高考夺冠试题及参考答案

高考夺冠试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=k}，其中k为实数，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{}【答案】C【解析】集合A={1,2}，B={1,k}，则A∩B={1}（k=1时）或A∩B={1,2}（k≠1时），故A∩B={1,2}

2.函数fx=log_ax+1在-1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.-∞,0∪0,1【答案】B【解析】当a1时，log_ax+1在-1,+∞上单调递增，故a

13.已知向量a=1,2，b=-2,3，则向量a+b的模长等于（）（2分）A.√13B.√17C.√26D.√30【答案】A【解析】a+b=-1,5，|a+b|=√-1^2+5^2=√

264.若某几何体的三视图分别为矩形、矩形、圆，则该几何体可能是（）（2分）A.圆锥B.圆柱C.球D.三棱柱【答案】B【解析】三视图分别为矩形、矩形、圆的几何体是圆柱

5.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）s=1foriinrange1,4:s=s+iiA.15B.30C.45D.55【答案】C【解析】s=1+1^2=2，s=2+2^2=6，s=6+3^2=

156.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】fx在x=-2时取得最小值

37.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现要随机抽取3名学生参加活动，则抽到3名男生的概率是（）（2分）A.1/3B.2/9C.1/4D.1/5【答案】B【解析】C20,3/C30,3=40/406=2/

98.若复数z满足z^2=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.i或-i【答案】C【解析】z=1或z=-

19.已知点A1,2，B3,0，则向量AB的坐标是（）（2分）A.2,-2B.2,2C.-2,2D.-2,-2【答案】A【解析】AB=3-1,0-2=2,-

210.若sinα=1/2，且α是第二象限角，则cosα的值是（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】cosα=-√1-sin^2α=-√3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的真子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若函数fx在x=x_0处取得极值，则fx_0=0【答案】A、D【解析】空集是任何集合的真子集（A正确）；ab不一定有a^2b^2（B错误）；sinα=sinβ不一定有α=β（C错误）；极值点处导数为0（D正确）

2.以下函数中，在定义域上单调递增的是（）（4分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】A、D【解析】一次函数和根式函数在其定义域上单调递增（A、D正确）

3.以下不等式成立的是（）（4分）A.3^03^-1B.log_21/2log_31/3C.√2^6√3^6D.|sinπ/4||cosπ/4|【答案】B、C【解析】log_21/2=-1log_31/3=-1/ln3（B正确）；√2^6=8√3^6=9（C错误）；3^0=13^-1=1/3（A错误）；|sinπ/4|=|cosπ/4|=√2/2（D错误）

4.以下函数中，以π为周期的函数是（）（4分）A.y=sin2xB.y=cosxC.y=tanxD.y=secx【答案】B、D【解析】cosx和secx的周期为2π（B、D错误，应为2π）

5.以下向量组中，线性无关的是（）（4分）A.1,0,0B.1,1,1C.0,1,0D.1,2,3【答案】A、B、D【解析】单个非零向量、三个线性无关的向量组线性无关（A、B、D正确）

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若方程x^2+px+q=0的两根之比为1:2，则p/q的值是______（4分）【答案】-7/4【解析】设两根为x和2x，则x+2x=-p，x·2x=q，解得p=-3x，q=2x^2，p/q=-3/2=-7/

42.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的正弦值sinC=______（4分）【答案】√6/4【解析】角C=75°，sinC=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/

43.函数fx=x^3-3x+1的极值点是______和______（4分）【答案】-√3/3，√3/3【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±√3/

34.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则该数列的通项公式a_n=______（4分）【答案】2^n-1【解析】a_4=a_1q^3，q=2，a_n=2^n-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是偶函数，则fx的图象关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，图象关于y轴对称

2.若向量a和b满足|a+b|=|a-b|，则a和b一定垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】|a+b|^2=|a-b|^2，得a·b=0，故a⊥b

3.若复数z=a+bia,b∈R的模长为|z|=1，则z的平方z^2一定是实数（）（2分）【答案】（×）【解析】若z=cosθ+isinθ，则z^2=cos2θ+isin2θ，当θ≠kπ/2时z^2不是实数

4.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x_1x_2∈I，都有fx_1fx_2（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即x_1x_2⇒fx_1fx_

25.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f0=2，最小值f3=-1【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2比较f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=-1，f4=2，最大值2，最小值-

42.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式a_n（4分）【答案】a_n=4n-1（n≥1）【解析】当n=1时，a_1=S_1=3当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，故a_n=4n-

13.求过点A1,2且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程（4分）【答案】3x-4y+5=0【解析】所求直线斜率为3/4，方程为3x-1-4y-2=0，即3x-4y+5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2+ax+b，若f1=3，f-1=-1，且fx在x=2处取得极值

（1）求a和b的值；

（2）判断fx的凹凸性（10分）【答案】

（1）a=0，b=2；

（2）fx在R上凹向上【解析】

（1）f1=1+a+b=3，f-1=1-a+b=-1，解得a=0，b=2fx=2x+a=2x，令fx=0，得x=2，fx=20，故x=2处取得极小值，故fx在R上凹向上

2.已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2，点P在边AC上运动，求AP+PB的最小值（10分）【答案】√6【解析】作BM⊥AC于M，设AM=x，则CM=√2-x，AP=AM=√2-x，BM=√2/2，PB=√[BM^2+PM^2]=√[√2/4+√2-x^2]=√6-2√2x，当x=√2/2时取得最小值√6

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为20元，售价为x元已知市场调查表明，当售价x在40元到50元之间时，产品的日销售量y（单位件）与售价x（元）满足关系y=120x/50-x

（1）写出该工厂日利润P（元）与售价x（元）的函数关系式；

（2）求该工厂日利润的最大值及对应的售价（15分）【答案】

（1）P=x-20y-10000=1200x^2/50-x-10000；

（2）x=

37.5时，P_{max}=6125元【解析】

（1）P=x-20·120x/50-x-10000=1200x^2/50-x-10000Px=120050-x+1200x^2/50-x^2=0，解得x=

37.5，检验得x=

37.5时取得最大值

2.某城市为缓解交通压力，计划修建一条从市中心（A点）到郊区（B点）的地铁线路已知A、B两地距离为60km，且A地海拔为100m，B地海拔为50m若地铁线路沿直线修建，且在AB中点C处需要设置一个坡度为1:3的隧道，求隧道AB的长度（15分）【答案】√3601≈

60.008km【解析】设隧道AB的长度为L，则AC=L/2，BC=L/2，设隧道起点海拔为h，则h-100/L/2=1/3，50-h/L/2=1/3，解得h=75，L=√[L/2^2+75-100^2]=√3601≈

60.008km。