件事可以分成k类方法，那么完成这件事的方法总数等于各类方法数的和；乘法原理适用于分步计数，即完成一件事有m个步骤，每个步骤有n种不同的方法，那么完成这件事的方法总数等于各步骤方法数的积

2.简述组合数和排列数的区别（4分）【答案】组合数表示从n个元素中取出k个元素的组合数，不考虑元素的顺序；排列数表示从n个元素中取出k个元素的排列数，考虑元素的顺序

3.简述计数原理在实际生活中的应用（5分）【答案】计数原理在实际生活中有广泛的应用，如统计学中的抽样调查、计算机科学中的算法设计、经济学中的市场分析等例如，在统计学中，我们可以用计数原理来计算抽样调查的可能样本数；在计算机科学中，我们可以用计数原理来设计算法；在经济学中，我们可以用计数原理来分析市场

六、分析题

1.一个班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，要选出3名学生组成一个小组，其中至少有一名女生，请用计数原理分析不同的选法共有多少种（10分）【答案】至少有一名女生的选法可以分为三类1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C10,1×C20,2+C10,2×C20,1+C10,3=360种

2.从0到9这10个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，其中百位数字不能为0，且数字不重复，请用计数原理分析不同的选法共有多少种（10分）【答案】百位数字不能为0，有9种选择，十位和个位数字有剩下的9个数字中选择，所以总共有9×C9,2=840种

七、综合应用题

1.一个小组有10名成员，要选出3名成员组成一个委员会，其中至少有一名女性，如果小组中有6名女性和4名男性，请用计数原理分析不同的选法共有多少种，并解释每一步的分析过程（20分）【答案】至少有一名女性的选法可以分为三类1名女性2名男性、2名女性1名男性、3名女性根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C6,1×C4,2+C6,2×C4,1+C6,3=180种解释首先，我们根据题目要求，将问题分为三类情况，即1名女性2名男性、2名女性1名男性、3名女性然后，我们分别计算每类情况下的组合数最后，我们将三类情况的组合数相加，得到最终的结果

八、全解答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、D

3.A、C

4.A、B、C、D

5.A、B、E

三、填空题

1.Cn,m

2.An,m

3.m；k；和

4.m；n；积

5.Cn,k=n!/k!n-k!

6.An,k=n!/k!n-k!

7.m×n

8.m1+m2+...+mk

9.Cn,k=Cn,n-k；Cn,k=Cn-1,k-1+Cn-1,k

10.An,k=An,n-k；An,k=k!/n!/n-k!

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.加法原理适用于分类计数，即完成一件事有m种不同的方法，完成这件事可以分成k类方法，那么完成这件事的方法总数等于各类方法数的和；乘法原理适用于分步计数，即完成一件事有m个步骤，每个步骤有n种不同的方法，那么完成这件事的方法总数等于各步骤方法数的积

2.组合数表示从n个元素中取出k个元素的组合数，不考虑元素的顺序；排列数表示从n个元素中取出k个元素的排列数，考虑元素的顺序

3.计数原理在实际生活中有广泛的应用，如统计学中的抽样调查、计算机科学中的算法设计、经济学中的市场分析等例如，在统计学中，我们可以用计数原理来计算抽样调查的可能样本数；在计算机科学中，我们可以用计数原理来设计算法；在经济学中，我们可以用计数原理来分析市场

六、分析题

1.至少有一名女生的选法可以分为三类1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C10,1×C20,2+C10,2×C20,1+C10,3=360种

2.百位数字不能为0，有9种选择，十位和个位数字有剩下的9个数字中选择，所以总共有9×C9,2=840种

七、综合应用题

1.至少有一名女性的选法可以分为三类1名女性2名男性、2名女性1名男性、3名女性根据组合公式Cn,k表示从n个元素中选出k个元素的组合数，计算得C6,1×C4,2+C6,2×C4,1+C6,3=180种解释首先，我们根据题目要求，将问题分为三类情况，即1名女性2名男性、2名女性1名男性、3名女性然后，我们分别计算每类情况下的组合数最后，我们将三类情况的组合数相加，得到最终的结果。