函数与极限考研试题及答案

函数与极限考研试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）（2分）A.fx=1/xB.fx=|x|C.fx=sinx/xD.fx=e^-1/x【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处连续，因为其左右极限相等且等于函数值

2.函数fx=x^2在[1,2]上的平均值是（）（2分）A.1B.

1.5C.2D.3【答案】B【解析】平均值=1^2+2^2/2=

1.

53.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】B【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

14.函数fx=arctanx在-∞,+∞内是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.非单调【答案】A【解析】arctanx在整个定义域内是单调递增的

5.下列函数中，在x=0处可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^3C.fx=e^xD.fx=1/x【答案】C【解析】e^x在x=0处可导，导数为

16.函数fx=1/x-1在x=1处的极限是（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】当x接近1时，1/x-1的值在正负无穷之间变化，极限不存在

7.函数fx=x^3-3x在x=0处的导数是（）（2分）A.0B.-3C.3D.-6【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f0=

08.下列函数中，在x=0处连续且可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=e^-1/x【答案】B【解析】x^2在x=0处连续且可导，导数为

09.极限limx→∞x^2-x/2x^2+1的值是（）（2分）A.0B.1/2C.1D.-1【答案】B【解析】分子分母同时除以x^2，极限为1/

210.函数fx=x^2在[0,1]上的最大值是（）（2分）A.0B.1C.1/2D.2【答案】B【解析】在[0,1]上，x=1时函数取得最大值1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处连续？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=1/xD.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】x^

2、sinx和e^x在x=0处连续，1/x在x=0处不连续

2.以下哪些函数在x=0处可导？（）（4分）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】x^

3、sinx和e^x在x=0处可导，|x|在x=0处不可导

3.以下哪些函数在x=0处极限存在？（）（4分）A.fx=1/xB.fx=sinx/xC.fx=e^xD.fx=|x|【答案】B、C、D【解析】sinx/x、e^x和|x|在x=0处极限存在，1/x在x=0处极限不存在

4.以下哪些函数在-∞,+∞内单调？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=-xD.fx=logx【答案】B、C【解析】e^x和-x在-∞,+∞内单调，x^2和logx不是单调函数

5.以下哪些函数在x=0处可导且导数为0？（）（4分）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=e^x【答案】A、B【解析】x^2和sinx在x=0处可导且导数为0，cosx在x=0处导数为-1，e^x在x=0处导数为1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.极限limx→2x^2-4/x-2的值是______（4分）【答案】4【解析】分子分母同时除以x-2，极限为

22.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=

03.函数fx=e^x在x=0处的导数是______（4分）【答案】1【解析】e^x在x=0处的导数为

14.函数fx=sinx在x=π处的极限是______（4分）【答案】0【解析】sinπ=0，所以极限为

05.函数fx=1/x-1在x=2处的极限是______（4分）【答案】1【解析】1/2-1=1，所以极限为1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在-∞,+∞内连续（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2在整个实数范围内连续

2.函数fx=1/x在x=0处连续（）（2分）【答案】（×）【解析】1/x在x=0处不连续，因为极限不存在

3.函数fx=sinx在-∞,+∞内单调（）（2分）【答案】（×）【解析】sinx在-∞,+∞内不是单调函数

4.函数fx=e^x在-∞,+∞内连续且可导（）（2分）【答案】（√）【解析】e^x在整个实数范围内连续且可导

5.函数fx=|x|在x=0处可导（）（2分）【答案】（×）【解析】|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数在某点处连续的条件（4分）【答案】函数fx在点x=a处连续，当且仅当满足以下三个条件

（1）fa存在；

（2）limx→afx存在；

（3）limx→afx=fa

2.简述函数在某点处可导的条件（4分）【答案】函数fx在点x=a处可导，当且仅当以下极限存在limh→0[fa+h-fa]/h

3.简述极限的几何意义（4分）【答案】极限limx→afx=L的几何意义是当x无限接近a时，函数fx的值无限接近L

4.简述导数的物理意义（4分）【答案】导数fa表示函数fx在点x=a处的瞬时变化率，即函数在点a处的切线斜率

5.简述函数单调性的判断方法（4分）【答案】函数fx在区间I内单调递增，当且仅当对于任意的x1,x2∈I，若x1x2，则fx1≤fx2；函数fx在区间I内单调递减，当且仅当对于任意的x1,x2∈I，若x1x2，则fx1≥fx2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在[0,3]上的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1

（2）求导数为零的点x=1

（3）求单调区间当x∈-∞,-1时，fx0，函数单调递增；当x∈-1,1时，fx0，函数单调递减；当x∈1,+∞时，fx0，函数单调递增

（4）求极值当x=1时，f1=1^3-3×1=-2，为极小值

（5）求端点值f0=0^3-3×0=0；f3=3^3-3×3=18综上所述，函数在[0,3]上的最大值为18，最小值为-

22.分析函数fx=e^x在-∞,+∞上的连续性和可导性（10分）【答案】

（1）连续性e^x在整个实数范围内连续，因为指数函数的性质决定了它在所有实数点都连续

（2）可导性e^x在整个实数范围内可导，且导数仍为e^x，即fx=e^x综上所述，函数fx=e^x在-∞,+∞上既连续又可导

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在[0,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x=3xx-2

（2）求导数为零的点x=0,x=2

（3）求单调区间当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；当x∈2,3时，fx0，函数单调递增

（4）求极值当x=0时，f0=0^3-3×0^2+2=2，为极大值；当x=2时，f2=2^3-3×2^2+2=-2，为极小值

（5）求端点值f0=2；f3=3^3-3×3^2+2=2

（6）比较极值和端点值最大值为2，最小值为-2综上所述，函数在[0,3]上的最大值为2，最小值为-

22.已知函数fx=1/x-1，求其在x→∞时的极限（25分）【答案】

（1）分析函数形式fx=1/x-1是一个分式函数

（2）求极限当x→∞时，x-1也→∞，所以1/x-1→0

（3）结论limx→∞1/x-1=0综上所述，函数fx=1/x-1在x→∞时的极限为0---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.C

6.D

7.A

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.A、C、D

3.B、C、D

4.B、C

5.A、B

三、填空题

1.

42.

03.

14.

05.1

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.函数在某点处连续的条件fa存在，limx→afx存在，limx→afx=fa

2.函数在某点处可导的条件limh→0[fa+h-fa]/h存在

3.极限的几何意义当x无限接近a时，函数fx的值无限接近L

4.导数的物理意义函数在点a处的瞬时变化率，即函数在点a处的切线斜率

5.函数单调性的判断方法若x1x2，则fx1≤fx2为单调递增；若x1x2，则fx1≥fx2为单调递减

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x在[0,3]上的最大值为18，最小值为-

22.函数fx=e^x在-∞,+∞上既连续又可导

七、综合应用题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值为2，最小值为-

22.函数fx=1/x-1在x→∞时的极限为0。