高中几何试题及其答案解析

高中几何精选试题及其答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.已知点A（2，3），点B（-2，-3），则直线AB的倾斜角为（）A.45°B.135°C.90°D.180°【答案】B【解析】直线AB的斜率为（-3-3）/（-2-2）=1，倾斜角为135°

3.在△ABC中，若AB=AC，且∠B=45°，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】AB=AC，∠B=45°，则∠C=45°，∠A=90°，为等腰直角三角形

4.若圆的方程为x-1²+y+2²=9，则该圆的圆心坐标为（）A.1,2B.-1,2C.1,-2D.-1,-2【答案】C【解析】圆心坐标为方程中的x₀,y₀，即1,-

25.已知点P在直线3x+4y-12=0上，且到原点的距离最短，则点P的坐标为（）A.0,3B.4,0C.3,0D.0,4【答案】A【解析】直线3x+4y-12=0与y轴交点为0,3，此时到原点距离最短

6.在等差数列{a_n}中，若a₁=5，a₅=15，则公差d为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】a₅=a₁+4d，15=5+4d，d=

37.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=π

8.在直角坐标系中，点A（1,2）关于直线y=x的对称点坐标为（）A.2,1B.1,2C.2,2D.1,1【答案】A【解析】对称点坐标为2,

19.若钝角三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且a²+b²=c²，则（）A.∠C为锐角B.∠C为直角C.∠C为钝角D.无法确定【答案】C【解析】钝角三角形中，最大边所对角为钝角

10.过点（1,2）且与直线x-y+1=0垂直的直线方程为（）A.x+y=3B.x-y=3C.x-y=-3D.x+y=-3【答案】A【解析】垂直直线的斜率为1，方程为x+y=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.矩形的对角线相等C.菱形的四条边都相等D.正方形的四条边都相等且四个角都是直角E.梯形的对角线相等【答案】A、B、C、D【解析】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质都正确，梯形对角线不一定相等

2.以下函数中，在区间0,π上单调递增的是（）A.y=cosxB.y=sinxC.y=tanxD.y=lnxE.y=e^x【答案】C、D、E【解析】tanx在0,π单调递增，lnx和e^x在0,π单调递增

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.矩形C.正方形D.圆E.等腰梯形【答案】B、C、D【解析】矩形、正方形、圆既是轴对称也是中心对称

4.等比数列{b_n}中，若b₁=2，b₄=16，则公比q为（）A.2B.3C.4D.-2E.-4【答案】A、E【解析】b₄=b₁q³，16=2q³，q=±

25.在△ABC中，若AB=5，AC=3，BC=7，则（）A.△ABC是锐角三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC是钝角三角形D.sinAsinBsinCE.cosAcosBcosC【答案】C、D【解析】7²=5²+3²，为直角三角形，∠C为直角，sinAsinBsinC

三、填空题（每题4分，共32分）

1.在△ABC中，若AB=3，AC=2，∠A=60°，则BC=______【答案】√7【解析】由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cosA=3²+2²-2×3×2×

0.5=7，BC=√

72.圆x-2²+y+1²=4的圆心到直线3x+4y-12=0的距离为______【答案】3【解析】距离d=|3×2+4×-1-12|/√3²+4²=

33.等差数列{a_n}中，若a₁=1，a₁₀=10，则前10项和S₁₀=______【答案】55【解析】a₁₀=a₁+9d，10=1+9d，d=1，S₁₀=10×1+45×1=

554.函数fx=sin2x-π/4在[0,π]上的最大值为______【答案】1【解析】当2x-π/4=π/2+2kπ时取得最大值1，即x=3π/8+π/2k，在[0,π]上最大值为

15.过点（1,2）且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为______【答案】2x-y=0【解析】斜率为2，方程为2x-y=

06.在直角坐标系中，点A（3,4）到直线x+y=1的距离为______【答案】3√2/√5【解析】d=|3+4-1|/√1²+1²=6√2/√5=3√2/√

57.等比数列{b_n}中，若b₃=8，b₇=64，则b₁=______【答案】1【解析】b₇=b₃q⁴，64=8q⁴，q=2，b₁=b₃/q⁴=8/16=

18.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则cosB=______【答案】3/8【解析】由余弦定理cosB=AB²+BC²-AC²/2×AB×BC=5²+8²-7²/2×5×8=3/8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个相似三角形的周长比等于它们对应高的比（）【答案】（√）【解析】相似三角形所有对应线段的比都相等，包括周长比和对应高比

2.圆的切线垂直于过切点的半径（）【答案】（√）【解析】这是圆的基本性质

3.若直线l₁∥直线l₂，直线m₁∥直线m₂，则l₁∥m₁（）【答案】（×）【解析】平行关系不具备传递性

4.等腰直角三角形的面积等于底边长的平方（）【答案】（×）【解析】面积应为底边×高/2，即1/2×a×a=a²/

25.函数fx=ax²+bx+c的图像开口方向由a决定，a0开口向上，a0开口向下（）【答案】（√）【解析】这是二次函数的基本性质

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述等腰三角形的性质答等腰三角形两腰相等，底角相等，顶角平分线、底边中线、底边高相互重合

2.简述直线的斜截式方程及其意义答y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距，表示直线与y轴交点的纵坐标

3.简述圆的标准方程及其要素答x-x₀²+y-y₀²=r²，其中x₀,y₀为圆心，r为半径

4.简述等差数列的前n项和公式及其推导答Sₙ=na₁+aₙ/2，推导将数列正序与倒序相加，每对和为a₁+aₙ，共n对

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知点A（2,3），点B（-1,5），点C（x,y）在直线AB上，且|AC|=2|BC|，求点C的坐标解直线AB斜率k=5-3/-1-2=-2/3，方程为y-3=-2/3x-2，即2x+3y-12=0设Cx,y，由|AC|=2|BC|，得x-2²+y-3²=4[x+1²+y-5²]，展开整理得3x²+3y²-26x-26y+76=0联立方程组12x+3y-12=023x²+3y²-26x-26y+76=0解得C3,2或C4,

02.已知函数fx=cos2x-π/3，求

（1）函数的最小正周期

（2）函数在[0,π/2]上的单调区间

（3）函数在[0,π/2]上的最大值和最小值解

（1）周期T=2π/|ω|=2π/2=π

（2）令π/2≤2x-π/3≤π+π/2，得5π/6≤x≤2π/3，递减区间为[5π/6,2π/3]令0≤2x-π/3≤π，得π/6≤x≤2π/3，递增区间为[π/6,2π/3]

（3）在[0,π/2]上，x=π/6时fx取最大值√3/2，x=π/2时fx取最小值-1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若AB=7，AC=5，∠BAC=120°，点D在BC上，且AD平分∠BAC

（1）求BC的长度

（2）求CD:DB的值

（3）求△ABD的面积解

（1）由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos120°=7²+5²-2×7×5×-

0.5=74，BC=√74

（2）由角平分线定理CD/DB=AC/AB=5/7

（3）设CD=5k，DB=7k，则BC=12k=√74，k=√74/12AD²=AB·AC1-CD²/BC²=7×5×1-5k/√74²/12k/√74²=35/4，AD=√35/2△ABD面积S=1/2×AB×AD×sin120°=1/2×7×√35/2×√3/2=7√105/

82.已知函数fx=2sin2x+π/6-1，求

（1）函数的最小正周期

（2）函数在[0,π]上的单调递减区间

（3）函数在[0,π]上的最大值和最小值

（4）方程fx=0在[0,2π]上的解集解

（1）周期T=2π/|ω|=2π/2=π

（2）令π+π/2≤2x+π/6≤2π+π/2，得2π/3≤x≤7π/6，递减区间为[2π/3,7π/6]

（3）x=π/6时fx取最大值1，x=7π/6时fx取最小值-3

（4）令2sin2x+π/6-1=0，得sin2x+π/6=1/2，解得2x+π/6=π/6+2kπ或2x+π/6=5π/6+2kπ，即x=0或x=π/3，在[0,2π]上还有2x+π/6=7π/6或11π/6，得x=π/2或x=5π/6，解集为{x|x=0,π/3,π/2,5π/6}---答案解析---

一、单选题

1.A中心对称图形要求旋转180°后与自身重合，只有圆满足

2.B斜率k=3--3/2--2=3/4，倾斜角为tan⁻¹3/4≈

36.9°，补角为135°

3.D等腰三角形+∠B=90°为等腰直角三角形

4.C圆心坐标为方程中x₀,y₀

5.A到原点距离最短即垂线段，垂足为0,

36.Ba₅=a₁+4d，15=5+4d，d=

37.A周期T=2π/|ω|=π

8.A关于y=x对称即互换x,y

9.C钝角三角形最大边所对角为钝角

10.A垂直线斜率为-1/1=1，过1,2

二、多选题

1.A、B、C、D平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质都正确

2.C、D、Etanx、lnx、e^x在0,π单调递增

3.B、C、D矩形、正方形、圆既是轴对称也是中心对称

4.A、Eb₄=b₁q³，16=2q³，q=±

25.C、D7²=5²+3²，为直角三角形，∠C为直角，sinAsinBsinC

三、填空题

1.√7余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cosA=3²+2²-2×3×2×

0.5=

72.3距离d=|3×2+4×-1-12|/√3²+4²=

33.55a₁₀=a₁+9d，10=1+9d，d=1，S₁₀=10×1+45×1=

554.1当2x-π/4=π/2+2kπ时取得最大值

15.2x-y=0斜率为2，方程为2x-y=

06.3√2/√5原点0,0到x+y=1距离为|1|/√2=√2/

27.1b₇=b₃q⁴，64=8q⁴，q=2，b₁=b₃/q⁴=8/16=

18.3/8余弦定理cosB=AB²+BC²-AC²/2×AB×BC=5²+8²-7²/2×5×8=3/8

四、判断题

1.√相似三角形所有对应线段的比都相等

2.√圆的基本性质

3.×平行关系不具备传递性，如l₁∥l₂，l₂∥l₃但l₁∥l₃

4.×等腰直角三角形面积应为底边×高/2，即1/2×a×a=a²/

25.√二次函数的基本性质

五、简答题

1.等腰三角形两腰相等，底角相等，顶角平分线、底边中线、底边高相互重合

2.斜截式方程y=kx+b，k为斜率，b为y轴截距，表示直线与y轴交点的纵坐标

3.标准方程x-x₀²+y-y₀²=r²，其中x₀,y₀为圆心，r为半径

4.前n项和公式Sₙ=na₁+aₙ/2，推导将数列正序与倒序相加，每对和为a₁+aₙ，共n对

六、分析题

1.解直线AB斜率k=5-3/-1-2=-2/3，方程为y-3=-2/3x-2，即2x+3y-12=0设Cx,y，由|AC|=2|BC|，得x-2²+y-3²=4[x+1²+y-5²]，展开整理得3x²+3y²-26x-26y+76=0联立方程组12x+3y-12=023x²+3y²-26x-26y+76=0解得C3,2或C4,

02.解

（1）周期T=2π/|ω|=2π/2=π

（2）令π+π/2≤2x-π/3≤2π+π/2，得2π/3≤x≤7π/6，递减区间为[2π/3,7π/6]令0≤2x-π/3≤π，得π/6≤x≤2π/3，递增区间为[π/6,2π/3]

（3）在[0,π/2]上，x=π/6时fx取最大值√3/2，x=π/2时fx取最小值-1/2

七、综合应用题

1.解

（1）由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos120°=7²+5²-2×7×5×-

0.5=74，BC=√74

（2）由角平分线定理CD/DB=AC/AB=5/7

（3）设CD=5k，DB=7k，则BC=12k=√74，k=√74/12AD²=AB·AC1-CD²/BC²=7×5×1-5k/√74²/12k/√74²=35/4，AD=√35/2△ABD面积S=1/2×AB×AD×sin120°=1/2×7×√35/2×√3/2=7√105/

82.解

（1）周期T=2π/|ω|=2π/2=π

（2）令π+π/2≤2x+π/6≤2π+π/2，得2π/3≤x≤7π/6，递减区间为[2π/3,7π/6]

（3）x=π/6时fx取最大值1，x=7π/6时fx取最小值-3

（4）令2sin2x+π/6-1=0，得sin2x+π/6=1/2，解得2x+π/6=π/6+2kπ或2x+π/6=5π/6+2kπ，即x=0或x=π/3，在[0,2π]上还有2x+π/6=7π/6或11π/6，得x=π/2或x=5π/6，解集为{x|x=0,π/3,π/2,5π/6}。