高考夺魁试题及标准答案

高考夺魁试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=lnx+1-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.1/2D.1/3【答案】A【解析】fx=1/x+1-a，令x=1，f1=1/1+1-a=0，解得a=1/2又fx=-1/x+1^2，f1=-1/40，故x=1处取得极大值，故a=1/2错误，正确答案为a=

12.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值范围是（）（2分）A.{1,-1}B.{1}C.{-1}D.R【答案】C【解析】A={x|x1或x2}，若B=∅，则a=0，符合；若B≠∅，则x=1/a∈-∞,1∪2,+∞，解得a=-1，故a∈{-1,0}

3.若复数z满足|z|=1且argz∈π/4,π/2，则z的平方的辐角主值是（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】C【解析】设z=a+bia,b∈R，则a^2+b^2=1，argz∈π/4,π/2⇒b/a√2/2⇒b√2/2a⇒a^2+b^22a^2⇒12a^2⇒-1/√2a1/√2z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi，argz^2=arctan2ab/a^2-b^2当a=-1/√2，b=1/√2时，argz^2=3π/

44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）（俯视图为正方形，主视图为矩形，左视图为矩形）A.8πB.16πC.32πD.64π【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆柱，俯视图边长为4，主视图宽为4，高为2，故圆柱半径为2，高为4，体积为π×2^2×4=16π

5.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange1,6:s+=ii+1A.55B.56C.120D.130【答案】C【解析】s=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=

1206.若函数fx=x^3+px^2+qx+1在x=-1处取得极值，且f-1=-10，则f1的值为（）（2分）A.-10B.-8C.8D.10【答案】D【解析】f-1=3-1^2+p-1+q=0⇒p+q=3，f-1=-1+p-q+1=-10⇒p-q=-10联立解得p=-

3.5，q=

6.5fx=3x^2+2px+q，f1=3+2p+q=0⇒p+q=-3f1=1+p+q+1=-3+1+1=

107.某校高三年级有1000名学生参加体检，随机抽取200名学生，其中身高在175cm以上的人数为30，则该校高三年级身高在175cm以上的人数估计为（）（2分）A.50B.60C.100D.150【答案】B【解析】估计人数为1000×30/200=150人

8.若函数fx=√x^2+2ax+a^2+√x^2-2x+1的最小值为3，则a的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】A【解析】fx=|x+a|+|x-1|，最小值为a-1=3⇒a=4又|a+1|+|a-1|=3⇒a=

19.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+1=2S_n+1，则a_5的值为（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】B【解析】a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=

3110.若直线l y=kx+1与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值为（）（2分）A.±√3/3B.±√3C.±√6/3D.±√6【答案】A【解析】圆心1,-2，半径√1^2+-2^2--3=√6设圆心到直线距离为d，d=√r^2-|AB|/2^2=√6-3=√3d=|1×1+-2×-2+1|/√1^2+-2^2=√3⇒k=±√3/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若x^2=y^2，则x=yB.若ab，则a^2b^2C.若fx是奇函数，则f0=0D.若sinα=sinβ，则α=β【答案】C【解析】A错，x=-y也成立；B错，ab0时成立；C对，奇函数图像过原点；D错，α=β+2kπ或α=π-β+2kπ

2.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）（4分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0⇒x=0或x=2f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=0M=2，m=-4⇒M+m=-

23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则cosA的值为（）（4分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】a^2=b^2+c^2-bc⇒a^2=b-c^2⇒a=b-c由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=b^2+c^2-b-c^2/2bc=1/

24.若向量a=1,2，b=x,y，且|a+b|=√5，|a-b|=√3，则x^2+y^2的值为（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】|a+b|^2=5⇒1+x+4+y^2=5⇒x+y^2=0，|a-b|^2=3⇒1+x+4+y^2=3⇒x+y^2=-2联立解得x=-1，y=±1⇒x^2+y^2=

25.执行以下程序段后，变量t的值为（）（4分）t=1foriinrange1,5:t=tiA.24B.120C.720D.5040【答案】A【解析】t=1×1×2×3×4=24

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为__________（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3--2=

32.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相交于A1,√3，则k=__________，b=__________（4分）【答案】-√3/3，2√3/3【解析】k=-√3/1=-√3/3，代入圆方程得3+b^2=4⇒b=±√3由点在第一象限⇒b=2√3/

33.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+1=2a_n+1，则a_5=__________（4分）【答案】31【解析】a_2=2a_1+1=5，a_3=2a_2+1=11，a_4=2a_3+1=23，a_5=2a_4+1=

474.若复数z=1+i，则z^4的虚部为__________（4分）【答案】-4【解析】z^2=2i，z^4=2i^2=-

45.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________（4分）（俯视图为边长为2的正方形，主视图和左视图均为矩形，宽为2，高为3）【答案】32【解析】几何体为长方体，表面积=22×2+2×3+2×3=

326.执行以下程序段后，变量s的值为__________（4分）s=0foriinrange1,6:s+=ii+1/2【答案】20【解析】s=1×2/2+2×3/2+3×4/2+4×5/2+5×6/2=

207.若函数fx=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且f1=10，则f-1=__________（4分）【答案】-10【解析】fx=3x^2-p，f1=0⇒p=3，f1=0⇒p=-3f1=1-p+q=10⇒q=12f-1=-1+p+q=-

108.若直线l y=kx+1与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k^2的值为__________（4分）【答案】5【解析】圆心1,-2，半径√6设圆心到直线距离为d=√6-√3^2=√3d=|k×1+1×-2+1|/√k^2+1=√3⇒k^2=5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则x^2+x+10（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2+x+1=x+1/2^2+3/40恒成立

2.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上无极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】fx在a,b上单调递增，则fx在a,b上无极大值点，但可能有极小值点，如fx=x在-1,1上单调递增，无极值点

3.若向量a=1,2，b=3,4，则a与b共线（）（2分）【答案】（×）【解析】a与b不共线，因为不存在λ使得1,2=λ3,

44.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=0（）（2分）【答案】（×）【解析】M=2，m=-4⇒M+m=-

25.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=nn+1，则S_n=nn+1n+2/2（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n=nn+1，S_n=1×2+2×3+3×4+…+nn+1=21^2+2^2+…+n^2+21+2+…+n=2nn+12n+1/6+2nn+1/2=nn+1n+2/2

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0⇒x=0或x=2f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=0最大值M=2，最小值m=-

42.若复数z=1+i，求z^4的值（4分）【答案】z^2=2i，z^4=2i^2=-

43.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=nn+1，求S_n的表达式（4分）【答案】S_n=1×2+2×3+3×4+…+nn+1=21^2+2^2+…+n^2+21+2+…+n=2nn+12n+1/6+2nn+1/2=nn+1n+2/

24.若直线l y=kx+1与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B两点，且|AB|=2√3，求k的值（4分）【答案】圆心1,-2，半径√6设圆心到直线距离为d=√6-√3^2=√3d=|k×1+1×-2+1|/√k^2+1=√3⇒k=±√3/

35.执行以下程序段后，变量t的值为多少？（4分）t=1foriinrange1,5:t=ti【答案】t=1×1×2×3×4=24

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某几何体的三视图如图所示，该几何体是什么形状？求其体积和表面积（10分）（俯视图为边长为2的正方形，主视图和左视图均为矩形，宽为2，高为3）【答案】几何体为长方体，体积=2×2×3=12，表面积=22×2+2×3+2×3=

322.若函数fx=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且f1=10，求fx的表达式（10分）【答案】fx=3x^2-p，f1=0⇒p=3，f1=0⇒p=-3f1=1-p+q=10⇒q=12fx=x^3-3x+12

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元若销售量为x件，求该工厂的利润函数，并求该工厂至少销售多少件产品才能盈利？（25分）【答案】利润函数Lx=80x-50x-100000=30x-100000令Lx0⇒x10000该工厂至少销售10001件产品才能盈利

2.某学校组织学生参加课外活动，共有100名学生参加，其中男生60人，女生40人若随机抽取3名学生，求至少有2名男生被抽中的概率（25分）【答案】P至少2名男生=P2名男生+P3名男生=C60,2×C40,1/C100,3+C60,3/C100,3=

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