复旦大学数学专业复试题目和答案

复旦大学数学专业复试题目和答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x²C.fx=eˣD.fx=ln1+x【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处导数为0，但不可导；fx=x²、fx=eˣ、fx=ln1+x在x=0处均可导

2.级数∑n=1to∞1/n³的收敛性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】C【解析】p-级数∑n=1to∞1/n³中p=31，绝对收敛

3.方程y-4y+4y=0的特征根为（）A.2重根2B.2重根-2C.一正一负D.一实一虚【答案】A【解析】特征方程r²-4r+4=0有重根r=

24.曲线y=√x²+1在点1,√2处的切线斜率为（）A.1B.√2C.1/√2D.2【答案】C【解析】y=x/√x²+1，x=1时y=1/√

25.下列向量组线性无关的是（）A.1,0,1,0,1,1,1,1,1B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,1,1,2,2,2,3,3,3D.1,1,0,1,0,1,0,1,1【答案】B【解析】B选项为标准单位向量组，线性无关；其余选项存在线性相关关系

6.设A为3×3矩阵，|A|=2，则|3A|等于（）A.3B.6C.18D.54【答案】D【解析】|kA|=kⁿ|A|，|3A|=3³|A|=

547.函数fx=sinx在[0,2π]上的积分值为（）A.0B.1C.2D.π【答案】A【解析】∫0to2πsinxdx=-cosx|_0to2π=

08.空间直线L x=1+t,y=2-t,z=3+2t与平面πx+y+z=6的位置关系为（）A.平行B.相交C.在平面上D.重合【答案】B【解析】直线方向向量1,-1,2与平面法向量1,1,1不平行，必相交

9.矩阵A=1,2;3,4的逆矩阵为（）A.-4,2;3,-1B.4,-2;-3,1C.1/10,-1/10;-3/10,1/10D.1,2;3,4【答案】C【解析】|A|=1×4-2×3=-2，A⁻¹=1/|A|adjA=-1/2×4,-2;-3,1=1/10,-1/10;-3/10,1/

1010.设随机变量X~Nμ,σ²，则PXμ等于（）A.

0.5B.

0.7C.

0.8D.1【答案】A【解析】正态分布关于均值对称，PXμ=

0.5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）A.级数∑n=1to∞1/n²+1收敛B.级数∑n=1to∞-1^n+1/n收敛C.函数fx=x²在[0,1]上满足罗尔定理D.方程x³-x+1=0在-2,-1内有根【答案】A、B、D【解析】A p-级数p=21，收敛；B交错级数满足条件，条件收敛；C f0≠f1，不满足罗尔定理；D f-2=-50，f-1=10，连续函数介值定理

2.关于线性方程组Ax=b，下列说法正确的有（）A.若rA=rA|bn，则方程组有无穷多解B.若A为方阵且|A|=0，则Ax=b无解C.若增广矩阵A|b经行变换化为A|c，则解集相同D.若rA=n，则方程组有唯一解【答案】A、C、D【解析】B|A|=0时可能无解或无穷多解，需判断rA与rA|b

3.下列函数在定义域内可导的有（）A.fx=sinx²B.fx=|x³|C.fx=ln|x|D.fx=tanx【答案】A、C、D【解析】B x=0处不可导（导数左右极限不等）

4.关于向量空间，下列说法正确的有（）A.任意三个向量必线性无关B.基向量的个数等于维数C.子空间对加法和数乘封闭D.零向量必属于任何子空间【答案】B、C、D【解析】A三个向量可能线性相关

5.关于概率分布，下列说法正确的有（）A.二项分布是离散型分布B.正态分布是连续型分布C.Poisson分布可用于描述稀有事件D.几何分布的期望等于参数p【答案】A、B、C【解析】D几何分布期望为1/p

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=______【答案】3【解析】fx=3x²-a，x=1时f1=3-a=0，a=

32.不定积分∫x√1+x²dx的答案为______【答案】1/31+x²^3/2-1/21+x²^1/2+C【解析】令u=1+x²，du=2xdx，∫x√1+x²dx=1/2∫u^1/2du=...

3.微分方程y-y=0的通解为______【答案】C₁eˣ+C₂e^-x【解析】特征方程r²-1=0有根r=±1，通解为线性组合

4.行列式|A|=1,2;3,4的秩为______【答案】2【解析】非零子式存在，秩为

25.若随机变量X的密度函数为fx=2x0≤x≤1，则P

0.5X1=______【答案】

0.375【解析】∫

0.5to12xdx=x²|_

0.5to1=1-

0.25=

0.75

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则必在a,b内取得最大值和最小值（）【答案】（×）【解析】需闭区间，开区间可能无最值（如fx=1/x在0,1无最小值）

2.若向量组{v₁,v₂,v₃}线性相关，则必存在i≠j使得vᵢ是vⱼ的线性组合（）【答案】（×）【解析】可能任意两个向量线性相关，但一个为其他两个的线性组合不成立（如v₁+v₂=0）

3.若A可逆，则A⁻¹ᵀ也可逆（）【答案】（√）【解析】可逆矩阵转置仍可逆

4.若级数∑a_n收敛，则∑a_n²必收敛（）【答案】（×）【解析】如a_n=1/n，a_n²=1/n²收敛，但a_n不收敛

5.若事件A与B互斥，则PA|B=0（）【答案】（√）【解析】PA|B=PAB/PB=0（因AB=∅）

五、简答题（每题4分，共12分）

1.证明若函数fx在[a,b]上连续，且对任意x₁,x₂∈[a,b]，有|fx₁-fx₂|≤k|x₁-x₂|（k为常数），则fx在[a,b]上为直线函数【证明】任取x₁,x₂∈[a,b]，由中值定理存在ξ，fx₁-fx₂=f\xix₁-x₂，|f\xi|≤k，即f\xi=0，故fx为常数函数

2.写出线性方程组Ax=b的解的结构定理，并说明其适用条件【解】若rA=rA|b=r，则方程组有解；若rA=rA|bn，则有无穷多解；通解=特解+C₁v₁+...+C0xE20x820x99ₙ₋ᵣv0xE20x820x99ₙ₋ᵣ（其中vᵢ为齐次解的基础解系）

3.解释大数定律的直观意义，并举例说明【答】大数定律表明大量随机试验结果的平均值趋于稳定；如抛硬币n次，正面频率趋于1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上二阶可导，f0=f1=0，且fx在0,1内取得最大值M证明存在ξ∈0,1，使得fξ=-2fξ【证明】设x₀为最大值点，fx₀=0；构造gx=fx-x²fx，则g0=g1=0，由罗尔定理存在ξ∈0,1，gξ=0；fξ-2fξ=0，得证

2.分析随机变量X~Nμ,σ²的密度函数fx=√2π/σ²e^-x-μ²/2σ²的性质，并解释其在统计中的应用【答】fx关于x=μ对称，在μ处取得最大值1/σ√2π，随σ增大曲线更平缓；在正态分布中用于描述测量误差或自然现象（如身高分布）

七、综合应用题（每题20分，共20分）

1.设函数fx满足微分方程y+4y+4y=eˣ，且y0=1,y0=0

（1）求fx的通解；

（2）证明fx在x→∞时趋于0【解】

（1）齐次解y_h=C₁+C₂xe^-2x；非齐次特解y_p=Aeˣ，代入得A=1/6，通解y=C₁+C₂xe^-2x+1/6eˣ；代入初值C₁=1/3,C₂=-1/6，fx=1/3-x/6e^-2x+1/6eˣ

（2）eˣ项指数增长被e^-2x抑制，∣1/3-x/6e^-2x∣≤1/3e^-2x，1/6eˣ→0，故fx→0。