高中椭圆基础试题及规范答案

高中椭圆基础试题及规范答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，则下列说法正确的是（）A.\ab\B.\ab\C.\a=b\D.\a\与\b\大小关系不确定【答案】A【解析】椭圆的标准方程中，\a\和\b\分别表示椭圆的长轴和短轴，且\ab\

2.椭圆的焦点到中心的距离为\c\，则\c\与\a\、\b\的关系为（）A.\c=a+b\B.\c=\sqrt{a^2+b^2}\C.\c=\sqrt{a^2-b^2}\D.\c=\frac{a+b}{2}\【答案】C【解析】椭圆的焦点到中心的距离\c\与长轴半长\a\和短轴半长\b\的关系为\c=\sqrt{a^2-b^2}\

3.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为（）A.\4,0\和\-4,0\B.\0,3\和\0,-3\C.\\sqrt{7},0\和\-√7,0\D.\0,\sqrt{7}\和\0,-√7\【答案】C【解析】椭圆的焦点坐标为\±c,0\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\

4.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的离心率为（）A.\\frac{1}{3}\B.\\frac{2}{3}\C.\\frac{\sqrt{5}}{3}\D.\\frac{\sqrt{5}}{9}\【答案】C【解析】椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{9-4}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}\

5.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\上一点\x_0,y_0\到左焦点的距离为（）A.\a+c\B.\a-c\C.\b+c\D.\b-c\【答案】A【解析】椭圆上一点到左焦点的距离为\a+c\

6.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的准线方程为（）A.\x=±\frac{16}{5}\B.\x=±\frac{9}{5}\C.\y=±\frac{16}{5}\D.\y=±\frac{9}{5}\【答案】A【解析】椭圆的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\，其中\c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\，所以准线方程为\x=±\frac{16}{\sqrt{7}}\approx±\frac{16}{

2.6458}\approx±

6.03\

7.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为（）A.\y=±\frac{b}{a}x\B.\y=±\frac{a}{b}x\C.\y=±\frac{c}{a}x\D.\y=±\frac{a}{c}x\【答案】A【解析】椭圆的渐近线方程为\y=±\frac{b}{a}x\

8.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点到准线的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】椭圆的焦点到准线的距离为\\frac{2a^2}{c}\，其中\c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\，所以焦点到准线的距离为\\frac{2×9}{\sqrt{5}}=\frac{18}{\sqrt{5}}\approx

8.04\

9.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\上一点到两焦点的距离之和为（）A.\2a\B.\2b\C.\a+b\D.\a-b\【答案】A【解析】椭圆上一点到两焦点的距离之和为\2a\

10.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长为（）A.3B.4C.6D.8【答案】A【解析】椭圆的短轴长为\2b=2×3=6\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于椭圆的说法正确的有（）A.椭圆是轴对称图形B.椭圆有两条对称轴C.椭圆有四个顶点D.椭圆的离心率\e1\【答案】A、B、C、D【解析】椭圆是轴对称图形，有两条对称轴，四个顶点，离心率\e1\

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点在\x\轴上，则下列说法正确的有（）A.\ab\B.\ab\C.\c=\sqrt{a^2-b^2}\D.焦点坐标为\±c,0\【答案】A、C、D【解析】椭圆的焦点在\x\轴上，说明长轴在\x\轴，所以\ab\，焦点坐标为\±c,0\，且\c=\sqrt{a^2-b^2}\

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的离心率为（）A.\\frac{1}{3}\B.\\frac{2}{3}\C.\\frac{\sqrt{5}}{3}\D.\\frac{\sqrt{5}}{9}\【答案】C【解析】椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{9-4}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}\

4.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程为（）A.\x=±\frac{a^2}{c}\B.\y=±\frac{a^2}{c}\C.\x=±\frac{b^2}{c}\D.\y=±\frac{b^2}{c}\【答案】A【解析】椭圆的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点到中心的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】椭圆的焦点到中心的距离\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\

三、填空题（每题4分，共20分）

1.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点坐标为______，离心率为______【答案】\±\sqrt{5},0\，\\frac{\sqrt{5}}{3}\

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程为______【答案】\x=±\frac{a^2}{c}\

3.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长为______【答案】

64.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\上一点到两焦点的距离之和为______【答案】2a

5.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点到准线的距离为______【答案】\\frac{18}{\sqrt{5}}\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.椭圆的焦点到中心的距离为\c\，则\c\与\a\、\b\的关系为\c=\sqrt{a^2-b^2}\（）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点到中心的距离\c\与长轴半长\a\和短轴半长\b\的关系为\c=\sqrt{a^2-b^2}\

2.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为\4,0\和\-4,0\（）【答案】（×）【解析】椭圆的焦点坐标为\±c,0\，其中\c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\，所以焦点坐标为\±\sqrt{7},0\

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的离心率为\\frac{1}{3}\（）【答案】（×）【解析】椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{9-4}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}\

4.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\（）【答案】（√）【解析】椭圆的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长为8（）【答案】（×）【解析】椭圆的短轴长为\2b=2×3=6\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，简述\a\、\b\、\c\之间的关系【答案】\ab\，\c=\sqrt{a^2-b^2}\，\a\、\b\、\c\之间的关系为\c^2=a^2-b^2\

2.椭圆的离心率\e\是什么？它有什么意义？【答案】椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}\，表示椭圆的扁平程度，\e\越大，椭圆越扁平；\e\越小，椭圆越接近圆形

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点坐标和准线方程是什么？【答案】焦点坐标为\±\sqrt{5},0\，准线方程为\x=±\frac{9}{\sqrt{5}}\

4.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长和离心率分别是多少？【答案】短轴长为6，离心率为\\frac{\sqrt{7}}{4}\

5.椭圆的渐近线方程是什么？它有什么意义？【答案】椭圆的渐近线方程为\y=±\frac{b}{a}x\，表示椭圆的形状趋势，当\x\趋近于无穷大时，椭圆的渐近线是它的边界

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质【答案】-焦点坐标\±\sqrt{7},0\-离心率\\frac{\sqrt{7}}{4}\-准线方程\x=±\frac{16}{\sqrt{7}}\-短轴长6-长轴长8-渐近线方程无（因为焦点在\x\轴上）

2.分析椭圆\\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1\的几何性质【答案】-焦点坐标\0,±\sqrt{5}\-离心率\\frac{\sqrt{5}}{3}\-准线方程\y=±\frac{9}{\sqrt{5}}\-短轴长4-长轴长6-渐近线方程\y=±\frac{3}{2}x\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知椭圆的焦点坐标为\±\sqrt{7},0\，离心率为\\frac{1}{3}\，求椭圆的标准方程【答案】-焦点坐标\±\sqrt{7},0\-离心率\\frac{1}{3}\-焦距\2c=2\sqrt{7}\-半焦距\c=\sqrt{7}\-长轴半长\a=\frac{c}{e}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{3}}=3\sqrt{7}\-短轴半长\b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3\sqrt{7}^2-\sqrt{7}^2}=\sqrt{63-7}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\-椭圆的标准方程\\frac{x^2}{3\sqrt{7}^2}+\frac{y^2}{2\sqrt{14}^2}=1\，即\\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{56}=1\

2.已知椭圆的准线方程为\x=±\frac{9}{\sqrt{5}}\，离心率为\\frac{2}{3}\，求椭圆的标准方程【答案】-准线方程\x=±\frac{9}{\sqrt{5}}\-离心率\\frac{2}{3}\-准线到中心的距离\\frac{a^2}{c}=\frac{9}{\sqrt{5}}\-焦距\2c\-半焦距\c=\frac{a^2}{2×\frac{9}{\sqrt{5}}}=\frac{a^2\sqrt{5}}{18}\-离心率关系\e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\-\a=\frac{c}{e}=\frac{\frac{a^2\sqrt{5}}{18}}{\frac{2}{3}}=\frac{a^2\sqrt{5}}{12}\-\a^2=\frac{12}{\sqrt{5}}\-\b^2=a^2-c^2=\frac{12}{\sqrt{5}}-\left\frac{a^2\sqrt{5}}{18}\right^2=\frac{12}{\sqrt{5}}-\frac{a^4×5}{324}\-椭圆的标准方程\\frac{x^2}{\frac{12}{\sqrt{5}}}+\frac{y^2}{b^2}=1\标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

3.C

4.A

5.C

三、填空题

1.（±\sqrt{5},0），\\frac{\sqrt{5}}{3}\

2.x=±\frac{a^2}{c}

3.

64.2a

5.\\frac{18}{\sqrt{5}}\

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.\ab\，\c=\sqrt{a^2-b^2}\，\a\、\b\、\c\之间的关系为\c^2=a^2-b^2\

2.椭圆的离心率\e=\frac{c}{a}\，表示椭圆的扁平程度，\e\越大，椭圆越扁平；\e\越小，椭圆越接近圆形

3.焦点坐标为\±\sqrt{5},0\，准线方程为\x=±\frac{9}{\sqrt{5}}\

4.短轴长为6，离心率为\\frac{\sqrt{7}}{4}\

5.椭圆的渐近线方程为\y=±\frac{b}{a}x\，表示椭圆的形状趋势，当\x\趋近于无穷大时，椭圆的渐近线是它的边界

六、分析题

1.焦点坐标\±\sqrt{7},0\，离心率\\frac{\sqrt{7}}{4}\，准线方程\x=±\frac{16}{\sqrt{7}}\，短轴长6，长轴长8，渐近线方程无

2.焦点坐标\0,±\sqrt{5}\，离心率\\frac{\sqrt{5}}{3}\，准线方程\y=±\frac{9}{\sqrt{5}}\，短轴长4，长轴长6，渐近线方程\y=±\frac{3}{2}x\

七、综合应用题

1.椭圆的标准方程\\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{56}=1\

2.椭圆的标准方程\\frac{x^2}{\frac{12}{\sqrt{5}}}+\frac{y^2}{b^2}=1\。