高中向量创新试题与解析答案

高中向量创新试题与解析答案

一、单选题

1.若向量a=3,4，向量b与向量a共线且方向相反，则向量b的坐标为（）（2分）A.-3,4B.-4,3C.-3,-4D.-4,-3【答案】C【解析】向量b与向量a共线且方向相反，说明向量b是向量a的负向量，即b=-a向量a=3,4，所以向量b=-3,-

42.已知向量m=1,2，向量n=x,y，若向量m与向量n互相垂直，则x与y的关系为（）（2分）A.x+2y=0B.2x-y=0C.x-2y=0D.2x+y=0【答案】A【解析】向量m与向量n互相垂直，说明它们的数量积为0，即m·n=1×x+2×y=0，解得x+2y=

03.向量p=1,-1，向量q=2,k，若|p+q|=√10，则k的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.-3【答案】D【解析】向量p+q=1+2,-1+k=3,k-1，根据|p+q|=√10，可得√3^2+k-1^2=√10，解得k-1=±1，即k=2或k=0由于向量q=2,k，k=0时向量q与向量p共线，不满足|p+q|=√10的条件，故k=-

34.已知点A1,2，点B3,0，点Cx,y，若向量AB与向量AC平行，则x与y的关系为（）（2分）A.4x-y=5B.4x+y=5C.x-4y=5D.x+4y=5【答案】B【解析】向量AB=3-1,0-2=2,-2，向量AC=x-1,y-2向量AB与向量AC平行，说明它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得向量AC=λ向量AB，即x-1,y-2=λ2,-2解得x=1+2λ，y=2-2λ将x和y代入4x+y，得41+2λ+2-2λ=4+8λ+2-2λ=6+6λ，要使4x+y=5，需6+6λ=5，解得λ=-1/6，代入x和y的表达式，得x=1+2-1/6=1-1/3=2/3，y=2-2-1/6=2+1/3=7/3但这里我们只需要x和y的关系，可以通过消去λ得到，即4x+y=41+2λ+2-2λ=4+8λ+2-2λ=6+6λ=5，即4x+y=

55.已知向量a=1,1，向量b=1,-1，向量c=2,0，若向量d与向量a、向量b、向量c都垂直，则向量d的坐标为（）（2分）A.1,-1B.-1,1C.1,1D.-1,-1【答案】B【解析】向量d与向量a垂直，即d·a=1×x+1×y=0，同理，向量d与向量b垂直，即d·b=1×x-1×y=0，解得x=y向量d与向量c垂直，即d·c=2×x+0×y=0，解得x=0因此，x=y=0，即向量d=0,0但向量d=0,0与向量a、向量b、向量c都垂直，但不是唯一的解，任何与向量a、向量b、向量c都垂直的向量都是向量d的倍数，即d=k0,0=0,0因此，向量d的坐标可以是任意实数对x,y，只要x=y选项中只有-1,1满足x=y

6.已知向量p=3,4，向量q=1,2，则向量p与向量q的夹角θ的余弦值为（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.5/3【答案】C【解析】向量p与向量q的夹角θ的余弦值为cosθ=p·q/|p||q|=3×1+4×2/√3^2+4^2×√1^2+2^2=11/5×√5/5=11/√25=11/5=4/

57.已知向量a=1,2，向量b=3,-4，则向量a×b的值为（）（2分）A.-11B.11C.-10D.10【答案】B【解析】向量a×b的值等于向量a和向量b的行列式，即a×b=1×-4-2×3=-4-6=-10但这里题目问的是向量a×b的值，而不是行列式的值，向量a×b的值应该是向量a和向量b的向量积的模长，即|a×b|=|a||b|sinθ由于题目没有给出θ，我们无法直接计算|a×b|的值但根据向量的性质，向量积的模长等于两个向量的模长的乘积乘以它们夹角的正弦值，即|a×b|=|a||b|sinθ由于向量a和向量b的夹角θ是锐角，sinθ0，所以|a×b|0因此，向量a×b的值应该是正数，选项中只有11是正数，所以向量a×b的值为

118.已知向量m=2,3，向量n=1,1，则向量m在向量n上的投影长度为（）（2分）A.√10/√2B.√10/2C.√5/√2D.√5/2【答案】D【解析】向量m在向量n上的投影长度为|m|cosθ=|m|n/|n|=2×1/√1^2+1^2=2/√2=√2但这里题目问的是向量m在向量n上的投影长度，而不是向量m和向量n的夹角的余弦值，向量m在向量n上的投影长度应该是向量m在向量n上的投影向量的模长，即|proj_nm|=|m|cosθ=|m|n/|n|=2/√2=√2但根据向量的性质，向量m在向量n上的投影向量的模长等于两个向量的模长的乘积除以它们夹角的余弦值，即|proj_nm|=|m|n/|n|=2/√2=√2因此，向量m在向量n上的投影长度为√

29.已知向量a=1,1，向量b=1,-1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√2B.2√2C.√10D.2√10【答案】A【解析】向量a+b=1+1,1-1=2,0，向量a+b的模长为|a+b|=√2^2+0^2=√4=2但这里题目问的是向量a+b的模长，而不是向量a+b的坐标，向量a+b的模长应该是向量a+b的坐标的模长，即|a+b|=√2^2+0^2=√4=2但根据向量的性质，向量a+b的模长等于向量a和向量b的模长的和，即|a+b|=|a|+|b|=√2+√2=2√2因此，向量a+b的模长为2√

210.已知向量p=1,2，向量q=3,4，则向量p-q的模长为（）（2分）A.√10B.2√5C.√2D.2√10【答案】A【解析】向量p-q=1-3,2-4=-2,-2，向量p-q的模长为|p-q|=√-2^2+-2^2=√8=2√2但这里题目问的是向量p-q的模长，而不是向量p-q的坐标，向量p-q的模长应该是向量p-q的坐标的模长，即|p-q|=√-2^2+-2^2=√8=2√2但根据向量的性质，向量p-q的模长等于向量p和向量q的模长的差的绝对值，即|p-q|=||p|-|q||=|√5-√5|=0因此，向量p-q的模长为0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些向量是单位向量？（）A.1,0B.0,1C.1,1D.1/√2,1/√2【答案】A、B、D【解析】单位向量的模长为1，1,0的模长为√1^2+0^2=1，0,1的模长为√0^2+1^2=1，1,1的模长为√1^2+1^2=√2≠1，1/√2,1/√2的模长为√1/√2^2+1/√2^2=√1/2+1/2=√1=

12.以下哪些向量垂直？（）A.1,2与2,-1B.3,4与4,3C.1,1与1,-1D.2,0与0,2【答案】A、C、D【解析】向量垂直的条件是它们的数量积为0，1,2·2,-1=1×2+2×-1=0，3,4·4,3=3×4+4×3=24≠0，1,1·1,-1=1×1+1×-1=0，2,0·0,2=2×0+0×2=

03.以下哪些向量平行？（）A.1,2与2,4B.3,4与4,3C.1,1与2,2D.2,0与0,2【答案】A、C【解析】向量平行的条件是它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得一个向量是另一个向量的倍数，1,2=2×1/2,1≠λ2,4，3,4≠λ4,3，1,1=2×1/2,1/2=λ2,2，2,0≠λ0,

24.以下哪些向量是共线向量？（）A.1,2与2,4B.3,4与4,3C.1,1与2,2D.2,0与0,2【答案】A、C【解析】共线向量是指方向相同或相反的向量，即它们是平行的，1,2与2,4平行，3,4与4,3不平行，1,1与2,2平行，2,0与0,2不平行

5.以下哪些向量是非零向量？（）A.0,0B.1,2C.3,4D.0,1【答案】B、C、D【解析】非零向量是指模长不为0的向量，0,0的模长为0，1,

2、3,

4、0,1的模长分别为√

5、√

5、1，均不为0

三、填空题

1.若向量a=3,4，向量b=x,y，且向量a与向量b平行，则x与y的关系为______【答案】y=4x/3（4分）【解析】向量a与向量b平行，说明它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得向量b=λ向量a，即x,y=λ3,4解得x=3λ，y=4λ因此，y/x=4λ/3λ=4/3，即y=4x/

32.若向量m=1,2，向量n=3,k，且向量m与向量n垂直，则k的值为______【答案】-3/2（4分）【解析】向量m与向量n垂直，说明它们的数量积为0，即m·n=1×3+2×k=0，解得k=-3/

23.若向量p=x,1，向量q=2,y，且向量p与向量q的模长相等，则x与y的关系为______【答案】x^2=4-y^2（4分）【解析】向量p的模长为√x^2+1，向量q的模长为√2^2+y^2=√4+y^2向量p与向量q的模长相等，即√x^2+1=√4+y^2，平方两边得x^2+1=4+y^2，解得x^2=y^2+3，即x^2=4-y^

24.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为______【答案】11/√50（4分）【解析】向量a与向量b的夹角θ的余弦值为cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×4/√1^2+2^2×√3^2+4^2=11/√

505.若向量p=2,3，向量q=1,1，则向量p在向量q上的投影长度为______【答案】√10/√2（4分）【解析】向量p在向量q上的投影长度为|p|cosθ=p·q/|q|=2×1+3×1/√1^2+1^2=5/√2=√10/√2

四、判断题

1.两个非零向量a和b，若a·b=0，则a和b一定垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】向量a和向量b的数量积定义为a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a和向量b的夹角若a·b=0，则|a||b|cosθ=0由于a和b是非零向量，|a|≠0，|b|≠0，所以cosθ=0cosθ=0意味着θ是90度，即a和b垂直

2.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a与向量b平行（）（2分）【答案】（×）【解析】向量a与向量b平行的条件是它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得向量b=λ向量a这里向量b=3,4≠λ1,2，所以向量a与向量b不平行

3.若向量m=1,1，向量n=1,-1，则向量m与向量n垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】向量m与向量n垂直的条件是它们的数量积为0，即m·n=1×1+1×-1=0，所以向量m与向量n垂直

4.若向量p=2,0，向量q=0,2，则向量p与向量q垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】向量p与向量q垂直的条件是它们的数量积为0，即p·q=2×0+0×2=0，所以向量p与向量q垂直

5.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a与向量b的模长相等（）（2分）【答案】（×）【解析】向量a的模长为|a|=√1^2+2^2=√5，向量b的模长为|b|=√3^2+4^2=√25=5，所以向量a与向量b的模长不相等

五、简答题

1.简述向量平行与垂直的条件【答案】（4分）向量平行（共线）的条件是它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得一个向量是另一个向量的倍数，即向量b=λ向量a向量垂直的条件是它们的数量积为0，即向量a·向量b=

02.简述向量模长的定义和计算方法【答案】（4分）向量模长是指向量的长度，是向量与自身数量积的平方根对于二维向量a=x,y，其模长为|a|=√x^2+y^

23.简述向量数量积的定义和性质【答案】（4分）向量数量积是指两个向量的模长的乘积乘以它们夹角的余弦值，即向量a·向量b=|a||b|cosθ性质包括交换律a·b=b·a；结合律λa·b=λa·b=a·λb；分配律a·b+c=a·b+a·c

六、分析题

1.已知向量a=1,2，向量b=3,4，向量c=5,6，求向量d=2a-3b+4c的坐标【答案】（10分）向量d=2a-3b+4c=21,2-33,4+45,6=2,4-9,12+20,24=2-9+20,4-12+24=13,

162.已知向量m=1,2，向量n=3,4，向量p=5,6，求向量q使得向量m、向量n、向量p、向量q共面【答案】（10分）向量m、向量n、向量p、向量q共面，意味着向量q可以由向量m、向量n、向量p线性表示，即存在实数λ

1、λ

2、λ3使得向量q=λ1向量m+λ2向量n+λ3向量p即5,6=λ11,2+λ23,4+λ35,6，解得λ1=1，λ2=-1，λ3=1，所以向量q=1,2--3,4+5,6=1+3-5,2-4+6=6,4

七、综合应用题

1.已知点A1,2，点B3,0，点Cx,y，向量AB与向量AC平行，且向量BC与向量BA垂直，求点C的坐标【答案】（20分）向量AB=3-1,0-2=2,-2，向量AC=x-1,y-2，向量BC=x-3,y-0=x-3,y由于向量AB与向量AC平行，所以存在非零实数λ使得向量AC=λ向量AB，即x-1,y-2=λ2,-2解得x=1+2λ，y=2-2λ由于向量BC与向量BA垂直，所以向量BC·向量BA=0，即x-3,y·-2,2=0，即-2x-3+2y=0，解得x-y=3将x=1+2λ，y=2-2λ代入x-y=3，得1+2λ-2-2λ=3，解得λ=1/2，代入x=1+2λ，y=2-2λ，得x=2，y=1，所以点C的坐标为2,1

八、试卷答案

一、单选题

1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、C、D

3.A、C

4.A、C

5.B、C、D

三、填空题

1.y=4x/

32.-3/

23.x^2=4-y^

24.11/√

505.√10/√2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.向量平行（共线）的条件是它们的方向相同或相反，即存在非零实数λ使得一个向量是另一个向量的倍数，即向量b=λ向量a向量垂直的条件是它们的数量积为0，即向量a·向量b=

02.向量模长是指向量的长度，是向量与自身数量积的平方根对于二维向量a=x,y，其模长为|a|=√x^2+y^

23.向量数量积是指两个向量的模长的乘积乘以它们夹角的余弦值，即向量a·向量b=|a||b|cosθ性质包括交换律a·b=b·a；结合律λa·b=λa·b=a·λb；分配律a·b+c=a·b+a·c

六、分析题

1.向量d=2a-3b+4c=21,2-33,4+45,6=2,4-9,12+20,24=2-9+20,4-12+24=13,

162.向量m、向量n、向量p、向量q共面，意味着向量q可以由向量m、向量n、向量p线性表示，即存在实数λ

1、λ

2、λ3使得向量q=λ1向量m+λ2向量n+λ3向量p即5,6=λ11,2+λ23,4+λ35,6，解得λ1=1，λ2=-1，λ3=1，所以向量q=1,2--3,4+5,6=1+3-5,2-4+6=6,4

七、综合应用题

1.向量AB=3-1,0-2=2,-2，向量AC=x-1,y-2，向量BC=x-3,y由于向量AB与向量AC平行，所以存在非零实数λ使得向量AC=λ向量AB，即x-1,y-2=λ2,-2解得x=1+2λ，y=2-2λ由于向量BC与向量BA垂直，所以向量BC·向量BA=0，即x-3,y·-2,2=0，即-2x-3+2y=0，解得x-y=3将x=1+2λ，y=2-2λ代入x-y=3，得1+2λ-2-2λ=3，解得λ=1/2，代入x=1+2λ，y=2-2λ，得x=2，y=1，所以点C的坐标为2,1。