函数性质测试试题及全解答案

函数性质测试试题及全解答案

一、单选题

1.函数fx=x^3-3x+2在区间-2,2内的零点个数为（）（2分）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-4，f-1=5，f1=-1，f2=4，fx在-2,-1和1,2上单调递减，在-1,1上单调递增，故有两个零点

2.函数fx=e^x-x在定义域R上的单调性为（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=e^x-1，当x0时，fx0；当x0时，fx0；当x=0时，fx=0故fx在x=0处取得极小值，在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减

3.函数fx=|x-1|+|x+1|在区间-∞,+∞上的最小值为（）（1分）A.0B.1C.2D.-2【答案】C【解析】fx在x=-1处取得极小值

24.函数fx=sinx+cosx的值域为（）（2分）A.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-2,2]D.[-√2,2]【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，值域为[-√2,√2]

5.函数fx=x^2-4x+3的图像关于直线x=1对称的函数为（）（2分）A.gx=x-1^2+1B.gx=x+1^2-1C.gx=x-1^2-1D.gx=x+1^2+1【答案】C【解析】fx的顶点为2,-1，对称轴为x=1，故gx的顶点为0,-1，对称轴为x=

16.函数fx=x^3-3x^2+2在区间-1,3内的最大值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=0，故最大值为

17.函数fx=log_ax在x1时单调递增，则a的取值范围是（）（2分）A.a1B.0a1C.a0且a≠1D.a0【答案】A【解析】对数函数底数a1时单调递增

8.函数fx=tanx在区间-π/2,π/2内的单调性为（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=sec^2x0，故fx在-π/2,π/2上单调递增

9.函数fx=x^3-3x+1的极值点个数为（）（2分）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，故有两个极值点

10.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的图像关于点1,0对称的函数为（）（2分）A.gx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1B.gx=-x^4+4x^3-6x^2+4x-1C.gx=x^4+4x^3+6x^2+4x+1D.gx=-x^4-4x^3-6x^2-4x-1【答案】B【解析】fx的图像关于点1,0对称，故gx=-f2-x=-x^4+4x^3-6x^2+4x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】fx=x^2在0,1上单调递增；fx=1/x在0,1上单调递减；fx=sinx在0,1上单调递增；fx=e^x在0,1上单调递增

2.下列函数中，在定义域上存在极值点的有（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^2+1D.fx=|x|【答案】A、D【解析】fx=x^3在定义域上存在极值点；fx=x^4在定义域上不存在极值点；fx=x^2+1在定义域上不存在极值点；fx=|x|在定义域上存在极值点

3.下列函数中，在区间-∞,+∞上值域为[0,+∞的有（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=log_axD.fx=sinx【答案】A、B【解析】fx=x^2在区间-∞,+∞上值域为[0,+∞；fx=e^x在区间-∞,+∞上值域为0,+∞；fx=log_ax在区间0,+∞上值域为R；fx=sinx在区间-∞,+∞上值域为[-1,1]

4.下列函数中，在区间0,π上单调递减的有（）A.fx=cosxB.fx=sinxC.fx=x^2D.fx=-x【答案】A、D【解析】fx=cosx在0,π上单调递减；fx=sinx在0,π上单调递增；fx=x^2在0,π上单调递增；fx=-x在0,π上单调递减

5.下列函数中，在定义域上为奇函数的有（）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=cosx【答案】A、C【解析】fx=x^3是奇函数；fx=x^2是偶函数；fx=sinx是奇函数；fx=cosx是偶函数

三、填空题

1.函数fx=x^2-4x+3的图像的对称轴方程为______（2分）【答案】x=

22.函数fx=e^x在区间-1,1上的平均值等于______（4分）【答案】e-1/e

3.函数fx=sinx+cosx的最小正周期为______（2分）【答案】2π

4.函数fx=x^3-3x+1在x=1处的切线方程为______（4分）【答案】y=-

15.函数fx=|x-1|+|x+1|在x=0处的值为______（2分）【答案】

26.函数fx=log_ax在x=2时的值为1，则a=______（4分）【答案】

27.函数fx=tanx在x=π/4处的值为______（2分）【答案】

18.函数fx=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标为______、______（4分）【答案】1,

0、3,

09.函数fx=e^x-x在x=0处的极值为______（2分）【答案】

110.函数fx=sinx+cosx在x=π/4处的值为______（4分）【答案】√2

四、判断题

1.函数fx=x^3在区间-1,1上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2≥0，故fx在-1,1上单调递增

2.函数fx=cosx在区间0,π上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=-sinx0，故fx在0,π上单调递减

3.函数fx=x^2在区间-1,1上存在极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=2x，令fx=0得x=0，但fx在x=0处不变号，故x=0不是极值点

4.函数fx=e^x在区间-∞,+∞上值域为0,+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】e^x0，故值域为0,+∞

5.函数fx=sinx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=sin-x=-sinx=-fx，故fx是奇函数

五、简答题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点及极值（5分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，故x=0处取得极大值2，x=2处取得极小值-

22.求函数fx=x^2-4x+3的单调区间（5分）【答案】fx=2x-4，令fx=0得x=2，fx0时x2，fx0时x2，故fx在-∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

3.求函数fx=sinx+cosx的最小正周期及值域（5分）【答案】fx=√2sinx+π/4，最小正周期为2π，值域为[-√2,√2]

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间-∞,+∞上的单调性、极值、凹凸性和拐点（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，令fx=0得x=1，fx在-∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，x=0处取得极大值2，x=2处取得极小值-2，fx在-∞,1上凹，在1,+∞上凸，拐点为1,

02.分析函数fx=e^x-x在区间-∞,+∞上的单调性、极值和渐近线（10分）【答案】fx=e^x-1，当x0时，fx0；当x0时，fx0；当x=0时，fx=0，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，x=0处取得极小值1，无渐近线

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+1在x=-1和x=1处取得极值，求a、b的值，并求函数的单调区间（20分）【答案】fx=3x^2-2ax+b，令fx=0得x=-1和x=1，故3x^2-2ax+b=3x+1x-1，得a=-1，b=-3，fx=3x-1x+1，fx在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】f-2=-1，f-1=5，f0=2，f1=0，f2=-2，f3=0，故最大值为5，最小值为-2。