函数构造试题及详细答案

函数构造经典试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个方程表示一个开口向下的抛物线？（）A.y=2x^2+4x-1B.y=-3x^2+2x+5C.y=x^2-6x+9D.y=x^2+8x+16【答案】B【解析】抛物线开口方向由二次项系数决定，系数小于0时开口向下，B选项中二次项系数为-3，故开口向下

2.函数fx=|x-1|在x=2时的值为（）A.1B.-1C.3D.-3【答案】C【解析】f2=|2-1|=1，故C选项正确

3.函数y=2^x的反函数是（）A.y=log2xB.y=-log2xC.y=2^-xD.y=-2^x【答案】A【解析】反函数将原函数的y值作为自变量，x值作为因变量，指数函数与对数函数互为反函数

4.函数y=sinx的周期是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】正弦函数的基本周期为2π

5.函数y=1/x在x→0时极限为（）A.0B.∞C.1D.不存在【答案】B【解析】分母趋近于0时，分数值趋近于无穷大

6.函数y=sqrtx的定义域是（）A.-∞,+∞B.[0,+∞C.-∞,0D.-∞,0∪0,+∞【答案】B【解析】平方根函数的定义域为非负实数集

7.函数y=log_ax在a1时单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.不确定D.常数【答案】A【解析】对数函数在底数大于1时单调递增

8.函数y=arctanx的值域是（）A.-π/2,π/2B.-π,πC.[0,π]D.-∞,+∞【答案】A【解析】反正切函数的值域为-π/2,π/

29.函数y=cosx在x=π时的值为（）A.1B.-1C.0D.π【答案】B【解析】cosπ=-

110.函数y=tanx的周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】正切函数的基本周期为π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内单调递增？（）A.y=x^2B.y=e^xC.y=log_2xD.y=sinxE.y=-x^3【答案】B、C【解析】指数函数和对数函数在各自定义域内单调递增，B、C选项正确

2.以下哪些函数是偶函数？（）A.y=x^2B.y=x^3C.y=cosxD.y=sinxE.y=|x|【答案】A、C、E【解析】偶函数满足f-x=fx，A、C、E选项正确

3.以下哪些函数在其定义域内连续？（）A.y=1/xB.y=sqrtxC.y=tanxD.y=logxE.y=sinx【答案】B、E【解析】根号函数和正弦函数在其定义域内连续，B、E选项正确

4.以下哪些函数是周期函数？（）A.y=x^2B.y=sinxC.y=cosxD.y=tanxE.y=arctanx【答案】B、C、D【解析】正弦函数、余弦函数和正切函数是周期函数，B、C、D选项正确

5.以下哪些函数在其定义域内可导？（）A.y=|x|B.y=x^3C.y=1/xD.y=e^xE.y=logx【答案】B、C、D、E【解析】多项式函数、指数函数和对数函数在其定义域内可导，B、C、D、E选项正确

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数y=2^x+1的图像可以通过将y=2^x的图像______个单位向______平移得到【答案】1；左【解析】指数函数y=a^x+c的图像可以通过将y=a^x的图像c个单位向左平移得到

2.函数y=sin2x的周期是______【答案】π【解析】正弦函数y=sinbx的周期为2π/|b|，故周期为π

3.函数y=sqrt3x-6的定义域是______【答案】[2,+∞【解析】根号函数内部必须非负，故3x-6≥0，解得x≥

24.函数y=log_1/2x在x=8时的值为______【答案】-3【解析】log_1/28=log_1/22^3=3log_1/22=-

35.函数y=tanπ/4+x的周期是______【答案】π【解析】正切函数y=tanbx+c的周期为π/|b|，故周期为π

6.函数y=arccosx的值域是______【答案】[0,π]【解析】反余弦函数的值域为[0,π]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数y=x^3是奇函数（）【答案】（√）【解析】奇函数满足f-x=-fx，x^3满足此性质

2.函数y=1/sinx在x=π/2时无定义（）【答案】（×）【解析】sinπ/2=1，故1/sinπ/2=1有定义

3.函数y=e^x在x→-∞时极限为0（）【答案】（√）【解析】指数函数y=e^x在x→-∞时极限为

04.函数y=cosx是偶函数（）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，满足偶函数定义

5.函数y=arctanx是周期函数（）【答案】（×）【解析】反三角函数无周期性

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述函数单调性的定义【答案】函数单调性定义若对于区间I内的任意两个数x1，x2，当x1x2时，总有fx1≤fx2（或fx1≥fx2），则称函数fx在区间I上单调递增（或单调递减）

2.简述函数奇偶性的定义【答案】函数奇偶性定义

（1）奇函数若对于函数定义域内的任意x，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数；

（2）偶函数若对于函数定义域内的任意x，都有f-x=fx，则称fx为偶函数

3.简述函数极限的定义【答案】函数极限定义设函数fx在x→x0的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0|x-x0|δ时，有|fx-A|ε，则称A是函数fx当x→x0时的极限，记作lim_{x→x0}fx=A

4.简述函数连续性的定义【答案】函数连续性定义设函数fx在点x0的某一邻域内有定义，若lim_{x→x0}fx=fx0，则称函数fx在点x0处连续

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=2sin3x+1的单调区间【答案】首先确定函数的周期y=sinbx+c的周期为2π/|b|，故周期为2π/3正弦函数y=sinbx+c在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）上单调递减将周期2π/3代入，得单调递增区间[2kπ/3-π/6,2kπ/3+π/6]（k∈Z）单调递减区间[2kπ/3+π/6,2kπ/3+π/2]（k∈Z）

2.分析函数y=|x-1|在x=0时的极限【答案】函数y=|x-1|在x=0时的左极限和右极限分别为lim_{x→0^-}|x-1|=|-1-1|=2lim_{x→0^+}|x-1|=|1-1|=0由于左极限不等于右极限，故lim_{x→0}|x-1|不存在

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.已知函数y=fx满足fx=2f2-x，且f1=3，求f0和f2的值【答案】由fx=2f2-x，代入x=1，得f1=2f1，故f1=0由f1=3矛盾，故需重新分析由fx=2f2-x，代入x=0，得f0=2f2由f2=2f0，代入上式，得f0=4f0，故f0=0由f0=2f2，得f2=

02.已知函数y=gx是定义在R上的奇函数，且满足gx+2=-gx，g1=2，求g5的值【答案】由gx+2=-gx，得g3=-g1=-2由gx+4=-gx+2=gx，得g5=g1=2

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、C、E

3.B、E

4.B、C、D

5.B、C、D、E

三、填空题

1.1；左

2.π

3.[2,+∞

4.-

35.π

6.[0,π]

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见简答题部分

2.见简答题部分

3.见简答题部分

4.见简答题部分

六、分析题

1.见分析题部分

2.见分析题部分

七、综合应用题

1.见综合应用题部分

2.见综合应用题部分。