全省数学竞赛试卷及答案详情

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象经过点1,0且对称轴为x=-1，则b的值为（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】由对称轴公式x=-b/2a，得-b/2a=-1，即b=2a代入点1,0得a+b+c=0，即a+2a+c=0，因对称轴为x=-1，a≠0，得b=-

22.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则sinC的值为（）（2分）A.√3/2B.√2/2C.√6/4D.√6/2【答案】C【解析】由三角形内角和得角C=75°，则sinC=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/

43.方程x^2-3x-4=0的根的情况是（）（2分）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.有一个实数根【答案】B【解析】判别式Δ=-3^2-4×1×-4=9+16=250，故方程有两个不相等的实数根

4.某班级有50名学生，其中男生比女生多10人，则男生人数占全班人数的比值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.2/5D.3/5【答案】D【解析】设女生人数为x，则男生人数为x+10，由x+x+10=50得x=20，男生人数占全班人数的比值为30/50=3/

55.若集合A={x|x^2-4x+3=0}，B={x|x=2k+1，k为整数}，则集合A与集合B的关系是（）（2分）A.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.A∩B=∅【答案】D【解析】A={1,3}，B为奇数集，A中元素不属于B，故A∩B=∅

6.函数y=2^x在区间[0,1]上的值域是（）（2分）A.[1,2]B.[0,1]C.[2,3]D.[1,3]【答案】A【解析】当x=0时，y=1；当x=1时，y=2，故值域为[1,2]

7.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是（）（2分）A.a,-bB.-a,bC.a,bD.-a,-b【答案】B【解析】点关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变

8.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形是（）（2分）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】满足勾股定理，故为直角三角形

9.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a+b的坐标是（）（2分）A.4,6B.2,3C.3,6D.4,3【答案】A【解析】向量的加法运算分量分别相加

10.函数y=sinx+π/2的图象与y=sinx的图象的关系是（）（2分）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.向左平移π/2【答案】B【解析】sinx+π/2=cosx，故图象关于y轴对称

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若a^2=b^2，则a=bD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】A举反例a=1，b=-2；C举反例a=1，b=-1；B、D正确

2.关于函数fx=|x-1|，下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得最小值0B.fx在x=1处取得最大值1C.fx在-∞,1上单调递减D.fx在1,+∞上单调递增【答案】A、C、D【解析】fx为V型图象，在x=1处最小值为0，-∞,1上递减，1,+∞上递增

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=6，则（）（4分）A.数列的公差为2B.a_7=12C.数列的前n项和为Sn=n^2+nD.a_10=20【答案】A、B、D【解析】由a_4=a_1+3d得d=2，故A对；a_7=a_1+6d=14，B错；Sn=n/22a_1+n-1d=n^2+n，故C对；a_10=a_1+9d=20，故D对

4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，则下列说法正确的有（）（4分）A.若sinA=1/2，则cosB=1/2B.若tanA=√3/3，则sinB=√3/2C.若a:b:c=3:4:5，则sinA=sinBD.若a=3，b=4，则c=5【答案】A、B、D【解析】A、B由同角三角函数关系得正确；C中a:b:c=3:4:5为直角三角形，但sinA≠sinB；D由勾股定理得正确

5.在空间几何中，下列说法正确的有（）（4分）A.三条两两平行的直线可确定三个平面B.三条两两垂直的直线可确定一个平面C.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】A三条平行线可确定无数平面；B三条两两垂直的直线可确定三个平面；C、D为空间几何基本定理

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x^2+px+q=0的两根之比为2:3，则p/q的值为______（4分）【答案】-5/3【解析】设两根为2k、3k，则2k+3k=-p，6k^2=q，p/q=-5/

32.函数y=2x^3-3x^2+x的导数y的值为______（4分）【答案】6x^2-6x+1【解析】y=6x^2-6x+

13.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，则cosC的值为______（4分）【答案】-√6/4【解析】cosC=-cosA+B=-cos75°=-√6/

44.数列1,-1,1,-1,...的通项公式a_n的表达式为______（4分）【答案】-1^n+1【解析】根据奇偶性变化规律

5.若集合A={x|1x3}，B={x|x2}，则A∪B的表示为______（4分）【答案】1,3【解析】取两集的并集

6.函数y=1/x-1的定义域为______（4分）【答案】-∞,1∪1,+∞【解析】分母不为

07.在直角坐标系中，点P2,3关于原点对称的点的坐标为______（4分）【答案】-2,-3【解析】横纵坐标均变号

8.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则数列的前3项和S_3的值为______（4分）【答案】13【解析】由b_3=b_1q^2得q=2，S_3=1+2+4=7

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-

22.若函数fx是奇函数，则其图象必过原点（）（2分）【答案】（×）【解析】f0=0时才过原点

3.若三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理

4.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a-b的坐标是-2,-2（）（2分）【答案】（√）【解析】向量减法分量相减

5.若直线l1∥直线l2，直线l1∥平面α，则直线l2必在平面α内（）（2分）【答案】（×）【解析】l2可平行于α

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求函数的最小值（5分）【答案】1【解析】配方法fx=x-1^2+2，故最小值为

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b的长度（5分）【答案】√6【解析】由正弦定理b/a=sinB/sinA得b=√

63.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n（5分）【答案】a_n=5n-5【解析】由a_n=a_1+n-1d，得d=3，a_1=0，故a_n=5n-5

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+x，求函数的极值点（12分）【答案】极小值点x=1，极大值点x=0【解析】fx=3x^2-6x+1，令fx=0得x=1±√3/3当x1-√3/3或x1+√3/3时fx0，x∈1-√3/3,1+√3/3时fx0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点

2.在直角坐标系中，已知点A1,2，点B3,0，点C0,4，求△ABC的面积（12分）【答案】5【解析】过点A作AD⊥BC于D，AD为高，BC为底，BD=2，CD=2，故AD=√5，S=1/2×4×√5=2√5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（25分）【答案】125件【解析】设销售量为x件，则收入为80x元，成本为10000+50x元，盈亏平衡时80x=10000+50x，解得x=125件

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b、边c的长度及△ABC的面积（25分）【答案】b=√6，c=2√3，S=3√3【解析】由正弦定理b/a=sinB/sinA得b=√6，由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得c=2√3，S=1/2bcsinA=3√3---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.B

4.D

5.D

6.A

7.B

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.B、D

2.A、C、D

3.A、B、D

4.A、B、D

5.C

三、填空题

1.-5/

32.6x^2-6x+

13.-√6/

44.-1^n+

15.1,

36.-∞,1∪1,+∞

7.-2,-

38.13

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.

12.√

63.a_n=5n-5

六、分析题

1.极小值点x=1-√3/3，极大值点x=1+√3/

32.5

七、综合应用题

1.125件

2.b=√6，c=2√3，S=3√3。