高等代数二课后试题及详细答案

高等代数二课后试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵B的行列式为\3\times2=6\neq0\，因此B是可逆的

2.下列哪个向量是线性无关的？（）A.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\【答案】B【解析】B选项中的向量是单位向量，且线性无关

3.下列哪个方程表示一条直线？（）A.\x^2+y^2=1\B.\y=mx+b\C.\x^2=y\D.\xy=1\【答案】B【解析】B选项是直线方程的标准形式

4.下列哪个矩阵是正定的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项的矩阵是正定的，因为它的特征值均为正

5.下列哪个多项式是不可约的？（）A.\x^2+1\B.\x^2-1\C.\x^3+x\D.\x^2+x+1\【答案】D【解析】D选项的多项式在实数域上不可约

6.下列哪个向量空间是有限维的？（）A.所有实系数多项式的集合B.所有实数的集合C.所有有理数的集合D.所有复数的集合【答案】A【解析】A选项中的向量空间是有限维的，例如由\1,x,x^2,\ldots,x^n\生成的空间

7.下列哪个变换是线性的？（）A.\Tx,y=x^2,y^2\B.\Tx,y=x+y,x-y\C.\Tx,y=e^x,e^y\D.\Tx,y=sinx,cosy\【答案】B【解析】B选项中的变换满足线性变换的性质

8.下列哪个矩阵是上三角矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}123\\045\\006\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\03\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项中的矩阵是上三角矩阵

9.下列哪个向量组是生成集？（）A.\\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\【答案】A【解析】A选项中的向量组可以生成整个二维空间

10.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项中的矩阵是正交矩阵，因为它的列向量是单位向量且互相正交

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性代数中的基本概念？（）A.向量空间B.矩阵C.线性变换D.多项式E.微积分【答案】A、B、C【解析】线性代数中的基本概念包括向量空间、矩阵和线性变换，多项式也是重要概念，但微积分不属于线性代数的范畴

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】A、B、C【解析】A、B、C选项的矩阵行列式不为零，因此是可逆的

3.以下哪些向量是线性无关的？（）A.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\【答案】B、C【解析】B选项中的向量是单位向量，且线性无关；C选项中的向量也是线性无关的

4.以下哪些变换是线性的？（）A.\Tx,y=x^2,y^2\B.\Tx,y=x+y,x-y\C.\Tx,y=e^x,e^y\D.\Tx,y=sinx,cosy\【答案】B【解析】B选项中的变换满足线性变换的性质

5.以下哪些矩阵是正定的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项的矩阵是正定的，因为它的特征值均为正

三、填空题（每题4分，共32分）

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式是_________【答案】-2【解析】行列式计算为\1\times4-2\times3=4-6=-2\

2.向量\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\的线性组合可以表示为_________【答案】\a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\【解析】线性组合表示为向量的加权和

3.矩阵\\begin{pmatrix}10\\02\end{pmatrix}\的特征值是_________【答案】1,2【解析】特征值是矩阵对角线上的元素

4.向量空间\\mathbb{R}^3\的维数是_________【答案】3【解析】\\mathbb{R}^3\的维数是

35.线性变换\Tx,y=x+y,x-y\的矩阵表示是_________【答案】\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\【解析】将变换写成矩阵形式

6.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵是_________【答案】\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\【解析】逆矩阵计算为\\frac{1}{\text{det}}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}\

7.正交矩阵的逆矩阵等于它的_________【答案】转置矩阵【解析】正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵

8.向量空间中的生成集是指可以_________整个空间的向量集合【答案】生成【解析】生成集是指可以生成整个空间的向量集合

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个矩阵相乘的结果仍然是矩阵（）【答案】（√）【解析】矩阵乘法满足封闭性

2.向量空间的维数是唯一的（）【答案】（√）【解析】向量空间的维数是唯一的

3.线性变换保持向量的加法和数量乘法（）【答案】（√）【解析】线性变换满足线性性质

4.正定矩阵的特征值都是正的（）【答案】（√）【解析】正定矩阵的特征值都是正的

5.任何矩阵都有逆矩阵（）【答案】（×）【解析】只有行列式不为零的矩阵才有逆矩阵

6.向量空间的基是线性无关的生成集（）【答案】（√）【解析】基的定义是线性无关的生成集

7.线性变换的矩阵表示是唯一的（）【答案】（×）【解析】线性变换的矩阵表示依赖于基的选择

8.正交矩阵的行列式为1或-1（）【答案】（√）【解析】正交矩阵的行列式为1或-

19.向量空间的子空间也是向量空间（）【答案】（√）【解析】向量空间的子空间满足向量空间的性质

10.线性组合的系数可以是任意实数（）【答案】（√）【解析】线性组合的系数可以是任意实数

五、简答题（每题5分，共20分）

1.什么是向量空间的基？如何确定一个向量空间的基？【答案】向量空间的基是线性无关的生成集确定向量空间的基可以通过以下步骤

1.选择一组生成集；

2.检查生成集是否线性无关；

3.如果生成集线性无关，则它是基

2.什么是线性变换？线性变换有哪些基本性质？【答案】线性变换是保持向量加法和数量乘法的变换线性变换的基本性质包括

1.\Tu+v=Tu+Tv\；

2.\Tcu=cTu\；

3.\T0=0\

3.什么是正定矩阵？正定矩阵有哪些性质？【答案】正定矩阵是对称矩阵，其特征值均为正正定矩阵的性质包括

1.对称性；

2.特征值均为正；

3.行列式大于零

4.什么是矩阵的逆矩阵？如何判断一个矩阵是否可逆？【答案】矩阵的逆矩阵是使得\AB=BA=I\的矩阵判断一个矩阵是否可逆可以通过以下方法

1.计算矩阵的行列式；

2.如果行列式不为零，则矩阵可逆

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析向量空间\\mathbb{R}^3\中的线性变换\Tx,y,z=x+y,y+z,z+x\的性质【答案】线性变换\Tx,y,z=x+y,y+z,z+x\的性质分析

1.线性性质\Tax_1,y_1,z_1+bx_2,y_2,z_2=Tax_1+bx_2,ay_1+by_2,az_1+bz_2=ax_1+bx_2+ay_1+by_2,ay_1+by_2+az_1+bz_2,az_1+bz_2+ax_1+bx_2\；

2.保持加法\Tx_1,y_1,z_1+x_2,y_2,z_2=Tx_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2=x_1+x_2+y_1+y_2,y_1+y_2+z_1+z_2,z_1+z_2+x_1+x_2\；

3.保持数量乘法\Tcx,y,z=Tcx,cy,cz=cx+cy,cy+cz,cz+cx\

2.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量分析

1.特征值计算解方程\\text{det}A-\lambdaI=0\，即\\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=0\，得到\1-\lambda4-\lambda-6=0\，解得\\lambda_1=5,\lambda_2=-2\

2.特征向量计算对于\\lambda_1=5\，解方程\A-5Ix=0\，即\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\，得到特征向量\\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\；对于\\lambda_2=-2\，解方程\A+2Ix=0\，即\\begin{pmatrix}32\\36\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\，得到特征向量\\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.给定向量空间\\mathbb{R}^3\中的向量\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\，求它们生成的子空间的基和维数【答案】向量\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\生成的子空间基和维数分析

1.检查线性相关性解方程\a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=0\，得到\a+4b=0,2a+5b=0,3a+6b=0\，解得\a=0,b=0\，因此向量线性无关；

2.基\\{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\}\；

3.维数

22.给定线性变换\Tx,y=x+y,x-y\，求它在基\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}\下的矩阵表示【答案】线性变换\Tx,y=x+y,x-y\在基\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}\下的矩阵表示分析

1.计算\T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\，\T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\；

2.矩阵表示\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C

3.B、C

4.B

5.C

三、填空题

1.-

22.\a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\

3.1,

24.

35.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\

6.\\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\

7.转置矩阵

8.生成

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.×

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√

五、简答题

1.向量空间的基是线性无关的生成集确定一个向量空间的基可以通过选择一组生成集，检查生成集是否线性无关，如果生成集线性无关，则它是基

2.线性变换是保持向量加法和数量乘法的变换线性变换的基本性质包括\Tu+v=Tu+Tv\，\Tcu=cTu\，\T0=0\

3.正定矩阵是对称矩阵，其特征值均为正正定矩阵的性质包括对称性，特征值均为正，行列式大于零

4.矩阵的逆矩阵是使得\AB=BA=I\的矩阵判断一个矩阵是否可逆可以通过计算矩阵的行列式，如果行列式不为零，则矩阵可逆

六、分析题

1.线性变换\Tx,y,z=x+y,y+z,z+x\的性质分析-线性性质\Tax_1,y_1,z_1+bx_2,y_2,z_2=Tax_1+bx_2,ay_1+by_2,az_1+bz_2=ax_1+bx_2+ay_1+by_2,ay_1+by_2+az_1+bz_2,az_1+bz_2+ax_1+bx_2\；-保持加法\Tx_1,y_1,z_1+x_2,y_2,z_2=Tx_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2=x_1+x_2+y_1+y_2,y_1+y_2+z_1+z_2,z_1+z_2+x_1+x_2\；-保持数量乘法\Tcx,y,z=Tcx,cy,cz=cx+cy,cy+cz,cz+cx\

2.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量分析-特征值计算解方程\\text{det}A-\lambdaI=0\，即\\text{det}\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=0\，得到\1-\lambda4-\lambda-6=0\，解得\\lambda_1=5,\lambda_2=-2\-特征向量计算对于\\lambda_1=5\，解方程\A-5Ix=0\，即\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\，得到特征向量\\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\；对于\\lambda_2=-2\，解方程\A+2Ix=0\，即\\begin{pmatrix}32\\36\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\，得到特征向量\\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\

七、综合应用题

1.向量\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\生成的子空间基和维数分析-检查线性相关性解方程\a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=0\，得到\a+4b=0,2a+5b=0,3a+6b=0\，解得\a=0,b=0\，因此向量线性无关；-基\\{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\}\；-维数

22.线性变换\Tx,y=x+y,x-y\在基\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}\下的矩阵表示分析-计算\T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\，\T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\；-矩阵表示\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\。