超越函数综合试题与解析答案

超越函数综合试题与解析答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx^2+1在区间-1,1上的导数fx的符号是（）（2分）A.始终为正B.始终为负C.先正后负D.先负后正【答案】A【解析】fx=2x/x^2+1，在-1,1区间内x0，因此fx

02.函数y=2^x与y=log_2x的图像关于（）对称（2分）A.原点B.x轴C.y轴D.直线y=x【答案】D【解析】y=2^x的反函数为y=log_2x，图像关于直线y=x对称

3.函数fx=x^3-3x+2的极值点为（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=1和x=-1D.无极值点【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，进一步验证得知x=1和x=-1为极值点

4.函数y=cosx在区间[0,2π]上的积分值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】∫_0^2πcosxdx=0，因为cosx在[0,2π]上的正负面积相等

5.函数fx=e^x-x^2在x=0处的泰勒展开式的前三项为（）（2分）A.1+x+x^2B.1-x+x^2C.1+x-x^2D.1-x^2【答案】C【解析】fx=e^x-2x，fx=e^x-2，fx=e^x，在x=0处展开得f0+f0x+f0x^2=1+x-x^

26.函数y=tanx在x=π/4处的导数为（）（2分）A.1B.-1C.1/√2D.-1/√2【答案】A【解析】y=sec^2x，在x=π/4处sec^2π/4=2，即导数为

17.函数fx=sinx在x=π/2处的二阶导数为（）（2分）A.0B.1C.-1D.-sinx【答案】A【解析】fx=-sinx，在x=π/2处fπ/2=-sinπ/2=-1，但题目要求的是二阶导数的值，因此答案为

08.函数y=lnx在x=1处的麦克劳林展开式的前三项为（）（2分）A.x-x^2+x^3B.1-x+x^2C.1+x+x^2D.1-x^2【答案】B【解析】y=1/x，y=-1/x^2，y=2/x^3，在x=0处展开得1-x+x^

29.函数fx=x^2在区间[1,2]上的平均值等于（）（2分）A.1B.3/2C.5/2D.7/2【答案】C【解析】平均值=f2-f1/2-1=4-1=3，但题目要求的是区间上的平均值，因此答案为5/

210.函数y=1/1-x在x=0处的泰勒展开式的前三项为（）（2分）A.1+x+x^2B.1-x+x^2C.1+x-x^2D.1-x^2【答案】A【解析】y=1/1-x^2，y=2/1-x^3，y=6/1-x^4，在x=0处展开得1+x+x^2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x→∞时趋于无穷大的是（）（4分）A.y=lnxB.y=e^xC.y=x^2D.y=2^x【答案】B、C、D【解析】lnx在x→∞时趋于无穷大，但增速较慢；e^x、x^2和2^x在x→∞时都趋于无穷大，但增速不同

2.下列函数中，在x=0处可导的是（）（4分）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3x+1D.y=1/x【答案】B、C【解析】|x|在x=0处不可导；x^

2、3x+1和1/x在x=0处都可导

3.下列函数中，在区间-∞,∞上连续的是（）（4分）A.y=lnxB.y=sinxC.y=cosxD.y=tanx【答案】B、C【解析】lnx在x0时连续；sinx和cosx在-∞,∞上连续；tanx在x≠2k+1π/2时连续

4.下列函数中，在区间[0,1]上可积的是（）（4分）A.y=1/xB.y=x^2C.y=1/x+1D.y=sinx【答案】B、C、D【解析】1/x在x=0处无界，不可积；x^

2、1/x+1和sinx在[0,1]上均可积

5.下列函数中，在x=0处取极值的是（）（4分）A.y=x^3B.y=x^4C.y=2x+1D.y=3x^2【答案】A、D【解析】x^3在x=0处无极值；x^

4、2x+1和3x^2在x=0处取极值

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+2的极大值点为______，极小值点为______（4分）【答案】x=1；x=-

12.函数y=cosx在区间[0,π/2]上的积分值为______（4分）【答案】

13.函数fx=e^x-x^2在x=0处的泰勒展开式的前三项为______（4分）【答案】1+x-x^

24.函数y=tanx在x=π/4处的导数为______（4分）【答案】

15.函数fx=sinx在x=π/2处的二阶导数为______（4分）【答案】0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在区间[0,1]上的平均值等于1（）（2分）【答案】（×）【解析】平均值=f1-f0/1-0=1，但题目要求的是区间上的平均值，因此答案为5/

22.函数y=lnx在x=1处的导数为1（）（2分）【答案】（×）【解析】y=1/x，在x=1处y=1，但题目要求的是导数的值，因此答案为

13.函数fx=sinx在x=π处的导数为0（）（2分）【答案】（√）【解析】y=cosx，在x=π处y=cosπ=-1，但题目要求的是导数的值，因此答案为

04.函数y=1/1-x在x=0处的泰勒展开式的前三项为1+x+x^2（）（2分）【答案】（√）【解析】y=1/1-x^2，y=2/1-x^3，y=6/1-x^4，在x=0处展开得1+x+x^

25.函数fx=x^3-3x+2在x=0处取极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，进一步验证得知x=1和x=-1为极值点，x=0处不取极值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数fx=x^3-3x+2的极值点及其对应的极值（5分）【答案】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，fx=6x，在x=1处f10，为极小值点，极小值为f1=0；在x=-1处f-10，为极大值点，极大值为f-1=

42.简述函数y=lnx在x=1处的泰勒展开式的前三项（5分）【答案】y=1/x，y=-1/x^2，y=2/x^3，在x=1处展开得1-1x-1+1/2x-1^

23.简述函数fx=sinx在x=π/2处的二阶导数（5分）【答案】y=cosx，y=-sinx，在x=π/2处y=-sinπ/2=-1，但题目要求的是二阶导数的值，因此答案为0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值点（10分）【答案】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1，fx=6x，在x=1处f10，为极小值点，极小值为f1=0；在x=-1处f-10，为极大值点，极大值为f-1=4在-∞,-1和1,∞上fx0，函数单调递增；在-1,1上fx0，函数单调递减

2.分析函数y=cosx在区间[0,2π]上的积分（10分）【答案】∫_0^2πcosxdx=[sinx]_0^2π=sin2π-sin0=0，因为cosx在[0,2π]上的正负面积相等，积分值为0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的平均值（25分）【答案】平均值=f2-f-2/2--2=8--2/4=5/

22.求函数y=lnx在x=1处的泰勒展开式的前五项（25分）【答案】y=1/x，y=-1/x^2，y=2/x^3，y^4=-6/x^4，y^5=24/x^5，在x=1处展开得1-1x-1+1/2x-1^2-1/6x-1^3+1/24x-1^4---标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.C

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.B、C、D

2.B、C

3.B、C

4.B、C、D

5.A、D

三、填空题

1.x=1；x=-

12.

13.1+x-x^

24.

15.0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。