图论期末综合试题及答案

图论期末综合试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图中，哪个是欧拉图？（）A.有一个奇数个顶点的连通图B.所有点度数均为偶数的连通图C.至少有一个奇数度顶点的连通图D.所有点度数均为奇数的连通图【答案】B【解析】欧拉图是指存在一条经过图中所有边恰好一次的闭链一个连通图是欧拉图当且仅当所有顶点的度数均为偶数

2.在图论中，树是指（）A.含有环的连通图B.无环的连通图C.无环且无连通的图D.无向图【答案】B【解析】树是连通且无环的图

3.下列哪个不是图论中常见的算法？（）A.拓扑排序B.最小生成树算法C.最短路径算法D.因式分解【答案】D【解析】因式分解属于数学中的代数运算，不属于图论中的算法

4.在完全图中，n个顶点的完全图的边数是（）A.nn-1/2B.nn+1/2C.nn-2/2D.n^2【答案】A【解析】在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连，因此n个顶点的完全图有nn-1/2条边

5.图中顶点的度数之和等于（）A.边数的2倍B.边数的一半C.顶点数的一半D.顶点数的2倍【答案】A【解析】根据握手定理，图中所有顶点的度数之和等于边数的2倍

6.下列哪个不是图的连通分量？（）A.极大连通子图B.最小生成树C.顶点集合D.边集合【答案】B【解析】连通分量是指图中的极大连通子图，最小生成树是另一种图论概念

7.在无向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么顶点u和顶点v是（）A.邻接的B.独立的C.重合的D.不相关的【答案】A【解析】如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么顶点u和顶点v是邻接的

8.在图论中，邻接矩阵是（）A.一个方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系B.一个长方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系C.一个稀疏矩阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系D.一个对角矩阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系【答案】A【解析】邻接矩阵是一个方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系

9.下列哪个不是图的遍历方法？（）A.深度优先搜索B.广度优先搜索C.拓扑排序D.最短路径搜索【答案】D【解析】最短路径搜索是图论中的一个算法，而深度优先搜索、广度优先搜索和拓扑排序是图的遍历方法

10.在图中，如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是（）A.邻接的B.独立的C.不相邻的D.重合的【答案】C【解析】如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是不相邻的

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是图论中常见的算法？（）A.拓扑排序B.最小生成树算法C.最短路径算法D.因式分解E.深度优先搜索【答案】A、B、C、E【解析】拓扑排序、最小生成树算法、最短路径算法和深度优先搜索是图论中常见的算法，因式分解不属于图论中的算法

2.以下哪些是树的性质？（）A.树中没有环B.树是连通的C.树中顶点的度数之和等于边数D.树中至少有一个叶节点E.树可以包含多个根节点【答案】A、B、C、D【解析】树中没有环、树是连通的、树中顶点的度数之和等于边数、树中至少有一个叶节点都是树的性质，树只有一个根节点

3.以下哪些是图的连通分量的性质？（）A.连通分量是极大连通子图B.连通分量是连通的C.连通分量可以包含多个连通子图D.连通分量中的顶点之间没有边相连E.连通分量中的边数是最大的【答案】A、B【解析】连通分量是极大连通子图且是连通的，其他选项描述不正确

4.以下哪些是邻接矩阵的性质？（）A.邻接矩阵是一个方阵B.邻接矩阵的主对角线元素都为0C.邻接矩阵的元素只能是0或1D.邻接矩阵可以表示图中顶点之间的邻接关系E.邻接矩阵可以表示图中边权的权重【答案】A、C、D【解析】邻接矩阵是一个方阵，元素只能是0或1，可以表示图中顶点之间的邻接关系，如果是有权图，邻接矩阵的元素可以表示边权的权重

5.以下哪些是图的遍历方法？（）A.深度优先搜索B.广度优先搜索C.拓扑排序D.最短路径搜索E.最小生成树搜索【答案】A、B、C【解析】深度优先搜索、广度优先搜索和拓扑排序是图的遍历方法，最短路径搜索和最小生成树搜索是图论中的算法

三、填空题（每题4分，共24分）

1.一个有n个顶点的完全图中，有多少条边？【答案】nn-1/2【解析】一个有n个顶点的完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连，因此有nn-1/2条边

2.在无向图中，顶点u的度数是指与顶点u相连的边的数量，记为______【答案】degu【解析】在无向图中，顶点u的度数是指与顶点u相连的边的数量，记为degu

3.在图中，如果存在一条经过图中所有边恰好一次的闭链，那么这个图是______【答案】欧拉图【解析】如果存在一条经过图中所有边恰好一次的闭链，那么这个图是欧拉图

4.在树中，叶节点是指______的顶点【答案】度数为1【解析】在树中，叶节点是指度数为1的顶点

5.在图的邻接矩阵中，如果元素M[i][j]为1，那么表示顶点i和顶点j______【答案】邻接【解析】在图的邻接矩阵中，如果元素M[i][j]为1，那么表示顶点i和顶点j邻接

6.在图的深度优先搜索中，我们使用一个栈来保存______【答案】待访问的顶点【解析】在图的深度优先搜索中，我们使用一个栈来保存待访问的顶点

四、判断题（每题2分，共20分）

1.在无向图中，如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是不相邻的（）【答案】（√）【解析】在无向图中，如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是不相邻的

2.在图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么顶点u和顶点v是邻接的（）【答案】（×）【解析】如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，并不意味着顶点u和顶点v是邻接的

3.在树中，根节点是没有前驱的顶点（）【答案】（√）【解析】在树中，根节点是没有前驱的顶点

4.在图的广度优先搜索中，我们使用一个队列来保存待访问的顶点（）【答案】（√）【解析】在图的广度优先搜索中，我们使用一个队列来保存待访问的顶点

5.在欧拉图中，所有顶点的度数都是偶数（）【答案】（√）【解析】在欧拉图中，所有顶点的度数都是偶数

6.在图中，如果存在一条经过图中所有边恰好一次的路径，那么这个图是欧拉路径（）【答案】（×）【解析】如果存在一条经过图中所有边恰好一次的路径，那么这个图是欧拉路径，而不是欧拉图

7.在树中，任意两个顶点之间都有唯一的路径相连（）【答案】（√）【解析】在树中，任意两个顶点之间都有唯一的路径相连

8.在图的邻接矩阵中，如果元素M[i][j]为0，那么表示顶点i和顶点j不相邻（）【答案】（√）【解析】在图的邻接矩阵中，如果元素M[i][j]为0，那么表示顶点i和顶点j不相邻

9.在图的深度优先搜索中，我们使用一个栈来保存已访问的顶点（）【答案】（×）【解析】在图的深度优先搜索中，我们使用一个栈来保存待访问的顶点，而不是已访问的顶点

10.在图中，如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是不相关的（）【答案】（√）【解析】在图中，如果两个顶点之间没有边相连，那么这两个顶点是不相关的

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述图论中欧拉图和欧拉路径的区别【答案】欧拉图是存在一条经过图中所有边恰好一次的闭链的图，而欧拉路径是存在一条经过图中所有边恰好一次的路径的图，欧拉路径不一定是闭链

2.简述图论中树和森林的区别【答案】树是连通且无环的图，而森林是若干棵树的集合，即森林中的每棵树都是连通且无环的

3.简述图论中深度优先搜索和广度优先搜索的区别【答案】深度优先搜索使用栈来保存待访问的顶点，而广度优先搜索使用队列来保存待访问的顶点

4.简述图论中邻接矩阵和邻接表的区别【答案】邻接矩阵是一个方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系，而邻接表是一种链表结构，用于表示图中顶点之间的邻接关系

5.简述图论中连通分量和生成树的区别【答案】连通分量是图中的极大连通子图，而生成树是连通图的一个子图，且包含图中所有顶点，且没有环

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析图论中深度优先搜索算法的原理和应用场景【答案】深度优先搜索算法是一种遍历图的方法，从某个顶点开始，沿着一条路径一直访问到底，然后回溯到上一个顶点，继续访问其他未访问的顶点深度优先搜索算法的原理是使用栈来保存待访问的顶点，每次从栈中取出一个顶点访问，并将其相邻的未访问顶点压入栈中深度优先搜索算法的应用场景包括查找图的连通分量、判断图是否有环、拓扑排序等

2.分析图论中最小生成树算法的原理和应用场景【答案】最小生成树算法是一种在连通图中找到一个边的子集，使得这个子集构成一棵树，且这个子集的边权之和最小最小生成树算法的原理是使用贪心算法的思想，每次选择当前最小的边，并确保不会形成环最小生成树算法的应用场景包括网络设计、电路设计、最小成本路径规划等

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.给定一个无向图，使用邻接矩阵表示该图，并实现深度优先搜索算法【答案】首先，给定一个无向图的邻接矩阵表示```ABCDA0100B1011C0101D0110```使用邻接矩阵表示该图，并实现深度优先搜索算法的Python代码如下```pythondefdfsmatrix,start:n=lenmatrixvisited=[False]nstack=[start]whilestack:vertex=stack.popifnotvisited[vertex]:printvertex,end=visited[vertex]=Trueforiinrangen-1,-1,-1:ifmatrix[vertex][i]==1andnotvisited[i]:stack.appendi测试matrix=[[0,1,0,0],[1,0,1,1],[0,1,0,1],[0,1,1,0]]dfsmatrix,0从顶点0开始深度优先搜索```输出结果为

01232.给定一个连通图，使用邻接表表示该图，并实现广度优先搜索算法【答案】首先，给定一个连通图的邻接表表示```A:BB:A,C,DC:B,DD:B,C```使用邻接表表示该图，并实现广度优先搜索算法的Python代码如下```pythonfromcollectionsimportdequedefbfsadj_list,start:n=lenadj_listvisited=[False]nqueue=deque[start]whilequeue:vertex=queue.popleftifnotvisited[vertex]:printvertex,end=visited[vertex]=Trueforneighborinadj_list[vertex]:ifnotvisited[neighbor]:queue.appendneighbor测试adj_list={A:[B],B:[A,C,D],C:[B,D],D:[B,C]}bfsadj_list,A从顶点A开始广度优先搜索```输出结果为ABCD---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.D

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.D

10.C

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、B、C、D

3.A、B

4.A、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.nn-1/

22.degu

3.欧拉图

4.度数为

15.邻接

6.待访问的顶点

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（×）

7.（√）

8.（√）

9.（×）

10.（√）

五、简答题

1.欧拉图是存在一条经过图中所有边恰好一次的闭链的图，而欧拉路径是存在一条经过图中所有边恰好一次的路径的图，欧拉路径不一定是闭链

2.树是连通且无环的图，而森林是若干棵树的集合，即森林中的每棵树都是连通且无环的

3.深度优先搜索使用栈来保存待访问的顶点，而广度优先搜索使用队列来保存待访问的顶点

4.邻接矩阵是一个方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系，而邻接表是一种链表结构，用于表示图中顶点之间的邻接关系

5.连通分量是图中的极大连通子图，而生成树是连通图的一个子图，且包含图中所有顶点，且没有环

六、分析题

1.深度优先搜索算法是一种遍历图的方法，从某个顶点开始，沿着一条路径一直访问到底，然后回溯到上一个顶点，继续访问其他未访问的顶点深度优先搜索算法的原理是使用栈来保存待访问的顶点，每次从栈中取出一个顶点访问，并将其相邻的未访问顶点压入栈中深度优先搜索算法的应用场景包括查找图的连通分量、判断图是否有环、拓扑排序等

2.最小生成树算法是一种在连通图中找到一个边的子集，使得这个子集构成一棵树，且这个子集的边权之和最小最小生成树算法的原理是使用贪心算法的思想，每次选择当前最小的边，并确保不会形成环最小生成树算法的应用场景包括网络设计、电路设计、最小成本路径规划等

七、综合应用题

1.给定一个无向图，使用邻接矩阵表示该图，并实现深度优先搜索算法```pythondefdfsmatrix,start:n=lenmatrixvisited=[False]nstack=[start]whilestack:vertex=stack.popifnotvisited[vertex]:printvertex,end=visited[vertex]=Trueforiinrangen-1,-1,-1:ifmatrix[vertex][i]==1andnotvisited[i]:stack.appendi测试matrix=[[0,1,0,0],[1,0,1,1],[0,1,0,1],[0,1,1,0]]dfsmatrix,0从顶点0开始深度优先搜索```输出结果为

01232.给定一个连通图，使用邻接表表示该图，并实现广度优先搜索算法```pythonfromcollectionsimportdequedefbfsadj_list,start:n=lenadj_listvisited=[False]nqueue=deque[start]whilequeue:vertex=queue.popleftifnotvisited[vertex]:printvertex,end=visited[vertex]=Trueforneighborinadj_list[vertex]:ifnotvisited[neighbor]:queue.appendneighbor测试adj_list={A:[B],B:[A,C,D],C:[B,D],D:[B,C]}bfsadj_list,A从顶点A开始广度优先搜索```输出结果为ABCD。