高中数学联赛试题分类及参考答案揭秘

高中数学联赛试题分类及参考答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.3B.1C.0D.2【答案】A【解析】fx表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为

32.若复数z满足|z|=1，则z^2的辐角主值是（）（2分）A.π/4B.π/2C.πD.2π【答案】C【解析】|z|=1表示z在单位圆上，z^2仍在单位圆上，辐角主值为π

3.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为偶数”，事件B为“点数大于3”，则PA|B等于（）（2分）A.1/2B.1/3C.2/3D.1【答案】C【解析】PA|B=PA∩B/PB=1/3/1/3=2/

34.不等式|x-1|x的解集为（）（2分）A.-∞,1B.1,+∞C.-∞,0D.-1,+∞【答案】C【解析】解得x

05.已知向量a=1,k，b=k,1，若a⊥b，则k的值为（）（2分）A.-1B.1C.±1D.0【答案】C【解析】a·b=1+k^2=0，k=±

16.椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1ab0的离心率为e，若e^2+2e-3=0，则a:b等于（）（2分）A.1:1B.2:1C.1:2D.√2:1【答案】B【解析】e=1/2，a:b=2:

17.函数y=sin2x+π/3的图像关于哪个点中心对称？（）（2分）A.π/6,0B.π/3,0C.π/12,0D.π/4,0【答案】A【解析】中心对称点为π/6,

08.数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5等于（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】通项公式a_n=2^n-1，a_5=

1279.已知锐角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=5/13，则cosC等于（）（2分）A.33/65B.63/65C.17/65D.39/65【答案】B【解析】cosC=-cosA+B=-3/55/13+4/512/13=63/

6510.极坐标方程ρ=2cosθ表示的图形是（）（2分）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】直角坐标方程为x-1^2+y^2=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx为奇函数，则f0=0C.若数列{a_n}单调递增，则a_na_n-1D.若|z|=1，则z^2=1【答案】C【解析】A不成立，B不一定成立，D不成立

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx的图像与x轴有三个交点C.fx在-∞,0上单调递减D.fx的图像关于1,0中心对称【答案】A、C、D【解析】fx=3x^2-6x，极大值在x=1处取得，图像与x轴有两个交点，关于1,0中心对称

3.在△ABC中，下列条件能确定三角形的有（）（4分）A.边a=3，边b=4，角C=60°B.边a=5，边b=7，边c=10C.角A=45°，角B=75°D.边a=2，边b=2，边c=2【答案】A、B、C【解析】D为等边三角形，能确定

4.关于函数y=Asinωx+φ的图像，下列说法正确的有（）（4分）A.A决定了图像的振幅B.ω决定了图像的周期C.φ决定了图像的相位D.A决定了图像的周期【答案】A、B、C【解析】A为振幅，ω=2π/T为周期，φ为相位

5.已知函数fx在x=1处取得极值，且fx=3x^2-2x+k，则（）（4分）A.k=1B.k=-1C.fx在x=1处取得极大值D.fx在x=1处取得极小值【答案】B、D【解析】f1=1+k=0，k=-1，f1=6-2=40，为极小值

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在△ABC中，若sinA/sinB=3/2，cosA=-1/3，则cosB=______（4分）【答案】2√5/9【解析】sinB=2/3，cosB=±√1-sin^2B=±2√5/9，B为锐角，取正值

2.函数fx=log_ax+3-1的单调递减区间为______（4分）【答案】-3,+∞【解析】对a1或0a1均成立

3.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的实部为______（4分）【答案】0【解析】实部为0，z为纯虚数

4.在等差数列{a_n}中，若S_5=10，S_10=40，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=______（4分）【答案】50【解析】a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=S_10-S_5=30

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上必有fafb（ab）（）（2分）【答案】（×）【解析】应改为fa≥fb

2.若|z_1|=|z_2|，则z_1=z_2（）（2分）【答案】（×）【解析】如z_1=1，z_2=-

13.在△ABC中，若角A=60°，则sinA=sinπ-B（）（2分）【答案】（√）【解析】sinπ-B=sinB=sinπ-A

4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则{a_n}为等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n=S_n-S_n-1=2n

5.若函数fx为奇函数，则fx^2也为奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx在[-2,3]上的最大值和最小值（5分）【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f-2=-1，f1-√3/3=5-2√3，f1+√3/3=5+2√3，f3=10，最大值为10，最小值为-

12.已知向量a=1,2，b=3,k，若a∥b，求k的值（5分）【解析】a∥b⇔a×b=0⇔1×k-2×3=0⇔k=

63.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2n，求a_n的通项公式（5分）【解析】a_n+1-a_n=2n⇔a_n-a_n-1=2n-1…a_2-a_1=2，累加得a_n=1+21+2+…+n-1=n^2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin^2x+acosx+b，若fx在x=π/4处取得最大值√2，且fπ/2=2，求a、b的值（10分）【解析】fπ/4=1/2+a/√2+b=√2⇔a+b=√2，fπ/2=1+b=2⇔b=1，a=√2-

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-n，求a_n的通项公式，并判断{a_n}是否为等比数列（10分）【解析】a_n=S_n-S_n-1=2^n-n-[2^n-1-n-1]=2^n-n-2^n-1+n-1=2^n-1-1，{a_n}为等比数列，公比为2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，已知边a=√3，边b=1，角C=120°，求

（1）边c的长度；

（2）角A和角B的大小（25分）【解析】

（1）余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+1-2√3×-1/2=4⇔c=2；

（2）正弦定理sinA/a=sinC/c⇔sinA=√3/2⇔A=60°，B=180°-60°-120°=0°

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的极值点，并画出函数的大致图像（25分）【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，x=1-√3/3处为极大值点，x=1+√3/3处为极小值点，图像过点-2,-1，0,1，1,1，3,10---

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.C

5.C

6.B

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.C

2.A、C、D

3.A、B、C

4.A、B、C

5.B、D

三、填空题

1.2√5/

92.-3,+∞

3.

04.50

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.最大值10，最小值-

12.k=

63.a_n=n^2

六、分析题

1.a=√2-1，b=

12.a_n=2^n-1-1，是等比数列

七、综合应用题

1.c=2，A=60°，B=0°

2.极大值点x=1-√3/3，极小值点x=1+√3/3---（注意由于篇幅限制，未完整展示所有解析步骤，实际应用中需补充详细推导过程）。