高中学科交叉试题及参考答案

高中热门学科交叉试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则（）（2分）A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0【答案】C【解析】函数在x=1处取得极小值，则f1=2a+b=0，且a0故a0,b

02.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√10B.√26C.√30D.√50【答案】B【解析】|a+b|=|（1+3，2-4）|=|（4，-2）|=√4^2+-2^2=√20=√

263.在复平面内，若z=1+i，则z^2的辐角主值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.5π/4【答案】C【解析】z^2=1+i^2=2i，辐角主值为π/2+π=3π/

44.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-1，则该数列是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.调和数列D.斐波那契数列【答案】B【解析】a_n=S_n/S_n-1=1+1/S_n，故S_n/S_n-1=1+1/S_n，即S_n^2=S_n-1S_n+1，是等比数列

5.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则该三角形是（）（2分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5，设a=3k,b=4k,c=5k，则cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=0，故为钝角三角形

6.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相切，则k的值为（）（2分）A.±2√5B.±√5/2C.±2D.±√5【答案】D【解析】圆心0,0到直线kx-y+1=0的距离d=√5，即|1|/√k^2+1=√5，解得k=±√

57.若函数fx=e^x+bx在x=0处取得极值，则b的值为（）（2分）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】fx=e^x+b，f0=1+b=0，故b=-

18.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21，解得d=

29.若函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2,f2=-2,f3=2，最大值为

210.若向量a=1,1，b=1,-1，则向量a×b的模长为（）（2分）A.√2B.2C.√4D.4【答案】B【解析】|a×b|=|（1，1）×（1，-1）|=|-2|=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题正确的是？（）（4分）A.函数y=cosx在[0,π]上是增函数B.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-qC.若A⊆B，则∩_{i=1}^nA_i⊆∩_{i=1}^nB_iD.若fx是奇函数，则f-x=-fx【答案】B、C、D【解析】A选项错误，cosx在[0,π/2]增，在[π/2,π]减；B选项正确；C选项正确；D选项正确

2.以下函数在定义域上连续的是？（）（4分）A.y=√xB.y=1/xC.y=lnxD.y=tanx【答案】A、C【解析】y=1/x在x=0处不连续；y=tanx在x=π/2+kπ处不连续

3.以下不等式成立的是？（）（4分）A.1+1/2+1/4+...+1/2^n2B.√2+√3√5C.若ab0，则a^2b^2D.若0a1，则0a^2a【答案】A、B、C、D【解析】A选项为等比数列求和；B选项两边平方验证；C选项对不等式两边平方；D选项对不等式两边平方

4.以下函数在定义域上单调递增的是？（）（4分）A.y=x^3B.y=e^xC.y=lnxD.y=1/x【答案】A、B、C【解析】y=1/x在定义域上单调递减

5.以下命题正确的是？（）（4分）A.三角形两边之和大于第三边B.若向量a+b=0，则a与b共线C.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0D.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界【答案】A、B、C【解析】D选项反例fx=1/x在0,1上连续但无界

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=x^2-2x+3，则f1+i的值为______（4分）【答案】5-2i【解析】f1+i=1+i^2-21+i+3=1+2i+i^2-2-2i+3=5-2i

2.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|的值为______（4分）【答案】2【解析】z=-1±√3i，|z|=√-1^2+√3^2=

23.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5的值为______（4分）【答案】8【解析】a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-1-1=2^n-2^n-1=2^n-1，a_5=2^4=

84.若函数fx=sinx+cosx，则fπ/4的值为______（4分）【答案】√2【解析】fπ/4=sinπ/4+cosπ/4=√2/2+√2/2=√2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上可导，则fx在I上必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a×b的模长等于向量a和b的模长的乘积（）（2分）【答案】（×）【解析】|a×b|=|a||b|sinθ，不一定等于|a||b|

3.若函数fx在x=c处取得极值，则x=c必为fx的驻点（）（2分）【答案】（×）【解析】极值点也可能是导数不存在的点，如fx=|x|在x=0处

4.若数列{a_n}单调递增，且a_n有界，则{a_n}必收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】根据单调有界定理

5.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上必无最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数必有最小值，如fx=x在-∞,+∞上单调递增，最小值为-∞

五、简答题（每题4分，共12分）

1.证明若a0，则x0时，e^x1+x（4分）【解析】令fx=e^x-x-1，则fx=e^x-1当x0时，e^x1，fx0，故fx在0,+∞上单调递增又f0=e^0-0-1=0，故x0时，fxf0=0，即e^x-x-10，即e^x1+x

2.证明若数列{a_n}满足a_10，a_n+1=√a_n+a_n-1，则{a_n}有界（4分）【解析】假设{a_n}无界，则存在子列a_{n_k}→+∞，k→+∞由递推关系a_n+1^2=a_n+a_n-1，两边取极限得a_{n_k}^2→+∞，即a_{n_k}→+∞，与a_{n_k}→+∞矛盾，故{a_n}有界

3.证明若函数fx在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|fx1-fx2|≤k|x1-x2|（k为常数），则fx在[a,b]上为线性函数（4分）【解析】任取x1,x2∈[a,b]，x1x2，由条件|fx1-fx2|≤k|x1-x2|，即fx1-fx2≤kx2-x1，即fx1≤fx2+kx2-x1同样x2x1时也有fx2≤fx1+kx1-x2故fx在[a,b]上为Lipschitz连续，即存在斜率k的直线y=kx+b过fx，故fx为线性函数

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的单调区间和极值点（12分）【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1令fx=0得x=1±√1/3当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，函数单调递增；当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，函数单调递减故单调增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞，单调减区间为1-√1/3,1+√1/3极值点为x=1±√1/3，极值分别为f1±√1/3=-1/3±2√1/

32.已知向量a=1,2,3，b=1,-1,1，求向量a与b的夹角θ的余弦值，并判断a与b是否共线（12分）【解析】|a|=√1^2+2^2+3^2=√14，|b|=√1^2+-1^2+1^2=√3，a·b=1×1+2×-1+3×1=2cosθ=a·b/|a||b|=2/√14×√3=√42/21因为a与b的模长不相等，故不共线

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，数列{b_n}满足b_n=a_n-a_n-1，求证{b_n}是等比数列，并求b_1+b_2+...+b_n的值（25分）【解析】b_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-1-1=2^n-2^n-1=2^n-1故{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列b_1+b_2+...+b_n=1+2+4+...+2^n-1=2^n-

12.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，直线y=kx与曲线y=fx相切于点Px0,y0，求k的值和切点P的坐标（25分）【解析】fx=3x^2-6x+2设切点为x0,y0，则k=fx0=3x0^2-6x0+2因为切点在直线上，故y0=kx0又切点在曲线上，故y0=x0^3-3x0^2+2x0+1联立方程组k=3x0^2-6x0+2，kx0=x0^3-3x0^2+2x0+1消去k得x0^3-3x0^2+2x0+1=3x0^2-6x0+2x0，即x0^3-3x0^2+2x0+1=3x0^3-6x0^2+2x0，整理得2x0^3-3x0^2+1=0，即x0-12x0^2-x0-1=0，解得x0=1或x0=1/2当x0=1时，k=3-6+2=-1，y0=1^3-3×1^2+2×1+1=1，故切点为1,1，k=-1当x0=1/2时，k=3×1/2^2-6×1/2+2=3/4-3+2=1/4，y0=1/2^3-3×1/2^2+2×1/2+1=1/8-3/4+1+1=3/8，故切点为1/2,3/8，k=1/4故k=-1或k=1/4

八、完整标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.B

5.C

6.D

7.A

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.B、C、D

2.A、C

3.A、B、C、D

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.5-2i

2.

23.

84.√2

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。