高中数学竞赛真题分类及答案全解

高中数学竞赛真题分类及答案全解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{1,2}C.{1,3}D.{0,1,3}【答案】D【解析】集合A={1,2}，若B⊆A，则B可为∅，{1}，{2}，{1,2}，分别对应m=0，m=1，m=2，m=

32.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-3B.1C.3D.0【答案】C【解析】分段函数fx=\begin{cases}-2x-1,x\leq-2\\3,-2x1\\2x+1,x\geq1\end{cases}，最小值为

33.若复数z满足|z|=1，则z^2024+1等于（）（2分）A.1B.-1C.0D.±1【答案】A【解析】设z=cosθ+isinθ，则z^2024=cos2024θ+isin2024θ，z^2024+1=cos2024θ+1=2cos^21012θ≥

04.等差数列{a_n}中，a_1+a_5+a_9=39，则a_6+a_10+a_14等于（）（2分）A.78B.57C.66D.75【答案】A【解析】由等差数列性质a_1+a_5+a_9=3a_5=39，得a_5=13，则a_6+a_10+a_14=3a_10=3a_5+5d=

785.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，则角C等于（）（2分）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】由a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，得2a^2+b^2+c^2=2ab+bc+ca，即a-b^2+b-c^2+c-a^2=0，则a=b=c，三角形为等边三角形，角C=60°

6.函数fx=log_ax+3-log_ax-1（a1）的定义域为（）（2分）A.-∞,-3∪1,+∞B.-3,1C.[-3,1]D.-3,1【答案】D【解析】由x+30且x-10，得x-3且x1，即x1，定义域为1,+∞

7.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=1foriinrange1,6:s=siA.120B.25C.720D.5【答案】A【解析】s=1×1×2×3×4×5=

1208.过点P1,2的直线与圆C:x-1^2+y+1^2=5相切，则切线方程为（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-2y+3=0【答案】D【解析】圆心1,-1，半径√5，设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y+k+2=0，则|k+3|/√k^2+1=√5，解得k=-2/3，切线方程为x-2y+3=

09.执行以下算法得到的输出结果是（）（2分）a=5b=10whilea=b:printaa,a=a+1,b-1A.56789B.5678910C.579D.567【答案】A【解析】循环过程a=5≤10，输出5，a=6，b=9；a=6≤9，输出6，a=7，b=8；a=7≤8，输出7，a=8，b=7；a=8≤7，不循环；a=97，不循环

10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，∠ABC=60°，则点P到平面BCD的距离为（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.1D.√3/3【答案】A【解析】取CD中点E，连接BE，则BE⊥CD，BE=√3/2，连接PE，PE⊥平面BCD，PE=BE·sin∠PBE=√3/2·1/√3=√2/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx为奇函数，则f0=0C.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，a_n+1a_nD.若|z|=1，则z的实部|实部z|≤1【答案】C、D【解析】反例a=1，b=-2，则a^2=1，b^2=4，A错误；fx=x^3为奇函数，f0=0，但若fx非奇非偶，f0可不为0，B错误；由单调递增定义，C正确；设z=a+bi，|z|=1，则a^2+b^2=1，两边开方得|a|≤1，即|实部z|≤1，D正确

2.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的零点个数为（）（4分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，f-2=-10，f1-√3/3=2√3/3-10，f1+√3/3=1-2√3/30，f3=2，由零点定理，fx在-2,1-√3/3和1+√3/3,3各有一个零点，共2个零点

3.执行以下算法得到的输出结果是（）（4分）arr=[1,2,3,4,5]foriinrangelenarr//2:arr[i],arr[-i-1]=arr[-i-1],arr[i]printarrA.[5,4,3,2,1]B.[1,2,3,4,5]C.[3,2,1,4,5]D.[2,3,4,5,1]【答案】A【解析】交换首尾元素[5,4,3,2,1]，再交换前两个元素[4,5,3,2,1]，再交换中间元素[4,3,5,2,1]，再交换后两个元素[4,3,2,5,1]，最后交换首尾元素[5,4,3,2,1]

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角B等于（）（4分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc·cosB=b^2+c^2-bc，得-2bc·cosB=-bc，即cosB=-1/2，角B=120°

5.以下不等式正确的是（）（4分）A.|x-1|+|x+2|≥3B.a+b^2≥4abC.若ab，则a^2b^2D.若0a1，则a^2a【答案】A、B【解析】绝对值三角不等式|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，A正确；a+b^2=a^2+2ab+b^2≥2ab+2ab=4ab，B正确；a=-1b=-2，但a^2=1b^2=4，C错误；0a1，则0a^2a，D错误

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=√x^2+2x+3在区间[-3,1]上的最小值是______（4分）【答案】2【解析】fx=√[x+1^2+2]，最小值在x=-1处取得，为√

22.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z+1|的值为______（4分）【答案】√3/2【解析】设z=a+bi，则a+bi^2+a+bi+1=0，得a^2-2ab+b^2+a+bi+1=0，由实虚部为0，得a^2+b^2+1=0（无解）和-2ab+a+b=0，矛盾，故z为单位根，设z=cosθ+isinθ，|z+1|=|cosθ+1+isinθ|=√2+2cosθ=√3/

23.等比数列{a_n}中，若a_4=4，a_7=16，则a_10等于______（4分）【答案】64【解析】设公比为q，则a_7=a_4·q^3，16=4q^3，得q=2，a_10=a_7·q^3=16×8=

644.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）s=0foriinrange1,6:forjinrange1,i+1:s=s+j【答案】55【解析】s=1+1+2+1+3+1+4+1+3+2+5+1+4+3+6+1+3+2+4+5=

555.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2+c^2=2ab+bc+ca，则cosA+B的值为______（4分）【答案】1/2【解析】由a^2+b^2+c^2=2ab+bc+ca，得a-b^2+b-c^2+c-a^2=0，则a=b=c，三角形为等边三角形，cosA+B=-cosC=-cos60°=-1/

26.过点P1,2的直线与圆C:x-1^2+y+1^2=5相切，则切线斜率为______（4分）【答案】-2/3【解析】设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y+k+2=0，圆心1,-1，半径√5，则|k+3|/√k^2+1=√5，解得k=-2/

37.执行以下算法得到的输出结果是______（4分）arr=[1,2,3,4,5]foriinrangelenarr-1,-1,-1:printarr[i]【答案】54321【解析】逆序输出数组元素

8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，∠ABC=60°，则△PBC的面积为______（4分）【答案】√3/2【解析】取CD中点E，连接BE，则BE⊥CD，BE=√3/2，连接PE，PE⊥平面BCD，PE=BE·sin∠PBE=√3/2·1/√3=√2/2，△PBC面积为1/2×BC×PE=1/2×1×√2/2=√3/2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间a,b上单调递增，则对任意x1,x2∈a,b，若x1x2，则fx1fx2（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即为x1x2⇒fx1fx

22.复数z=a+bi（a,b∈R）为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】纯虚数的定义即为实部为0且虚部不为

03.等差数列{a_n}中，若a_5=10，则a_10=2a_5（）（2分）【答案】（√）【解析】设首项为a，公差为d，则a_5=a+4d=10，a_10=a+9d=2a+4d=2a_

54.若|z|=1，则z的平方也为单位根（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=cosθ+isinθ，z^2=cos2θ+isin2θ，仍为单位根

5.执行以下程序段后，变量s的值为0（）（2分）s=1foriinrange0,5:s=si【答案】（×）【解析】s=1×0×1×2×3×4=

06.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则切点到直线的距离等于r（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心0,0到直线kx-y+b=0的距离为|b|/√k^2+1=r，切线方程满足勾股定理，切点到直线的距离为r

7.函数fx=x^3在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2≥0，fx在R上单调递增

8.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，则a^2=1，b^2=4，a^2b^2不成立

9.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则三角形为直角三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bc·cosB，cosB=1/2，角B=60°，非直角三角形

10.执行以下算法得到的输出结果是54321（）（2分）arr=[1,2,3,4,5]foriinrange5:printarr[-i-1]【答案】（√）【解析】正序输出数组元素

五、简答题（每题5分，共20分）

1.证明若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1,x2∈I，若x1x2，则fx1fx2（5分）【解析】设x1,x2∈I，x1x2，由fx在I上单调递增，对任意x1x2，有fx1≤fx2，假设存在x1x2，使得fx1=fx2，则fx1fx2，矛盾，故fx1fx

22.设复数z=a+bi（a,b∈R），若|z|=1，求证z^2+z=0的充要条件是z为纯虚数（5分）【解析】必要性设z=cosθ+isinθ，z^2+z=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ=cos2θ+θ+isin2θ+θ=0，则2θ+θ=π+2kπ，θ=π/3+kπ，z=cosθ+isinθ=±√3/2±i/2，为纯虚数充分性设z为纯虚数，z=bi，|z|=1，b^2=1，b=±1，z=±i，z^2+z=-b^2+bi=0，得证

3.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求a_10-a_1的值（5分）【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d=10，10=2+4d，得d=2，a_10=a_1+9d=2+18=20，a_10-a_1=20-2=

184.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-2,3]上的零点个数（5分）【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，f-2=-10，f1-√3/3=2√3/3-10，f1+√3/3=1-2√3/30，f3=2，由零点定理，fx在-2,1-√3/3和1+√3/3,3各有一个零点，共2个零点

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值（10分）【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，f-2=-10，f1-√3/3=2√3/3-10，f1+√3/3=1-2√3/30，f3=2，比较端点和驻点函数值，最大值为f1-√3/3=2√3/3-1，最小值为f-2=-

102.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，∠ABC=60°，求点P到平面BCD的距离（10分）【解析】取CD中点E，连接BE，则BE⊥CD，BE=√3/2，连接PE，PE⊥平面BCD，PE=BE·sin∠PBE=√3/2·1/√3=√2/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，若方程fx=k有两个不同的实数根，求实数k的取值范围（25分）【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√3/3，f-2=-10，f1-√3/3=2√3/3-10，f1+√3/3=1-2√3/30，f3=2，由零点定理，fx在-2,1-√3/3和1+√3/3,3各有一个零点，共2个零点，故方程fx=k有两个不同实数根的充要条件是k∈-10,2√3/3-1∪1-2√3/3,

22.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求a_10-a_1的值，并证明等差数列任意三项a_m，a_n，a_p（mnp）满足a_n^2=a_m·a_p（25分）【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d=10，10=2+4d，得d=2，a_10=a_1+9d=2+18=20，a_10-a_1=20-2=18证明设a_n=a_1+n-1d，a_m=a_1+m-1d，a_p=a_1+p-1d，则a_n^2=[a_1+n-1d]^2=a_1^2+2a_1dn-1+n-1^2d^2，a_m·a_p=[a_1+m-1d][a_1+p-1d]=a_1^2+a_1dm+p-2+d^2m-1p-1，由等差数列性质，a_n^2=a_m·a_p。