高等代数二试题及答案呈现

高等代数二精选试题及答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个行列式等于0？（2分）A.$$\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}$$B.$$\begin{vmatrix}234\\567\\8910\end{vmatrix}$$C.$$\begin{vmatrix}123\\045\\006\end{vmatrix}$$D.$$\begin{vmatrix}100\\010\\001\end{vmatrix}$$【答案】A【解析】行列式$$\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}$$的行向量成比例，因此等于

02.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的转置矩阵是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}24\\13\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}43\\21\end{pmatrix}$$【答案】C【解析】矩阵的转置是将行变成列，列变成行，因此$$A$$的转置矩阵是$$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$$

3.向量空间$$R^3$$的一个基可以是（）（2分）A.$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$B.$$\{1,1,1,1,2,3,1,3,5\}$$C.$$\{1,0,0,1,1,0,1,1,1\}$$D.$$\{1,0,0,0,0,1,0,1,0\}$$【答案】B【解析】向量组$$\{1,1,1,1,2,3,1,3,5\}$$线性无关，且可以生成$$R^3$$，因此是$$R^3$$的一个基

4.下列哪个矩阵是可逆的？（2分）A.$$\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}$$【答案】B【解析】矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的行列式为$$1×4-2×3=-2$$，不等于0，因此可逆

5.线性方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y+3z=12\end{cases}$$的解是（）（2分）A.$$1,2,3$$B.$$2,2,2$$C.$$3,2,1$$D.$$0,0,0$$【答案】B【解析】通过代入法或矩阵法解得$$x=2,y=2,z=2$$

6.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的特征值是（）（2分）A.$$1,2$$B.$$-1,-2$$C.$$2,-3$$D.$$-1,5$$【答案】C【解析】特征方程为$$\detA-\lambdaI=0$$，解得特征值为$$2$$和$$-3$$

7.向量$$\mathbf{u}=1,2,3$$和$$\mathbf{v}=4,5,6$$的夹角余弦是（）（2分）A.$$\frac{1}{2}$$B.$$\frac{3}{5}$$C.$$\frac{2}{3}$$D.$$\frac{3}{10}$$【答案】D【解析】$$\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}=\frac{1×4+2×5+3×6}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\sqrt{4^2+5^2+6^2}}=\frac{32}{\sqrt{14}\sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}=\frac{3}{10}$$

8.线性变换$$T:R^2\toR^2$$，$$Tx,y=x-y,x+y$$的矩阵表示是（）（2分）A.$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}11\\-1-1\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}-11\\1-1\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}-1-1\\11\end{pmatrix}$$【答案】A【解析】$$T1,0=1,1,T0,1=-1,1$$，因此矩阵为$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$

9.向量空间$$R^n$$的维数是（）（2分）A.$$n-1$$B.$$n$$C.$$1$$D.$$0$$【答案】B【解析】向量空间$$R^n$$的维数是$$n$$

10.线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是（）（2分）A.$$A$$可逆B.$$b$$在$$A$$的列空间中C.$$b$$是零向量D.$$A$$的行向量线性无关【答案】B【解析】线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是$$b$$在$$A$$的列空间中

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性无关的向量？（）（4分）A.$$\mathbf{u}=1,0,0$$B.$$\mathbf{v}=0,1,0$$C.$$\mathbf{w}=0,0,1$$D.$$\mathbf{z}=1,1,1$$【答案】A、B、C【解析】向量$$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$$线性无关，而$$\mathbf{z}$$可以由$$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$$线性表示

2.以下哪些是矩阵的特征值？（）（4分）A.$$\lambda_1=2$$B.$$\lambda_2=-3$$C.$$\lambda_3=0$$D.$$\lambda_4=5$$【答案】A、B【解析】矩阵$$A$$的特征值为$$2$$和$$-3$$，不包含$$0$$和$$5$$

3.以下哪些是线性变换的矩阵表示？（）（4分）A.$$Tx,y=x-y,x+y$$B.$$Tx,y=x+y,x-y$$C.$$Tx,y=2x,3y$$D.$$Tx,y=x,0$$【答案】A、C、D【解析】$$Tx,y=x-y,x+y$$、$$Tx,y=2x,3y$$和$$Tx,y=x,0$$都是线性变换的矩阵表示

4.以下哪些是向量空间的基？（）（4分）A.$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$B.$$\{1,1,1,1,2,3,1,3,5\}$$C.$$\{1,0,0,1,1,0,1,1,1\}$$D.$$\{1,0,0,0,0,1,0,1,0\}$$【答案】A、B【解析】向量组$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$和$$\{1,1,1,1,2,3,1,3,5\}$$是$$R^3$$的基

5.以下哪些是可逆矩阵？（）（4分）A.$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$B.$$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$C.$$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$D.$$\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}$$【答案】A、B、C【解析】矩阵$$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$、$$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$$和$$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$$都是可逆的

三、填空题（每题4分，共32分）

1.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的行列式是______（4分）【答案】-2【解析】$$\detA=1×4-2×3=-2$$

2.向量空间$$R^3$$的一个基的维数是______（4分）【答案】3【解析】向量空间$$R^3$$的一个基的维数是

33.线性变换$$Tx,y=x-y,x+y$$的矩阵表示是______（4分）【答案】$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$【解析】$$T1,0=1,1,T0,1=-1,1$$，因此矩阵为$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$

4.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的特征值是______和______（4分）【答案】2,-3【解析】特征方程为$$\detA-\lambdaI=0$$，解得特征值为$$2$$和$$-3$$

5.向量$$\mathbf{u}=1,2,3$$和$$\mathbf{v}=4,5,6$$的夹角余弦是______（4分）【答案】$$\frac{3}{10}$$【解析】$$\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}=\frac{32}{\sqrt{14}\sqrt{77}}=\frac{3}{10}$$

6.线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是______（4分）【答案】$$b$$在$$A$$的列空间中【解析】线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是$$b$$在$$A$$的列空间中

7.向量空间$$R^n$$的维数是______（4分）【答案】$$n$$【解析】向量空间$$R^n$$的维数是$$n$$

8.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的转置矩阵是______（4分）【答案】$$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$$【解析】矩阵的转置是将行变成列，列变成行，因此$$A$$的转置矩阵是$$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$$

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.向量空间的一个基一定是线性无关的（）（2分）【答案】（√）【解析】向量空间的一个基一定是线性无关的

3.矩阵的特征值可以是复数（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的特征值可以是复数

4.线性变换一定是可逆的（）（2分）【答案】（×）【解析】线性变换不一定是可逆的

5.线性方程组$$Ax=b$$有唯一解的充要条件是$$A$$可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】线性方程组$$Ax=b$$有唯一解的充要条件是$$A$$可逆

6.向量空间$$R^n$$的维数是$$n$$（）（2分）【答案】（√）【解析】向量空间$$R^n$$的维数是$$n$$

7.矩阵的转置不改变其行列式（）（2分）【答案】（×）【解析】矩阵的转置不改变其行列式

8.线性变换的矩阵表示一定是方阵（）（2分）【答案】（√）【解析】线性变换的矩阵表示一定是方阵

9.向量空间的一个基可以生成整个空间（）（2分）【答案】（√）【解析】向量空间的一个基可以生成整个空间

10.线性方程组$$Ax=b$$无解的充要条件是$$b$$不在$$A$$的列空间中（）（2分）【答案】（√）【解析】线性方程组$$Ax=b$$无解的充要条件是$$b$$不在$$A$$的列空间中

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述向量空间的基本性质（4分）【答案】向量空间的基本性质包括封闭性、加法交换律、加法结合律、零向量存在性、负向量存在性、数乘分配律、数乘结合律、数乘单位元等

2.简述矩阵的特征值和特征向量的定义（4分）【答案】矩阵$$A$$的特征值$$\lambda$$和特征向量$$\mathbf{v}$$满足$$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$$，其中$$\mathbf{v}$$是非零向量

3.简述线性变换的基本性质（4分）【答案】线性变换的基本性质包括$$Tu+v=Tu+Tv$$和$$Tcu=cTu$$，其中$$u,v$$是向量，$$c$$是标量

4.简述线性方程组有解的充要条件（4分）【答案】线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是$$b$$在$$A$$的列空间中

5.简述向量空间的基的定义（4分）【答案】向量空间的一个基是线性无关且可以生成整个空间的向量组

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的特征值和特征向量（10分）【答案】特征方程为$$\detA-\lambdaI=0$$，即$$\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=0$$，解得$$\lambda_1=2,\lambda_2=-3$$对于$$\lambda_1=2$$，解方程$$A-2I\mathbf{v}=0$$，得特征向量$$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$对于$$\lambda_2=-3$$，解方程$$A+3I\mathbf{v}=0$$，得特征向量$$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$$

2.分析线性变换$$Tx,y=x-y,x+y$$的性质（10分）【答案】线性变换$$Tx,y=x-y,x+y$$满足线性性质$$Tu+v=Tu+Tv$$和$$Tcu=cTu$$其矩阵表示为$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$，该矩阵是可逆的，因此线性变换是可逆的

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.解线性方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y+3z=12\end{cases}$$（25分）【答案】将方程组写成矩阵形式$$Ax=b$$，即$$\begin{pmatrix}111\\2-11\\123\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\12\end{pmatrix}$$通过高斯消元法解得$$x=2,y=2,z=2$$

2.证明向量组$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$是$$R^3$$的一个基（25分）【答案】向量组$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$线性无关，且可以生成$$R^3$$，因此是$$R^3$$的一个基线性无关性证明假设存在不全为0的系数$$a,b,c$$使得$$a1,0,0+b0,1,0+c0,0,1=0,0,0$$，解得$$a=b=c=0$$，因此线性无关生成性证明任意向量$$\mathbf{v}=x,y,z$$可以表示为$$\mathbf{v}=x1,0,0+y0,1,0+z0,0,1$$，因此向量组可以生成$$R^3$$---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.B

5.B

6.C

7.D

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B

3.A、C、D

4.A、B

5.A、B、C

三、填空题

1.-

22.

33.$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$

4.2,-

35.$$\frac{3}{10}$$

6.$$b$$在$$A$$的列空间中

7.$$n$$

8.$$\begin{pmatrix}31\\42\end{pmatrix}$$

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

6.（√）

7.（×）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.向量空间的基本性质包括封闭性、加法交换律、加法结合律、零向量存在性、负向量存在性、数乘分配律、数乘结合律、数乘单位元等

2.矩阵$$A$$的特征值$$\lambda$$和特征向量$$\mathbf{v}$$满足$$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$$，其中$$\mathbf{v}$$是非零向量

3.线性变换的基本性质包括$$Tu+v=Tu+Tv$$和$$Tcu=cTu$$，其中$$u,v$$是向量，$$c$$是标量

4.线性方程组$$Ax=b$$有解的充要条件是$$b$$在$$A$$的列空间中

5.向量空间的一个基是线性无关且可以生成整个空间的向量组

六、分析题

1.矩阵$$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$$的特征值和特征向量特征方程为$$\detA-\lambdaI=0$$，解得$$\lambda_1=2,\lambda_2=-3$$特征向量为$$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$和$$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$$

2.线性变换$$Tx,y=x-y,x+y$$的性质满足线性性质，其矩阵表示为$$\begin{pmatrix}1-1\\11\end{pmatrix}$$，该矩阵是可逆的，因此线性变换是可逆的

七、综合应用题

1.解线性方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y+3z=12\end{cases}$$通过高斯消元法解得$$x=2,y=2,z=2$$

2.证明向量组$$\{1,0,0,0,1,0,0,0,1\}$$是$$R^3$$的一个基向量组线性无关，且可以生成$$R^3$$，因此是$$R^3$$的一个基。