名校真题解析：答案与思路详细讲解

名校真题解析答案与思路详细讲解

一、单选题（每题1分，共10分）

1.某班级有50名学生，其中男生占60%，则女生人数为（）（1分）A.30人B.40人C.25人D.35人【答案】C【解析】班级总人数为50人，男生占60%，即男生人数为50×60%=30人，女生人数为50-30=20人

2.函数fx=x²-4x+3的顶点坐标为（）（1分）A.2,-1B.1,2C.2,3D.3,2【答案】A【解析】函数fx=x²-4x+3的标准形式为fx=x-2²-1，顶点坐标为2,-

13.一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则其侧面积为（）（1分）A.12πcm²B.15πcm²C.20πcm²D.24πcm²【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r=3cm，l为母线长，l=√r²+h²=√3²+4²=5cm，侧面积为π×3×5=15πcm²

4.若方程x²+px+q=0的两根之和为5，两根之积为6，则p+q的值为（）（1分）A.11B.-11C.1D.-1【答案】B【解析】根据韦达定理，两根之和为-p=5，即p=-5；两根之积为q=6，则p+q=-5+6=

15.在直角坐标系中，点A1,2关于y轴对称的点的坐标为（）（1分）A.-1,2B.1,-2C.-2,1D.2,-1【答案】A【解析】点关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，故点A1,2关于y轴对称的点的坐标为-1,

26.若集合A={x|-1x3}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）（1分）A.{x|-1x1}B.{x|1≤x3}C.{x|x3}D.{x|-1x3}【答案】B【解析】集合A与集合B的交集为{x|-1x3}∩{x|x≥1}，即{x|1≤x3}

7.已知向量a=3,-1，向量b=-2,4，则向量a+b=（）（1分）A.1,3B.5,-5C.1,-5D.-1,3【答案】A【解析】向量a+b=3+-2,-1+4=1,

38.函数y=sinx+cosx的最大值为（）（1分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】y=sinx+cosx=√2sinx+π/4，最大值为√

29.若三角形的三边长分别为5cm、12cm、13cm，则该三角形为（）（1分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】13²=5²+12²，故该三角形为直角三角形

10.若直线l的方程为y=kx+b，且l过点1,2和点3,0，则k的值为（）（1分）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D【解析】将点1,2代入方程得2=k+b，将点3,0代入方程得0=3k+b，解得k=2，b=0

二、多选题（每题2分，共10分）

1.以下命题中，正确的有（）（2分）A.0是自然数B.-1是整数C.π是无理数D.1/3是分数E.

3.14是实数【答案】A、B、C、D、E【解析】0是自然数，-1是整数，π是无理数，1/3是分数，

3.14是实数，故全对

2.函数y=x³-3x的极值点为（）（2分）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=-2E.x=2【答案】A、C【解析】y=3x²-3，令y=0得x=±1，当x=-1时y取极大值，当x=1时y取极小值

3.下列不等式成立的有（）（2分）A.-2-1B.3²2²C.log₂3log₂4D.sinπ/4cosπ/4E.1/2⁻¹1/3⁻¹【答案】A、B、C、E【解析】-2-1显然成立，3²=94=2²成立，log₂3log₂4成立，sinπ/4=cosπ/4不成立，1/2⁻¹=21/3⁻¹=3不成立

4.下列函数在其定义域内单调递增的有（）（2分）A.y=x²B.y=2xC.y=exD.y=log₁₀xE.y=sinx【答案】B、C【解析】y=2x为一次函数，单调递增；y=ex为指数函数，单调递增；y=x²在x0时单调递增；y=log₁₀x为对数函数，单调递增；y=sinx非单调

5.下列图形中，是轴对称图形的有（）（2分）A.平行四边形B.等腰三角形C.正方形D.等边三角形E.圆【答案】B、C、D、E【解析】等腰三角形、正方形、等边三角形、圆都是轴对称图形，平行四边形不是

三、填空题（每空2分，共12分）

1.若方程x²-mx+9=0的两根之差为2，则m=______（4分）【答案】±2√10【解析】设两根为x₁、x₂，则x₁-x₂=2，x₁+x₂=m，x₁x₂=9，由x₁-x₂²=x₁+x₂²-4x₁x₂得4=m²-36，m²=40，m=±2√

102.在△ABC中，若∠A=60°，a=5，b=7，则c=______（4分）【答案】√39或√61【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosA得c²=25+49-2×5×7×cos60°=49，c=7；若cosB0，则c²=25+49-2×5×7×cos120°=81，c=9，故c=√39或√

613.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为______（4分）【答案】3【解析】当x∈[-2,1]时，y=1-x+x+2=3，故最小值为3

四、判断题（每题1分，共5分）

1.若ab，则a²b²（）（1分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab但a²=1b²=

42.任意一个命题的否定都是真命题（）（1分）【答案】（×）【解析】只有全称命题的否定是真命题，特称命题的否定不一定为真

3.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续（）（1分）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定是连续的，如分段函数

4.若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k使得a=kb（）（1分）【答案】（×）【解析】若a=0且b≠0，则不存在这样的k

5.若三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形（）（1分）【答案】（√）【解析】这是勾股定理的逆定理

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及极值（4分）【答案】a=3，极小值=0【解析】fx=3x²-a，令f1=0得3-a=0，a=3，f1=1-3+1=0，f1=60，故x=1处取得极小值

2.求过点1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程（4分）【答案】y=-1/3x+7/3【解析】垂直直线的斜率为-1/3，方程为y=-1/3x+b，代入1,2得2=-1/3+b，b=7/

33.某班级有50名学生，其中男生比女生多10人，求男生和女生各有多少人？（4分）【答案】男生30人，女生20人【解析】设男生x人，女生y人，则x+y=50，x-y=10，解得x=30，y=20

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间和极值（10分）【答案】增区间-∞,0∪2,+∞，减区间0,2，极大值f0=2，极小值f2=-2【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时fx0，当x∈0,2时fx0，当x∈2,+∞时fx0，故增区间为-∞,0∪2,+∞，减区间为0,2，极大值f0=2，极小值f2=-

22.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求cosA、cosB、cosC的值（10分）【答案】cosA=4/5，cosB=3/5，cosC=0【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=32/40=4/5，cosB=a²+c²-b²/2ac=9+25-16/2×3×5=18/30=3/5，cosC=a²+b²-c²/2ab=9+16-25/2×3×4=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元若销售量x件，求（25分）

（1）总成本Cx的函数表达式；（5分）

（2）利润Lx的函数表达式；（5分）

（3）当销售量为多少件时，工厂开始盈利？（5分）

（4）若工厂要获得10万元利润，至少需要销售多少件产品？（5分）

（5）画出Cx、Lx的简图，并说明其经济意义（5分）【答案】

（1）Cx=10000+20x

（2）Lx=30x-10000

（3）令Lx=0得x=1000/3≈333，当销售量大于333件时开始盈利

（4）令Lx=100000得x=4000件

（5）略，Cx为过0,10000的直线，斜率为20；Lx为过0,-10000的直线，斜率为30，交点为

333.3,

02.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求（25分）

（1）fx的表达式（用分段函数表示）；（5分）

（2）fx的最小值及取得最小值时的x值；（5分）

（3）画出fx的图像；（5分）

（4）解不等式fx≤5；（5分）

（5）若关于x的方程|ax-1|=fx有解，求实数a的取值范围（5分）【答案】

（1）fx={-3-x,x-2{1-x,-2≤x≤1{3+x,x1

（2）最小值为3，当x∈[-2,1]时取得

（3）略，图像为折线段

（4）当x-2时-3-x≤5得x≥-8；当-2≤x≤1时1-x≤5得x≥-4；当x1时3+x≤5得x≤2，故解集为[-8,2]

（5）|ax-1|≤3+x，当x1时ax≤4+x+1且ax≥-2+x-1，即a≤5/x+1且a≥-1/x-2，对x1的每点都存在这样的a，故a∈R---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.B

5.A

6.B

7.A

8.B

9.C

10.D

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、C

3.A、B、C、E

4.B、C

5.B、C、D、E

三、填空题

1.±2√

102.√39或√

613.3

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.a=3，极小值=

02.y=-1/3x+7/

33.男生30人，女生20人

六、分析题

1.增区间-∞,0∪2,+∞，减区间0,2，极大值f0=2，极小值f2=-

22.cosA=4/5，cosB=3/5，cosC=0

七、综合应用题

1.

（1）Cx=10000+20x

（2）Lx=30x-10000

（3）x333件

（4）x≥4000件

（5）略

2.

（1）fx={-3-x,x-2;1-x,-2≤x≤1;3+x,x1}

（2）最小值3，x∈[-2,1]

（3）略

（4）[-8,2]

（5）a∈R。