复变函数模拟试题及对应答案解析

复变函数模拟试题及对应答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fz=z^2/z^2+1在z=0处的留数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.πi【答案】A【解析】fz在z=0处为极点，计算留数Resf,0=limz→0z[z^2/z^2+1]=limz→0z^3/z^2+1=

02.函数w=1/1-z将z平面的直线y=x映射为w平面的（）（2分）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】A【解析】将y=x代入w=1/1-z，得w=1/1-x=1/1-y，即w=1，为w平面的直线

3.函数fz=sin1/z在z=0处的罗朗展开式中，-1/z^3项的系数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.i【答案】A【解析】sin1/z的泰勒展开在z=0处无意义，需用留数定理，-1/z^3项系数为

04.积分∮_C1/zdz（C|z|=1正向）的值是（）（2分）A.0B.2πiC.-2πiD.1【答案】B【解析】根据柯西积分定理，∮_C1/zdz=2πi（z=0在C内）

5.函数fz=e^z在z=1处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.1+z+z^2/2B.1+1+z^2/2C.e+ez-1+ez-1^2/2D.e+ez-1+ez-1^2/2【答案】C【解析】fz=e^z在z=1处展开为e+ez-1+ez-1^2/2+...，前三项为C

6.函数w=lnz-1在z=2处的导数是（）（2分）A.1/2B.1/3C.1D.-1【答案】C【解析】w=lnz-1，w=1/z-1，z=2时w=

17.积分∮_Cz^2+2z+3/z-1^2dz（C|z|=2正向）的值是（）（2分）A.0B.2πiC.4πiD.8πi【答案】D【解析】根据留数定理，z=1处留数为2z+3/2z-1|_{z=1}=8，积分=2πi8=16πi

8.函数fz=z/z^2+1在z=2i处的留数是（）（2分）A.1/4B.-1/4C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】Resf,2i=limz→2iz-2i[z/z^2+1]=2i/4i=-1/

49.函数w=1/z将z平面的圆|z|=2映射为w平面的（）（2分）A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线【答案】A【解析】w=1/z，|w|=1/|z|=1/2，为w平面的圆|w|=1/

210.函数fz=z^2在z=0处的泰勒展开式中，z^4项的系数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】fz=z^2的泰勒展开为z^2+0z^3+0z^4+...，z^4项系数为1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在z=0处解析？（）（4分）A.sinz/zB.z/z^2+1C.1/zD.e^zE.tanz【答案】A、B、D【解析】sinz/z在z=0处洛朗展开无z^-1项，z/z^2+1在z=0处解析，1/z不解析，e^z在z=0处解析，tanz=sinz/cosz在z=0处解析

2.积分∮_C1/z-az-bdz（C|z|=1正向，a,b为C内不同点）的值可能是（）（4分）A.0B.2πiC.πiD.-2πiE.-πi【答案】B、C、D【解析】根据留数定理，积分=2πiResf,a+2πiResf,b，取不同值可得到B、C、D

3.函数w=ez在z=πi处的值为（）（4分）A.1B.-1C.iD.-iE.0【答案】B、D【解析】w=ez，z=πi时w=e^πi=-1，故B、D正确

4.函数fz=z^2/z^2+1在z=∞处的留数是（）（4分）A.0B.1C.-1D.2E.-2【答案】E【解析】f1/z=1/1+z^2，z=0处留数为-1，由对称性，z=∞处留数为-1，故E正确

5.以下哪些函数在z=0处可展开为泰勒级数？（）（4分）A.sinzB.coszC.1/1-zD.1/zE.e^z【答案】A、B、C、E【解析】sinz、cosz、1/1-z、e^z在z=0处可展开为泰勒级数，1/z不可展开

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fz=z/z^2+1在z=1处的留数是______（4分）【答案】-1/2【解析】Resf,1=limz→1z-1[z/z^2+1]=-1/

22.积分∮_Cz^2+2z+1/z+1^2dz（C|z|=1正向）的值是______（4分）【答案】2πi【解析】z=-1处留数为2z+1/2z+1|_{z=-1}=1，积分=2πi1=2πi

3.函数w=1/z^2+1将z平面的直线y=1映射为w平面的______（4分）【答案】直线【解析】将y=1代入w=1/z^2+1，得w=1/x^2+2x+2，为w平面的直线

4.函数fz=e^z在z=0处的泰勒展开式中，z^3项的系数是______（4分）【答案】1/6【解析】fz=e^z的泰勒展开为1+z+z^2/2!+z^3/3!+...，z^3项系数为1/6

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fz=sinz在z=π处的值为0（）（2分）【答案】（√）【解析】sinπ=

02.积分∮_C1/z^2dz（C|z|=1正向）的值不为0（）（2分）【答案】（×）【解析】∮_C1/z^2dz=0（z=0不在C内）

3.函数fz=z/z^2+1在z=0处解析（）（2分）【答案】（√）【解析】fz在z=0处解析

4.函数w=lnz在z=1处的导数为1（）（2分）【答案】（√）【解析】w=lnz，w=1/z|_{z=1}=

15.函数fz=e^z在z=0处的泰勒展开式为1+z+z^2/2+z^3/3!+...（）（2分）【答案】（√）【解析】e^z的泰勒展开为1+z+z^2/2!+z^3/3!+...

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述柯西积分定理的条件和结论（5分）【答案】柯西积分定理条件函数fz在简单闭曲线C及其内部单连通区域D内解析结论fz在C上的积分∮_Cfzdz=

02.解释什么是函数的留数及其物理意义（5分）【答案】留数函数fz在孤立奇点z0处的洛朗展开式中-1/z项的系数物理意义留数与积分计算、物理场分布等有重要关系，如流体力学中的涡量

3.说明函数fz=z^2在z=0处的泰勒展开式的求法（5分）【答案】泰勒展开式求法将fz=z^2在z=0处展开为1+a_1z+a_2z^2+...，通过计算f^n0/n!得a_n=0，故展开式为z^2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数w=1/z在z平面的圆|z|=1正向积分的结果，并解释原因（10分）【答案】分析∮_C1/zdz（C|z|=1正向）=2πi解释根据柯西积分定理，z=0在C内，且1/z在C内解析，故积分=2πi

2.分析函数w=lnz在z平面的割痕区域（0|z|∞，-πargzπ）的解析性，并说明如何处理分支点（10分）【答案】解析性分析lnz在z=0处不解析（分支点），在割痕区域内其他点解析分支点处理通过割痕将z=0隔离，选择合适的分支割线，如从z=0沿负实轴向无穷延伸，可定义单值分支割痕区域内lnz解析，但需注意多值性，需选择特定分支

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算积分∮_C[z^2+1/z-1^2]dz（C|z|=2正向），并说明计算方法（25分）【答案】计算方法使用留数定理∮_C[z^2+1/z-1^2]dz=2πiResf,1其中fz=z^2+1/z-1^2，z=1处为二级极点Resf,1=limz→1[z-1^2fz]=limz→1[z^2+1/z-1]=limz→1[2z/z-1]=2故积分=2πi2=4πi

2.分析函数w=1/z^2+1在z平面的映射特性，并说明如何将z平面的矩形区域（0≤x≤1，0≤y≤1）映射为w平面（25分）【答案】映射特性分析w=1/z^2+1，将z=0映射为w=1，z=∞映射为w=0，z=±i映射为w=∞映射过程z平面矩形区域（0≤x≤1，0≤y≤1）包含点z=0,z=1,z=iw=1/z^2+1将z=0映射为w=1，z=1映射为w=1/2，z=i映射为w=1/i^2+1=1/2映射后区域边界左边界z=0到z=i，w=1到w=∞上边界z=i到z=1，w=∞到w=1/2右边界z=1到z=1+i，w=1/2到w=0下边界z=1+i到z=2，w=0到w=-1/3映射结果w平面区域为从w=1到w=∞的扇形区域，包含w=1/2和w=0附近---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.A

4.B

5.C

6.C

7.D

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.B、C、D

3.B、D

4.E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.-1/

22.2πi

3.直线

4.1/6

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题（略）

六、分析题（略）

七、综合应用题（略）。