华杯赛复赛易错试题及正确答案

华杯赛复赛易错试题及正确答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的高为（）（2分）A.4cmB.

4.8cmC.5cmD.6cm【答案】B【解析】直角三角形面积S=1/2×6×8=24cm²，斜边长为√6²+8²=10cm，斜边上的高h=2S/斜边长=2×24/10=

4.8cm

2.在圆内接四边形ABCD中，若∠A=80°，∠C=100°，则∠B+∠D等于（）（2分）A.180°B.200°C.220°D.260°【答案】A【解析】圆内接四边形对角互补，∠B+∠D=360°-∠A+∠C=360°-180°=180°

3.一个自然数，它除以3余1，除以5余2，除以7余3，则满足条件的最小自然数是（）（2分）A.15B.23C.31D.43【答案】C【解析】同余方程组x≡1mod3，x≡2mod5，x≡3mod7，用中国剩余定理，x=3×5×7×k+3×5×k+3×7×k+5×7×k=105k+45，最小正整数解k=1时，x=150，但需满足所有同余条件，通过检验C选项最符合

4.将一个棱长为10cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，该圆柱的体积是（）（2分）A.

251.2cm³B.314cm³C.

418.8cm³D.

523.6cm³【答案】B【解析】圆柱直径为10cm，半径为5cm，高为10cm，V=πr²h=

3.14×5²×10=314cm³

5.有一列数2，5，10，17，26，…，则第100项是（）（2分）A.9801B.9900C.10001D.10201【答案】C【解析】数列差值依次为3，5，7，9，是公差为2的等差数列，第n项a_n=2+n-1×2+nn-1/2，a_100=2+99×2+4950=

100016.一个分数的分子分母各加1后变为3/4，减去1后变为1/2，则原分数是（）（2分）A.2/5B.3/4C.4/5D.5/6【答案】C【解析】设原分数x/y，x+1/y+1=3/4，x-1/y=1/2，联立解得x=4，y=

57.在平面直角坐标系中，点A1，2关于x轴对称的点的坐标是（）（2分）A.1，-2B.2，-1C.-1，2D.-2，1【答案】A【解析】点x,y关于x轴对称点为x,-y，故A1，2对称点为1,-

28.一个等腰三角形的周长为20cm，底边长为6cm，则腰长为（）（2分）A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm【答案】B【解析】等腰三角形两腰相等，腰长=20-6/2=7cm

9.若x²-3x+k能被x-1整除，则k的值是（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】由整除性定理，f1=1²-3×1+k=0，解得k=

210.甲、乙两人同时从同一地点出发，沿同一条路行走，甲的速度为每小时4km，乙的速度为每小时6km，乙到达目的地后立即返回，在途中与甲相遇，则从出发到相遇共用了（）（2分）A.1小时B.

1.5小时C.2小时D.

2.5小时【答案】B【解析】设相遇时间为t，乙比甲多走一个全程，6t-4t=4t=全程，相遇时甲走了4×

1.5=6km，乙走了6×

1.5=9km，符合条件

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些数是无理数？（）A.√4B.

0.1010010001…C.πD.-

3.14E.-

0.121212…【答案】B、C、E【解析】无理数是无限不循环小数，√4=2是整数，-

3.14是有限小数，

0.121212…是循环小数

2.一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的一半，则下列说法正确的有（）A.表面积扩大到原来的2倍B.体积扩大到原来的1倍C.表面积扩大到原来的4倍D.体积扩大到原来的1倍E.表面积不变【答案】B、D【解析】表面积S=2πr²+2πrh，r扩大2倍，h缩小1/2，新表面积=8πr²+2πr1/2h=8πr²+πrh=42πr²+πrh=4S，体积V=πr²h，新体积=π2r²1/2h=2πr²h=2V

3.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根，则下列条件正确的有（）A.a≠0B.b²-4ac≥0C.c=0D.方程一定有两个不相等的实根E.方程一定有两个相等的实根【答案】A、B【解析】一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根需a≠0且判别式Δ=b²-4ac≥0，根的情况需结合Δ与0的大小判断

4.在△ABC中，下列条件能确定三角形形状的有（）A.∠A=60°，∠B=45°B.三边长分别为5cm，7cm，9cmC.AB=AC，BC=5cmD.∠B=90°，BC=6cmE.AB=AC=6cm，BC=10cm【答案】A、B、C、D【解析】A可确定形状；B是勾股数，为直角三角形；C是等腰三角形；D是直角三角形；E三边关系不满足三角形任意两边之和大于第三边

5.关于y的一次函数y=kx+b中，下列说法正确的有（）A.k=0时，函数图像是水平直线B.b=0时，函数图像过原点C.k0时，函数值随x增大而减小D.k0时，函数值随x增大而增大E.k和b都不能为0【答案】A、B、C、D【解析】一次函数y=kx+b中，k是斜率，b是截距，k=0时y=b是水平直线；b=0时过原点；k决定增减性

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若a+b=5，ab=3，则a²+b²=______（4分）【答案】19【解析】a²+b²=a+b²-2ab=5²-2×3=25-6=

192.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是______cm²（4分）【答案】15π【解析】侧面积S=πrl=π×3×5=15πcm²

3.在直角坐标系中，点P2，-3关于原点对称的点的坐标是______（4分）【答案】-2，3【解析】点x,y关于原点对称点为-x,-y，故P2，-3对称点为-2，

34.一个六位数□5□3□能被9整除，则这个数最小是______（4分）【答案】105039【解析】能被9整除则各位数字和能被9整除，百位和个位最小为9，百位为0，个位为9，千位最小为5，故最小数

1050395.已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则扇形的面积是______cm²（4分）【答案】12π【解析】面积S=θ/360°πr²=120/360π×6²=12πcm²

四、判断题（每题2分，共10分）

1.一个合数至少有两个约数（）（2分）【答案】（√）【解析】合数是除1和本身外还有其他约数的自然数，至少有3个约数

2.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，是整数

3.等腰三角形的底角一定相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形定义两腰相等，其底角必然相等

4.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-3，b=3，a²=b²=9但a≠b

5.一个负数的绝对值一定是正数（）（2分）【答案】（√）【解析】负数的绝对值是其相反数，必为正数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明一个整数平方后，其结果的末位数字只能是0，1，4，5，6，9【答案】设整数为10a+b（0≤b≤9），则10a+b²=100a²+20ab+b²，末位数字由20ab+b²决定，分类讨论b=0到9时，末位数字分别为0，1，4，9，6，5，6，9，0，1，故整数平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，

92.已知一个等差数列的前n项和为S_n=3n²+2n，求这个数列的通项公式【答案】S_n=3n²+2n，a_1=S_1=3×1²+2×1=5，a_n=S_n-S_{n-1}=3n²+2n-[3n-1²+2n-1]=6n-1，通项公式a_n=6n-

13.一个长方体的长、宽、高分别是a+1，a，a-1，体积是60，求a的值【答案】体积V=a+1aa-1=60，因式分解得a²-1a=60，a³-a=60，解得a=4（负值舍去）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿同一条路走向C地，甲的速度为每小时4km，乙的速度为每小时6km，若C地在AB之间，且甲到达C地后立即返回，在途中与乙相遇，求甲从出发到相遇共用了多少小时？【答案】设甲从出发到相遇用了t小时，甲走了4tkm，乙走了6tkm，相遇时甲比乙多走AC+BC=2AC段，4t=6t-2AC，AC=acm，相遇时甲走了全程的一半，4t=全程/2，乙走了全程的3/2，6t=全程×3/2，全程=8t，AC=acm，相遇时甲走了4tkm，乙走了6tkm，4t+6t=8t，t=1小时

2.一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，第三边的长是方程x²-12x+32=0的解，求这个三角形的周长【答案】解方程x²-12x+32=0得x=4或x=8，当第三边为4cm时，6+4=108，不能构成三角形；当第三边为8cm时，三角形三边为6cm，8cm，8cm，周长=6+8+8=22cm

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.一个圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，现将这个圆锥沿母线剪开展开，得到一个扇形，求这个扇形的圆心角和面积【答案】扇形半径=圆锥母线长=10cm，扇形弧长=圆锥底面周长=2π×6=12πcm，圆心角θ=弧长/半径×180°=12π/10×180°=216°，扇形面积S=θ/360°πr²=216/360π×10²=60πcm²

2.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元，为了不亏本，至少需要生产多少件产品？【答案】设生产x件产品，总收入=80x元，总成本=2000+50x元，不亏本条件总收入≥总成本，80x≥2000+50x，30x≥2000，x≥200/3，x≥67（取整），至少需要生产67件产品。