小概率专项试题及标准答案

小概率专项试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在标准正态分布中，PZ2的值约为（）（2分）A.

0.0228B.

0.4772C.

0.9772D.

0.5【答案】A【解析】标准正态分布中，PZ2表示Z值大于2的概率，查表可得约为

0.

02282.某事件发生的概率为

0.001，则其至少发生一次的概率在100次试验中约为（）（2分）A.

0.001B.

0.01C.

0.1D.

0.001【答案】C【解析】至少发生一次的概率为1-P从未发生=1-1-

0.001^100≈

0.

13.以下哪项不是小概率事件的典型特征？（）（2分）A.在一次试验中几乎不可能发生B.大量重复试验时可能发生C.概率值通常小于

0.05D.概率值通常大于

0.05【答案】D【解析】小概率事件概率值通常小于

0.05，D选项与定义相反

4.假设某检验的显著性水平为α=

0.01，则拒绝原假设的概率为（）（2分）A.

0.01B.

0.99C.

0.001D.

0.999【答案】A【解析】显著性水平α即拒绝原假设的概率

5.泊松分布适用于描述单位时间内发生多少次事件，当λ较大时近似于（）（2分）A.二项分布B.正态分布C.几何分布D.超几何分布【答案】B【解析】泊松分布当λ→∞时趋近于正态分布

6.某工厂产品次品率为

0.02，抽取100件检查，次品数X近似服从（）分布（2分）A.二项分布B100,

0.02B.泊松分布C.正态分布D.卡方分布【答案】A【解析】n较大p较小时二项分布可近似泊松，但题干明确指出二项分布

7.在假设检验中，第二类错误α指（）（2分）A.原假设为真时拒绝原假设B.原假设为假时拒绝原假设C.原假设为真时未拒绝原假设D.原假设为假时未拒绝原假设【答案】C【解析】第二类错误即取伪错误，原假设为真未拒绝的情况

8.小概率原理在统计推断中主要用于（）（2分）A.描述数据分布B.建立置信区间C.控制犯第一类错误的概率D.计算样本量【答案】C【解析】小概率原理是假设检验中控制α的基础

9.某射手每次命中概率为

0.1，100次射击中至少命中3次的概率（）（2分）A.接近1B.接近0C.中等大小D.无法计算【答案】A【解析】np=105，二项分布B100,

0.1近似正态，PX≥3接近

110.在贝叶斯统计中，后验概率是指（）（2分）A.样本出现后参数的先验分布B.样本出现前参数的先验分布C.样本出现后参数的条件分布D.样本出现前参数的边缘分布【答案】C【解析】后验概率是在样本信息下更新参数的概率分布

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些场景适合使用泊松分布建模？（）A.单位时间内到达的顾客数B.一本书中的错别字数量C.一定面积内的缺陷数D.每次射击的命中次数E.一年内的设备故障次数【答案】A、B、C、E【解析】泊松分布适用于稀疏事件计数，D选项应使用二项分布

2.假设检验中可能出现的情况有？（）A.正确拒绝原假设B.犯第一类错误C.犯第二类错误D.正确不拒绝原假设E.同时犯两类错误【答案】A、B、C、D【解析】E选项不可能，两类错误不能同时发生

3.小概率事件原则在以下哪些领域有应用？（）A.医学临床试验B.金融风险管理C.质量控制检验D.气象灾害预警E.交通流量分析【答案】A、B、C、D、E【解析】小概率事件广泛应用于各领域的风险控制

4.关于二项分布Bn,p，以下说法正确的有？（）A.当np5时近似泊松分布B.方差等于np1-pC.当n→∞，p→0时趋近正态分布D.概率质量函数为fx=Cn,xp^x1-p^n-xE.均值等于n²p【答案】B、C、D【解析】均值应为np，E选项错误

5.贝叶斯推断与经典统计推断的主要区别在于？（）A.是否考虑先验信息B.假设检验的逻辑框架C.参数估计方法D.是否使用大数定律E.对概率的解释【答案】A、C、E【解析】贝叶斯方法核心在于利用先验信息，对概率有主观解释

三、填空题（每题4分，共20分）

1.假设某事件发生的概率为

0.001，在1000次独立重复试验中，该事件至少发生一次的概率约为______（4分）【答案】

0.63【解析】Patleast1=1-1-

0.001^1000≈

0.

632.在假设检验中，犯第一类错误的概率α也称为______风险（4分）【答案】弃真【解析】α即拒绝原假设但原假设为真时的错误

3.泊松分布的均值和方差均为______（4分）【答案】λ【解析】泊松分布参数λ既是均值也是方差

4.当样本量n足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似为______分布（4分）【答案】正态【解析】中心极限定理保证抽样分布近似正态

5.贝叶斯公式PA|B=______（4分）【答案】PB|APA/PB【解析】贝叶斯公式的标准形式

四、判断题（每题2分，共10分）

1.小概率事件在任何一次试验中都必然不发生（）（2分）【答案】（×）【解析】小概率事件指概率很小，但非绝对不可能发生

2.假设检验中，增大样本量可以同时降低犯两类错误的概率（）（2分）【答案】（×）【解析】增大样本量减小β，但α可能增大

3.正态分布是二项分布的极限分布（）（2分）【答案】（×）【解析】正态分布是二项分布的连续近似，但不是其极限分布

4.泊松分布的参数λ可以是任意正实数（）（2分）【答案】（√）【解析】泊松分布参数λ表示单位时间事件发生率，无限制

5.贝叶斯推断认为参数是随机变量，需要用概率分布描述（）（2分）【答案】（√）【解析】贝叶斯方法将参数视为随机变量，用后验分布描述

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述小概率原理在假设检验中的作用（5分）【答案】小概率原理是假设检验的哲学基础，其核心思想是小概率事件在一次试验中几乎不会发生具体作用

（1）为检验假设提供决策依据，当P观测值|H0→P值α时，认为小概率事件发生，拒绝原假设；

（2）控制犯第一类错误的概率不超过α，保证检验的可靠性；

（3）适用于大样本统计推断，当n足够大时，小概率事件可能发生，需谨慎判断

2.比较泊松分布与二项分布的异同点（5分）【答案】相同点

（1）都是离散概率分布，概率质量函数形式类似；

（2）都是对计数数据的建模工具，适用于稀有事件；

（3）当参数满足一定条件时可以相互近似不同点

（1）泊松分布参数为λ（仅一个参数），二项分布参数为n,p（两个参数）；

（2）泊松分布适用于单位时间/空间内事件计数，二项分布适用于n次独立试验中成功次数；

（3）泊松分布均值为方差为λ，二项分布方差为np1-p；

（4）泊松分布当λ→∞时渐近正态，二项分布在n→∞时渐近正态

3.简述贝叶斯推断的基本思想（5分）【答案】贝叶斯推断的基本思想是

（1）将参数视为随机变量，用概率分布（先验分布）描述其不确定性；

（2）通过观测数据更新参数分布，得到后验分布，反映参数的更新认知；

（3）后验分布由贝叶斯公式计算Pθ|D=PD|θPθ/PD，其中Pθ|D为后验分布，PD|θ为似然函数，Pθ为先验分布，PD为边缘似然；

（4）基于后验分布进行统计推断，如计算参数的置信区间或进行假设检验；

（5）核心优势在于能系统整合先验信息和观测数据，适用于数据稀疏场景

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某工厂生产的零件次品率历史数据显示为

0.02，现采用新工艺生产1000件零件，抽检发现10件次品问新工艺是否显著改变了次品率？（α=

0.05）（10分）【答案】

（1）假设检验H0:p=

0.02（次品率未变），H1:p≠

0.02

（2）检验统计量当np≥5且n1-p≥5时，使用正态近似检验统计量Z=p-p/√p1-p/n=

0.01-

0.02/√

0.02×

0.98/1000=-

2.45

（3）临界值α=

0.05，双侧检验临界值Zα/2=

1.96

（4）决策|Z|=

2.

451.96，拒绝H0

（5）结论新工艺显著改变了次品率（p值=

0.014）

2.某医生声称某种疗法能使病人康复概率从

0.1提高到

0.3为验证此说法，随机抽取50名病人接受治疗，其中有15人康复若用贝叶斯方法，已知先验分布为p~Beta1,9，求后验分布参数及治疗概率的95%置信区间（10分）【答案】

（1）似然函数Lp=Bin15;50,p=C50,15p^151-p^35

（2）后验分布p|D~Betaα+X,β+Y=Beta1+15,9+35=Beta16,44

（3）置信区间Beta分布α=16,β=44的95%置信区间为α/α+β=16/60=

0.267，1-α/α+β=

0.733查Beta分布表得置信区间[

0.21,

0.36]

（4）结论贝叶斯推断支持医生说法，后验均值E[p]=16/16+44=

0.

2670.1

七、综合应用题（25分）某保险公司收集了1000名30岁男性的年医疗费用数据，发现均值为5000元，标准差为1200元现欲建立年医疗费用的95%置信区间，同时用小概率原理评估费用超过10000元的可能性假设费用分布近似正态，并考虑以下三种情况

（1）若该费用是单次医疗费用，求置信区间并解释意义；

（2）若该费用是全年累计费用，求费用超过10000元的概率；

（3）若保险公司将超过10000元的费用视为重大医疗事件，设定重大事件发生率α=

0.01，求对应的费用阈值（25分）【答案】

（1）置信区间样本标准误SE=s/√n=1200/√1000=

37.9置信水平α=

0.05，t分布临界值t

0.025,979≈

1.96置信区间5000±

1.96×

37.9=[

4926.4,

5073.6]意义95%的置信水平认为30岁男性单次医疗费用均值在

4926.4-

5073.6元区间内

（2）费用超过10000元的概率Z=10000-5000/

37.9=

52.9PX10000=PZ

52.9≈0解释在正态分布中，费用超过10000元的概率极小，几乎不可能发生

（3）费用阈值设定PXθ=

0.01，即Z=θ-5000/

37.9=-

2.33解得θ=5000-

2.33×

37.9=

4703.6解释当费用超过

4703.6元时，可视为重大医疗事件（概率为

0.01）---标准答案（最后一页）

一、单选题

1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、B、C、D

3.A、B、C、D、E

4.B、C、D

5.A、C、E

三、填空题

1.

0.

632.弃真

3.λ

4.正态

5.PB|APA/PB

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见分析题第1部分

2.见分析题第2部分

3.见分析题第2部分

六、分析题

1.见分析题第1部分

2.见分析题第2部分

七、综合应用题见分析题第3部分。