微积分考研历年真题附带答案

微积分考研历年真题附带答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln1+x【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.极限limx→0sinx/x的值为（）A.0B.1C.πD.不存在【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.-2B.2C.0D.4【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=4，最大值为

44.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】B【解析】B为p-级数，p=21，收敛

5.函数fx=sinx在区间[0,π]上的积分值为（）A.0B.1C.πD.2【答案】B【解析】∫0toπsinxdx=-cosx|_0toπ=-cosπ--cos0=

26.下列函数中，在x=0处可微的是（）A.fx=|x|^3B.fx=x^2/3C.fx=e^-1/x^2D.fx=ln1+x^2【答案】B【解析】B在x=0处可导，故可微

7.下列极限中，值为1的是（）A.limx→∞x^2+1/xB.limx→0e^x-1/xC.limx→∞1+1/x^xD.limx→0sinx/x【答案】C【解析】利用基本极限limx→∞1+1/x^x=e

8.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,3]上的最小值是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】fx=4x^3-12x^2+12x-4，令fx=0得x=1，f-1=8，f1=0，f3=1，最小值为-

19.下列级数中，条件收敛的是（）A.∑n=1to∞1/n+1B.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】B【解析】B为交错级数，满足莱布尼茨判别法，条件收敛

10.函数fx=x^2e^x在x=0处的泰勒展开式为（）A.1+x+x^2/2!+x^3/3!+…B.1-x+x^2/2!-x^3/3!+…C.1+x^2/2!+x^3/3!+…D.1-x^2/2!+x^3/3!-…【答案】A【解析】利用泰勒公式fx=∑n=0to∞f^n0x^n，f^n0=n!，故展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+…

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=x^4D.fx=x^5【答案】A、B、C、D【解析】所有幂函数在x=0处都可导

2.下列级数中，绝对收敛的是（）A.∑n=1to∞1/2n-1B.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/2n+1D.∑n=1to∞1/n+1【答案】B【解析】B为p-级数，p=21，绝对收敛

3.下列函数中，在x=0处连续的是（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=secx【答案】A、B、C、D【解析】所有基本初等函数在定义域内都连续

4.下列极限中，值为0的是（）A.limx→0x^2B.limx→0x^3C.limx→0x^4D.limx→0x^5【答案】A、B、C、D【解析】所有幂函数当x→0时极限为

05.下列级数中，发散的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^4【答案】A【解析】A为调和级数，发散

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^2-4x+4在区间[1,3]上的积分值为______【答案】4【解析】∫1to3x^2-4x+4dx=x^3/3-2x^2+4x|_1to3=27/3-18+12-1/3-2+4=

42.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^3项的系数为______【答案】1/6【解析】f^30=3!=6，系数为1/6!=1/

63.级数∑n=1to∞-1^n/n的收敛类型为______【答案】条件收敛【解析】满足莱布尼茨判别法，条件收敛

4.函数fx=lnx+1在x=0处的导数为______【答案】1【解析】fx=1/x+1，f0=

15.函数fx=x^3-3x在x=1处的极值为______【答案】-2【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=1，f1=-2，极值为-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在区间[-1,1]上的积分值为0（）【答案】（×）【解析】∫-1to1x^2dx=x^3/3|_-1to1=1/3--1/3=2/3≠

02.级数∑n=1to∞1/n^p当p1时收敛（）【答案】（√）【解析】p-级数当p1时收敛

3.函数fx=sinx在x=π/2处的导数为1（）【答案】（√）【解析】fx=cosx，fπ/2=cosπ/2=

04.函数fx=x^3在x=0处可微（）【答案】（√）【解析】fx=3x^2，在x=0处可导，故可微

5.级数∑n=1to∞-1^n/n^2绝对收敛（）【答案】（√）【解析】绝对值级数∑n=1to∞1/n^2收敛，故原级数绝对收敛

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的定义【答案】导数fx表示函数fx在点x处的变化率，定义为limh→0fx+h-fx/h

2.简述泰勒级数的定义【答案】泰勒级数是函数fx在点x=a处的无穷级数展开，形式为∑n=0to∞f^nax-a^n

3.简述交错级数的莱布尼茨判别法【答案】若交错级数∑n=1to∞-1^na_n满足a_n单调递减且limn→∞a_n=0，则级数收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=0，fx在-1,0和2,3为正，在0,2为负，故在-1,0和2,3单调递增，在0,2单调递减，极大值为2，极小值为-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n/n^2的收敛性【答案】绝对值级数∑n=1to∞1/n^2收敛，故原级数绝对收敛，也条件收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的积分，并画出积分区域图【答案】∫-1to3x^3-3x^2+2dx=x^4/4-3x^3/3+2x|_-1to3=81/4-27+6-1/4+3-2=32/4=

82.证明级数∑n=1to∞-1^n/n+1收敛，并判断其收敛类型【答案】绝对值级数∑n=1to∞1/n+1发散，但原级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法，故条件收敛---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.B

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.B

3.A、B、C、D

4.A、B、C、D

5.A

三、填空题

1.

42.1/

63.条件收敛

4.

15.-2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.导数fx表示函数fx在点x处的变化率，定义为limh→0fx+h-fx/h

2.泰勒级数是函数fx在点x=a处的无穷级数展开，形式为∑n=0to∞f^nax-a^n

3.若交错级数∑n=1to∞-1^na_n满足a_n单调递减且limn→∞a_n=0，则级数收敛

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=0，fx在-1,0和2,3为正，在0,2为负，故在-1,0和2,3单调递增，在0,2单调递减，极大值为2，极小值为-

22.级数∑n=1to∞-1^n/n^2的收敛性绝对值级数∑n=1to∞1/n^2收敛，故原级数绝对收敛，也条件收敛

七、综合应用题

1.计算函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的积分，并画出积分区域图∫-1to3x^3-3x^2+2dx=x^4/4-3x^3/3+2x|_-1to3=81/4-27+6-1/4+3-2=32/4=

82.证明级数∑n=1to∞-1^n/n+1收敛，并判断其收敛类型绝对值级数∑n=1to∞1/n+1发散，但原级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法，故条件收敛。