哈佛入学选拔试题及答案呈现

哈佛入学选拔试题及答案呈现

一、单选题

1.下列数中，最接近π的是（）（2分）A.

3.14B.

3.14159C.

3.1416D.

3.141【答案】C【解析】π的近似值为

3.

1415926...，选项C的

3.1416最接近

2.如果函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，那么（）（2分）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，Δ=0D.a0，Δ0【答案】C【解析】函数开口向上说明a0，顶点在x轴上说明判别式Δ=b^2-4ac=

03.某班级有m名男生和n名女生，如果要选出3名代表，至少有2名是女生，这样的选法共有（）种？（2分）A.Cm,n3B.Cm,n2+Cm,n1C.Am,n3D.Cm,n2【答案】B【解析】至少2名女生分为2女1男和3女两种情况，分别是Cn,2Cm,1+Cn,

34.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=3，则该数列的公差d等于（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_6=2a_4，所以3a_3=15，3a_4=3，a_4-a_3=-4，d=-

15.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则a的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】A={x|x2或x1}，B={x|x=a}，因为1∉A但1∈B，所以a=-

26.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.0B.1C.3D.4【答案】C【解析】分段函数y=3-2|x|，当x=-2或x=1时取最小值

37.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边上的高是（）（2分）A.4cmB.

4.8cmC.5cmD.6cm【答案】B【解析】斜边长10cm，面积24cm^2，高为2×24/10=

4.8cm

8.某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取3件产品，至少有一件不合格的概率是（）（2分）A.

0.95B.

0.863C.

0.047D.

0.027【答案】B【解析】P至少1不合格=1-P全合格=1-

0.95^3≈

0.

8639.若复数z满足|z|=1，且z^3=1，则z可能是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】单位根z=e^2πi/3=-1/2+i√3/2≈-

0.5+

0.866i，选项中只有-i符合

10.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，其侧面积是（）（2分）A.15πcm^2B.30πcm^2C.12πcm^2D.24πcm^2【答案】A【解析】侧面积=πr×l=15πcm^

211.已知函数fx在x=0处可导，且f0=1，limx→0[fx-f0]/x=2，则f2的值为（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】A【解析】f0=2，fx=2x+1，f2=

512.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若AO=2BO，AC=6，则AD+BC的值可能是（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】利用中线定理AD+BC=2AC+BD=12+2BD，BD最大为6，最小为0，AD+BC∈[6,18]

13.若实数x满足x^2+2x-150，则函数y=x^2+4x-3在x的取值范围内最大值是（）（2分）A.1B.3C.7D.15【答案】D【解析】x-5或x3，对称轴x=-2，最大值在x=3时取得f3=9+12-3=18，但x=3不满足原不等式，需取x=-5时f-5=25-20-3=2，取x=4时f4=16+16-3=29，取x=5时f5=25+20-3=42，需取x=

3.5时f

3.5=

12.25+14-3=

23.25，取x=

4.5时f

4.5=

20.25+18-3=

35.25，取x=

5.5时f

5.5=

30.25+22-3=

49.25，最大值在x=

5.5时取得

14.在平面直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点是（）（2分）A.1,2B.2,1C.2,-1D.-1,2【答案】B【解析】对称点为2,

115.若集合A={x|1x3}，B={x|x^2-4x+3≤0}，则A∪B等于（）（2分）A.1,3B.1,2]∪[2,3C.1,3]D.2,3【答案】C【解析】B={x|1≤x≤3}，A∪B=1,3]

16.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2=3，a_2+a_3=6，则a_4等于（）（2分）A.12B.24C.48D.96【答案】B【解析】设公比为q，a_11+q=3，a_1q1+q=6，解得a_1=1，q=2，a_4=1×2^3=

817.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）（2分）A.16B.8C.4D.24【答案】D【解析】f-1=0，f-1=-6，f-1=0，f2=8-6+1=3，f-2=-8+6+1=-1，最大值3，最小值-1，差为

2418.在三角形ABC中，若∠A=60°，AB=5，AC=7，则BC的长度是（）（2分）A.√39B.√41C.√49D.√61【答案】B【解析】cosB=25+49-AB^2/2×5×7=24/70，BC=√

4119.若x+y=5，x^2+y^2=13，则x^3+y^3等于（）（2分）A.30B.35C.40D.45【答案】A【解析】x+y^2=x^2+y^2+2xy，25=13+2xy，xy=6，x^3+y^3=x+yx^2+y^2-xy=5×13-6=

3020.一个圆的半径增加10%，其面积增加的百分比是（）（2分）A.10%B.19%C.21%D.30%【答案】B【解析】面积增加π

1.1^2-π^/π=

1.21-1=

0.21，即21%

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若x^2=1，则x=1D.若fx是奇函数，则f0=0E.对任意实数x，x^2≥0【答案】A、E【解析】A正确；B反例a=1，b=-2；C反例x=-1；D反例fx=x/2，f0=0但不是奇函数

2.以下函数在其定义域内单调递增的是？（）A.y=2x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=√xE.y=-x^2+2【答案】A、D【解析】A是一次函数，D是增函数，B在x0时递减，C在x0时递增，E在x=0时取得最大值

3.在四边形ABCD中，下列条件中能判定其是平行四边形的是？（）A.AB∥CD，AD∥BCB.∠A=∠C，∠B=∠DC.AB=CD，AD=BCD.AB∥CD，AD=BCE.对角线AC=BD【答案】A、B【解析】A是定义；B内角和为360°且对角相等；C是等腰梯形；D可能是等腰梯形；E可能是矩形或正方形

4.关于复数z，下列说法正确的是？（）A.|z|^2=z×z B.z是实数当且仅当z=z C.若z^2是实数，则z一定是实数D.复数不能比较大小E.z的模是实数【答案】A、B、E【解析】A|z|^2=|z|^2，B正确，C反例z=i，z^2=-1，z=-i；D实数是复数的特例；E模是实数

5.以下不等式成立的是？（）A.x^2+10B.|x|+|y||x-y|C.若ab，则a^2+b^2a^2b^2D.3^x2^xE.sin^2x+cos^2x1【答案】A、B【解析】A恒成立；B平方两边x+y^2x-y^2；C反例a=2，b=1；D反例x=-1；E恒等于1

三、填空题

1.已知函数fx=x^3-ax+1在x=1时取得极值，则a的值为______（4分）【答案】3【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，a=

32.在△ABC中，若∠A=60°，a=√3，b=1，则sinB的值为______（4分）【答案】1/2【解析】cosA=1+3-3/2=1/2，A=60°，B=30°，sinB=1/

23.若集合A={x|x^2-5x+60}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B={______}（4分）【答案】{1,4}【解析】A={x|x3或x2}，B为奇数集，交集为1和

44.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a_15的值为______（4分）【答案】40【解析】设首项a_1，公差d，a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=0，d=5/3，a_15=a_1+14d=70/3，四舍五入得

405.已知向量u=1,2，v=3,-4，则向量u×v的模长为______（4分）【答案】10【解析】|u×v|=|1×-4-2×3|=|-10|=

106.函数y=1/x^2-1的垂直渐近线方程是______和______（4分）【答案】x=1，x=-1【解析】分母为零处有垂直渐近线

7.若tanθ=√3，则θ可能的值是______或______（k为整数）（4分）【答案】π/3+2kπ，2π/3+2kπ【解析】θ在第一或第三象限

8.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点是______（4分）【答案】-a,b【解析】对称变换

9.若实数x满足x^2-4x+3≤0，则|x-1|+|x-3|的值为______（4分）【答案】2【解析】x在[1,3]内，|x-1|+|x-3|=

210.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机抽取3名学生，则恰好有2名女生和1名男生的抽法有______种（4分）【答案】300【解析】C10,2C20,1=45×20=900

四、判断题

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=-1，b=-

22.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f^-1x也在区间I上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x^3在R上递增，但f^-1x=∛x在R上递增

3.若x是方程x^2+px+q=0的两个根，则x^2+px+q=0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据韦达定理，x是方程根

4.若复数z=a+bia,b∈R，则|z|^2=z×z（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|^2=a^2+b^2=a+bia-bi=z×z

5.若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则△ABC一定是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】勾股定理的逆定理

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，fx递增；当0x2时，fx0，fx递减；当x2时，fx0，fx递增所以单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.在△ABC中，若∠B=45°，∠C=60°，BC=10，求AB和AC的长度（5分）【答案】∠A=180°-45°-60°=75°由正弦定理AB/sinC=BC/sinA，AB=10×sin60°/sin75°≈

8.66；AC/sinB=BC/sinA，AC=10×sin45°/sin75°≈

7.

073.若复数z满足|z|=1，且z^2+z=0，求z的值（5分）【答案】z^2+z=0，zz+1=0，z=0或z=-1若z=0，|z|=0≠1，不成立；若z=-1，|z|=|-1|=1，成立所以z=-1

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx在[-2,2]上的最大值和最小值（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0，得x=1±√10/3f-2=-5，f-1=0，f1=3，f2=3所以最大值为3，最小值为-

52.在平面直角坐标系中，已知点A1,2，B3,0，C-1,-2，求△ABC的重心坐标（10分）【答案】重心Gx_A+x_B+x_C/3,y_A+y_B+y_C/3=-1/3,-2/3

七、综合应用题

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为30元，求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】设销售量为x件，总收入R=30x，总成本C=10×10^4+20x盈亏平衡点R=C，30x=10×10^4+20x，x=5000所以盈亏平衡点为销售5000件---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.B

8.B

9.D

10.A

11.A

12.C

13.D

14.B

15.C

16.B

17.D

18.B

19.A

20.B

二、多选题

1.A、E

2.A、D

3.A、B

4.A、B、E

5.A、B

三、填空题

1.

32.1/

23.{1,4}

4.

405.

106.x=1，x=-

17.π/3+2kπ，2π/3+2kπ

8.-a,b

9.

210.900

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析。