全省数学竞赛题目全览及答案

全省数学竞赛题目全览及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且B⊆A，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.1或3D.1或2【答案】D【解析】A={1,2}，当B=∅时，Δ=a^2-40，得-2a2，取B中任意值满足B⊆A；当B={1}时，1-a+1=0，得a=2；当B={2}时，4-2a+1=0，得a=5/2，不满足B⊆A，故a=1或

22.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】C【解析】fx表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

33.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，得C=60°

4.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.√5【答案】A【解析】设z=a+bi，代入方程解得z=-1/2±√3i/2，|z|=

15.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=27，则S_9的值为（）（2分）A.45B.54C.63D.72【答案】B【解析】由S_

3、S_6-S_

3、S_9-S_6构成等差数列，得S_9=27+18=

456.抛掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为5的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为5的基本事件有1,

4、2,

3、3,

2、4,1，共4个，概率为4/36=1/

97.函数y=3^x在区间[0,1]上的值域为（）（2分）A.[1,3]B.[0,3]C.[1,2]D.[0,2]【答案】A【解析】y=3^x在[0,1]上单调递增，值域为[1,3]

8.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与圆O相交，则下列关系正确的是（）（2分）A.drB.d=rC.dRD.d≥r【答案】C【解析】直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，即dr

9.执行如图所示的程序框图，若输入的n为5，则输出的S的值为（）（2分）（程序框图略）A.15B.10C.5D.1【答案】A【解析】S=1+2+3+4+5=

1510.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx在[0,+∞上单调递减，则下列不等式正确的是（）（2分）A.f-2f1B.f0f-1C.f2f-3D.f-1f2【答案】D【解析】由奇函数性质f-x=-fx，单调性f2f1，f-3=-f3，得f-1f2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，真命题有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若Δ0，则方程x^2+ax+b=0无实根D.若fx是偶函数，则f0是函数的最值【答案】A、C【解析】A是真命题；B是假命题，如a=1b=-2；C是真命题；D是假命题，f0可能是最值也可能是极值

2.已知函数fx=sinωx+φ，若fx的最小正周期为π/2，且fπ/4=1，则下列说法正确的是（）（4分）A.ω=4B.φ=π/4C.fx在[0,π]上单调递减D.fx的最小值为-1【答案】A、D【解析】T=2π/ω=π/2，得ω=4；fπ/4=sinπ/2+φ=1，得φ=π/4；fx在[0,π]上单调递减；fx的最小值为-

13.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2=b^2+c^2，则下列结论正确的是（）（4分）A.sinA=1/2B.cosB+cosC=0C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是直角三角形【答案】B、D【解析】由勾股定理a^2=b^2+c^2，得△ABC是直角三角形，A≠90°，故sinA≠1/2；cosB+cosC=0；△ABC是等腰直角三角形

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n-1，则下列说法正确的是（）（4分）A.{a_n}是等比数列B.a_1=1C.S_n=n^2D.a_n=2^n-1【答案】A、B【解析】S_n=2a_n-1，得a_n=2a_n-1，故{a_n}是等比数列，公比q=2；a_1=1；S_n=2^n-1≠n^2；a_n=2^n-

15.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在-∞,1上单调递增B.fx在1,2上单调递减C.f1=0D.fx有3个零点【答案】B、C【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2；fx在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增；fx在1,2上单调递减；f1=0；fx有3个零点

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=4/

52.已知函数fx=|x-1|，则ff2的值为______（4分）【答案】2【解析】f2=|2-1|=1，ff2=f1=|1-1|=

03.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则S_15的值为______（4分）【答案】135【解析】由S_

5、S_10-S_

5、S_15-S_10构成等差数列，得S_15=2S_10-S_5=2×70-25=

1154.已知函数fx=2^x，若fa=8，则a=______（4分）【答案】3【解析】2^a=8，得a=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则log_aclog_bc对任意c0恒成立（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1/2b=-1，c=1/4，log_1/21/4=2log_-11/4不存在

2.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且fx在[0,+∞上单调递增，则f-2f1（）（2分）【答案】（×）【解析】由偶函数性质f-2=f2，fx在[0,+∞上单调递增，得f2f1，故f-2f

13.若复数z满足z^2+z+1=0，则z是单位根（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，代入方程解得z=-1/2±√3i/2，|z|=

14.已知函数fx=x^2-2x+3，则fx在R上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=2x-2，令fx=0，得x=1；fx在-∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增

5.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，则a_n^2=n^2，不是等差数列

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（4分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2；当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增故fx在-∞,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+3n，求a_1和a_n（4分）【答案】S_n=2n^2+3n，S_n-1=2n-1^2+3n-1=2n^2-4n+2+3n-3=2n^2-n-1；a_n=S_n-S_n-1=2n^2+3n-2n^2-n-1=4n+1；a_1=S_1=2×1^2+3×1=

53.已知函数fx=sinωx+φ，若fx的最小正周期为π/2，且fπ/4=1，求fx的解析式（4分）【答案】T=2π/ω=π/2，得ω=4；fπ/4=sinπ/2+φ=1，得φ=π/4；故fx=sin4x+π/4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2；fx=6x-6，f0=-60，fx在x=0处取得极大值f0=2；f2=60，fx在x=2处取得极小值f2=0故fx在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值

02.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=1，a_3=5，求数列{a_n}的前n项和S_n（10分）【答案】设公差为d，由a_3=a_1+2d，得5=1+2d，得d=2；a_n=a_1+n-1d=1+n-1×2=2n-1；S_n=na_1+a_n/2=n1+2n-1/2=n^2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2；f-2=-8-12+2=-18，f0=0，f2=0，f3=27-27+2=2；比较f-

2、f

0、f

2、f3的大小，得fx在区间[-2,3]上的最大值为2，最小值为-

182.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=1，a_3=8，求数列{a_n}的前n项和S_n（25分）【答案】设公比为q，由a_3=a_1q^2，得8=1×q^2，得q=±2；当q=2时，a_n=a_1q^n-1=2^n-1；S_n=a_11-q^n/1-q=1×1-2^n/1-2=2^n-1；当q=-2时，a_n=a_1q^n-1=-2^n-1；S_n=a_11--q^n/1--q=1×1--2^n/3=1/3[1--2^n]故S_n=2^n-1或S_n=1/3[1--2^n]。