复试题库及标准答案展示

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.复数z=3+4i的模长是（）（2分）A.5B.7C.8D.9【答案】A【解析】复数z=3+4i的模长|z|=\sqrt{3^2+4^2}=

52.若复数w满足w+1/2-i=i，则w等于（）（2分）A.-2+5iB.-2-5iC.2+5iD.2-5i【答案】B【解析】原式等价于w+1=2-ii=2i+1，解得w=2i

3.设z为复数，|z|=2，则|z-3|的最大值是（）（2分）A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】|z-3|的最大值等于|z|+3=2+3=

54.复数z满足z^2=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】z^2=1的两根为z=1和z=-

15.在复平面内，点z对应的向量对应的复数是（）（2分）A.实部B.虚部C.模长D.辐角【答案】A【解析】向量对应的复数是向量的起点到终点的有向线段表示的复数，即实部

6.复数i^2023的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】i^4=1，2023÷4=505余3，所以i^2023=i^3=-i

7.设z为复数，则|z|^2+z^2等于（）（2分）A.2zB.2|z|^2C.z^2D.无法确定【答案】B【解析】|z|^2+z^2=|z|^2+|z|^2=2|z|^

28.复数z=1+i的共轭复数是（）（2分）A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i【答案】A【解析】复数z=a+bi的共轭复数是a-bi

9.若复数z满足|z|=1，则z/z^2的模长是（）（2分）A.1B.0C.-1D.无法确定【答案】A【解析】|z/z^2|=|1/z|=1/|z|=

110.复数z=a+bia,b∈R的辐角主值范围是（）（2分）A.-π,π]B.[0,2πC.-π/2,π/2]D.0,π【答案】A【解析】复数辐角主值范围是-π,π]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.|z|^2=z^2B.|z/w|=|z|/|w|C.z的共轭复数的模等于z的模D.z^2为实数的充要条件是z为实数【答案】B、C【解析】A错，z=a+bi时|z|^2=a^2+b^2，z^2=a^2-b^2；D错，z=i时z^2=-1为实数但z不是实数

2.设z为复数，则下列等式成立的有（）（4分）A.z+bar{z}=2RezB.z-bar{z}=2ImzC.|z|^2=zbar{z}D.z/z^2=z^3【答案】A、C【解析】B错，z-bar{z}=2Rez；D错，z/z^2=1/z

3.复数z满足z^2+z+1=0，则z的模长是（）（4分）A.1B.2C.3D.√2【答案】A【解析】z是单位圆上的根，|z|=

14.下列复数中为纯虚数的有（）（4分）A.2iB.3C.1+iD.-i【答案】A、D【解析】纯虚数是实部为0的复数

5.复数z=a+bia,b∈R满足|z|=|z+1|，则z对应的点位于（）（4分）A.x轴B.y轴C.直线y=xD.直线y=-x【答案】B、D【解析】|z|=|z+1|即|a+bi|=|a+1+bi|，解得b=0或a=-1/2

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数z=1+i，则z^2023的值等于______【答案】-1-i【解析】z=1+i，i^4=1，2023÷4=505余3，所以z^2023=i^3=-i

2.复数z=3-4i的模长等于______【答案】5【解析】|z|=\sqrt{3^2+-4^2}=

53.复数w=2i的共轭复数是______【答案】-2i【解析】共轭复数是将虚部取反

4.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z等于______【答案】√3+i【解析】z=|z|\cosargz+i\sinargz=2cosπ/3+i\sinπ/3=√3+i

5.复数z=1+i的辐角主值等于______【答案】π/4【解析】辐角主值是0,π]范围内的角，tanπ/4=

16.若复数z=a+bia,b∈R满足z^2=4，则|a|+|b|的取值范围是______【答案】[2,2√2]【解析】z^2=4即a+bi^2=4，解得a^2-b^2=4且2ab=0，所以|a|=2，|b|=0或|b|=2，|a|+|b|取[2,2√2]

7.复数z=1-i除以复数2+i等于______【答案】3-i/5【解析】1-i/2+i=1-i2-i/5=1-3i+i^2/5=1-3i-1/5=-3i/5=3-i/

58.在复平面内，表示复数z=1+i的点的坐标是______【答案】1,1【解析】复数z=a+bi对应的点坐标是a,b

四、判断题（每题2分，共10分）

1.复数z=3+4i的模长等于5（）【答案】（√）

2.若复数z满足|z|=1，则z是单位根（）【答案】（×）【解析】单位根还要求辐角为kπ/180（k为整数），|z|=1只是模长为

13.复数z=2i的平方是实数（）【答案】（√）【解析】2i^2=4i^2=-4为实数

4.复数z的共轭复数一定比z大（）【答案】（×）【解析】如z=-1，则bar{z}=-1，二者相等

5.复数z满足z^2+z+1=0，则z是虚数（）【答案】（√）【解析】z是单位圆上的非实根，即虚数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述复数模长的几何意义【答案】复数z=a+bi对应的向量在复平面上，其模长|z|表示该向量的长度，即原点到点a,b的距离，满足|z|=\sqrt{a^2+b^2}

2.若复数z满足z^3=1且z≠1，求z的值【答案】z^3=1的两根为1和两个单位根，z=cos2kπ/3+isin2kπ/3k=0,1,2当k=1时，z=-1/2+√3/2i；当k=2时，z=-1/2-√3/2i排除z=1，所以z=-1/2±√3/2i

3.设复数z=a+bia,b∈R，若|z|=|z+1|，求a与b的关系【答案】|z|=|z+1|即|a+bi|=|a+1+bi|，平方得a^2+b^2=a+1^2+b^2，解得a=-1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设复数z=a+bia,b∈R，证明z+z^2+z^3+z^4=0的充要条件是z=1或z=-1【证明】必要性若z=1，则z+z^2+z^3+z^4=1+1+1+1=4≠0，矛盾；若z=-1，则z+z^2+z^3+z^4=-1+1-1+1=0，成立所以z=-1是充要条件充分性若z=1，则z+z^2+z^3+z^4=4≠0，矛盾；若z=-1，则z+z^2+z^3+z^4=0，成立所以z=-1是充要条件注证明需补充z为非1的根时矛盾性分析

2.设复数z=a+bia,b∈R，若|z|=1，证明z的平方是实数的充要条件是z为实数或z的辐角为π/2或3π/2【证明】必要性若z为实数，则z^2是实数；若z的辐角为π/2或3π/2，则z=±i，z^2=-i^2=i^2=-1为实数充分性若z^2是实数，则a+bi^2=a^2-b^2+2abi为实数，所以2ab=0，即a=0或b=0若a=0，则z=bi，|z|=|bi|=1，b=±1，z=±i，辐角为π/2或3π/2；若b=0，则z=a，|z|=|a|=1，a=±1，z=±1，为实数

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设复数z=a+bia,b∈R，若z+2/z=2，求z【解】z+2/z=2即a+bi+2/a+bi=2，通分得a+bia+bi+2=2a+bi，展开得a^2+b^2+2bi+2=2a+2bi，整理得a^2+b^2+2=2a，解得a-1^2+b^2=1，所以z对应的点在圆x^2+y^2=1上，且x=1所以z=

12.设复数z=a+bia,b∈R，若|z|=1且z^3+z^2+z=0，求z【解】z^3+z^2+z=0即zz^2+z+1=0，因为z≠0，所以z^2+z+1=0，解得z=-1±√3i/2因为|z|=1，所以z=cosπ/3±π/3+isinπ/3±π/3，即z=1/2+√3/2i或z=1/2-√3/2i---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.D

4.A

5.A

6.D

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、C

3.A

4.A、D

5.B、D

三、填空题

1.-1-i

2.

53.-2i

4.√3+i

5.π/

46.[2,2√2]

7.3-i/

58.1,1

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.复数模长|z|是原点到复平面上表示z的点a,b的距离，即|z|=\sqrt{a^2+b^2}

2.单位根z^3=1的两根为z=1和z=-1±√3i/2，z≠1时，z=-1±√3i/

23.|z|=|z+1|即|a+bi|=|a+1+bi|，平方得a^2+b^2=a^2+2a+1+b^2，解得a=-1/2

六、分析题

1.充要性证明需补充z为非1的根时矛盾性分析

2.必要性z为实数或辐角为π/2或3π/2时z^2为实数；充分性2ab=0时z^2为实数，a=0或b=0，分别对应z为实数或z=±i

七、综合应用题

1.z=1；

2.z=1/2+√3/2i或z=1/2-√3/2i。